空间几何体的表面积问题&基本不等式在立体几何中的应用举例-《中学生数理化》高一数学2026年6月刊

中学生表理化贺识皱种与拓年6月 空间几何体的表面积问题 ■刘长柏 求空间几何体的表面积是每年高考的常 B.4⑤ 考点，常以选择题或填空题的形式出现，要求 A号 5 考生具备较强的空间想象能力和计算能力。 C: D.26 下面从三个方面谈一谈空间几何体的表面积 2 5 问题，希望对同学们的学习有所帮助。 解：设这个圆柱和圆锥的底面半径为r。 考点一：多面体的面积问题 由于圆柱的轴截面是一个正方形，故其高 例1如图1所示，有一滚简是正六棱柱 2r,则圆柱的侧面积S1=2πr×2r=4πr2, 形（底面是正六边形，每个侧面都是矩形），两 圆锥的侧面积S2=πr√(2r)十r=√5πr2, 端是封闭的，简高1.6m,底面外接圆的半径 所以S=4元r45 是0.46m,制造这个滚简需要m铁板 S:5元r2 5。应选B (精确到0.1m,√3≈1.7)。 点评：把柱体、锥体、台体的面展开成一 个平面图形，称为它的展开图，圆柱、圆锥、圆 台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形， 它们的表面积就是展开图的面积。 6m 考点三：多面体与球的切接问题 例3已知某棱长为2√2的正四面体的 各条棱都与同一球面相切，则该球的表面积 图1 为()。 A.4π B.2π 解：由正六棱柱底面外接圆的半径为 0.46m,可知底面正六边形的边长是 c号 D.元 0.46m,所以侧面积S侧=ch=6×0.46×1.6 解：如图2所示，在棱长为2的正方体中 =4.416(m),所以表面积S=S侧十S上：十 构造棱长为2√2的正四面体A-BCD。 SFw=4.416+2× 4 ×0.462×6≈5.5(m)。 故制造这个滚简约需要5.5m铁板。 点评：多面体的表面积是侧面积与底面 积的和。求侧面积，要清楚各侧面的形状，找 出求面积的条件；求底面积，要清楚底面多边 形的形状及求面积的条件。 考点二：旋转体的面积问题 图2 例2已知一个圆柱和一个圆锥的底面 显然正四面体的棱切球即为正方体的内 半径和高分别相等，圆柱的轴截面是一个正 切球，故正方体的内切球的半径r=1,则该 方形，则这个圆柱的侧面积和圆维的侧面积 球的表面积S=4πr=4π。应选A。 的比值是( )。 点评：与球有关的组合体问题，一种是内 10 资一数型识糖构室西骨中学生教理化 切，一种是外接。球与旋转体的组合通常是 2.如图4，圆柱的高为2，底面周长为16， 作它们的轴截面，球与多面体的组合，通过多 四边形ACDE为该圆柱的轴截面，点B为半 面体的一条侧棱和球心，或“切点”“接点”作 圆弧CD的中点，则在此圆柱的侧面上，从A 出截面图，都是把空间问题化归为平面问题。 到B的路径中，最短路径的长度为()。 若球面上四点P,A,B,C中，PA,PB,PC 两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可 构造长方体或正方体确定直径解决外接问 题。处理有关几何体外接球或内切球的相关 D 问题，要注意球心的位置与几何体的关系，一 B 般情况下，由于球的对称性，球心总在几何体 图4 的特殊位置，比如中心、对角线的中点等。 A.2√17 B.2√5 C.3 D.2 感骨 提示：圆柱的侧面展开图如图5所示。 1.在《九章算术》中，将四个面都是直角 三角形的四面体称为鳖儒。如图3，在鳖需 中，AB⊥平面BCD,BC⊥CD,且AB=BC =CD=1,则其内切球的表面积为()。 图5 题意得AC=2,BCX16=4,所 AB=√22十4=2√5，所以在此圆柱的侧面 上，从A到B的路径中，最短路径的长度为 2√5。应选B。 3.打羽毛球是一项全民喜爱的体育活 图3 动，标准的羽毛球由16根羽毛固定在球托 A.3π B.√3π 上，测得每根羽毛在球托之外的长为7cm,球 C.(3-2√2)π D.(2-1)π 托之外由羽毛围成的部分可看成一个圆台的 提示：因为四面体ABCD四个面都为直 侧面，测得顶端所围成圆的直径是6.8cm,底 角三角形，AB⊥平面BCD,BC⊥CD,所以 部所围成圆的直径是2.8cm,据此可估算得 AB⊥BD,AB⊥BC,BC⊥CD,AC⊥CD。 球托之外羽毛所在的曲面的面积大约为 设四面体ABCD内切球的球心为O,半径为 ()。 r,则V ABCD=VoAx+VO-ABD十V。-AcD十VoD A.105.5cm B.211 cm 、 3T(S△ABC十S△ABD十SAn十S△BcD),所以r C.52.8cm D.100.8cm1 提示：将圆台补成圆锥，则羽毛所在曲面 3Y(SAD为四面体ABCD的表面积)。 的面积为大、小圆锥的侧面积之差。设小圆 SAB联D 锥的母线长为x,则大圆锥的母线长为x十 因为四面体ABCD的表面积SAD=S△ABC十 S△ABD十S△ACD十S△xD=1十√2，四面体 7。由轴我面相似得千7即1=《， ABCD的体积V-号×号×1X1X1 所以羽毛所在曲面的面积S=π×3.4×(7十 4.9)-π×1.4×4.9=33.6π≈105.5(cm)。 1 3V ABCD ，所以r=SAn 巨-1，所以内切球的 应选A。 2 作者单位：江苏省盐城市时杨中学 表面积S=4πr2=(3一2√2)π。应选C。 (责任编辑王琼霞) 11 中学生数理化 知识结构与拓展 高一数学2026年6月 11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 基本不等式在立体几何中的应用举例 ■方清溪 基本不等式：Vab≤a十b la"+b" 直三棱柱。设三棱柱ABCA1B,C1的高为 2 2 (a h,AB=AC=a。由∠BAC=120°，可得BC >0,b>0),当且仅当a=b时取等号。基本 =√3a,则三棱柱的侧面积为(2a十√3a)h= 不等式可以正用、逆用和变形应用。 8+4√3，即(2+√3)ah=8+4√3，所以ah= 一、求侧面积 4。设△ABC的外接圆的半径为r,则r= 例1已知矩形ABCD的周长为 BC 24cm,矩形绕边AB旋转形成一个圆柱，则 2sin∠BAC =a。设球O的半径为R,则 该圆柱的侧面积的最大值为cm。 解：设矩形的长，宽分别是xcm,ycm, 4h2 则x十y=12,所以圆柱的侧面积S侧=2πxy 16,h ≤2x(专)=2x×36=72x,当且仅当x= 2√·4 =4(当且仅当h=2√2时取等 号)，故球O的表面积的最小值为4πR”= y=6时取等号。所以当矩形的长和宽都是 16πo 6cm时，旋转所形成圆柱的侧面积最大，且 评注：解答本题的关键是求出球O的半 最大值为72πcm'。 径的最小值。 评注：周长一定的矩形，绕一边旋转形成一 四、求体积 个圆柱，当矩形是正方形时圆柱的侧面积最大。 例4已知一个圆柱的轴截面的周长为 二、求高 12,设该圆柱外接球体积的最小值为V1,该 例2已知一个长方体的上底面周长为 16,与该长方体等体积的一个圆柱的轴截面 圆柱体积的最大值为V,则 2 是面积为16的正方形，则该长方体的高的取 解：设该圆柱底面圆的半径为r,高为h, 值范围是 则2(2r十h)=12,即h=6一2r。设该圆柱外 解：不妨设长方体的上底面的长和宽分 接球的半径为R,则R=r2十 别为a,b,高为h,则a十b=8。由轴截面是 面积为16的正方形的圆柱，可得底面圆的半 (3-r)=2-6r+9=2(- )+。 径为2，高为4，所以体积为4×2π=16π= abh,则h=16x .因为0<a6≤(士) 当r= 号时，R取得最小位3则V一 3元 16,所以方>放≥15×店=。答案 1 ×(2)】 =9√2π。圆柱的体积V=πrh 为[π，十∞)。 πr(6-2r)≤x×(亿+r+6-2x) =8π，当且 3 评注：两个正数的和一定，其积最大。 仅当r=6一2r,即x=2时等号成立，则V,= 三、求表面积 例3已知三棱柱ABC-A1B,C1的6个 V:_4W2 8x,所以7，=9 顶点都在球O的表面上，AB=AC,∠BAC 评注：三个正数a,b,c,满足abc =120°，三棱柱ABCA1B,C1的侧面积为8 十4√，则球O的表面积的最小值是 (a+b+c1 3 ,当且仅当a=b=c时取等号。 。 解：三棱柱ABCA,B,C1的每个顶点都 作者单位：广东省揭阳市惠来县华侨中学 在球O的表面上，则三棱柱ABC-A1B,C,为 (责任编辑王琼霞) 12