平面向量及其应用考点聚焦&同时用正弦定理、余弦定理求解三角形问题-《中学生数理化》高一数学2026年6月刊

考点1：向量的线性运算 向量的加法、减法和数乘运算统称为向 量的线性运算，向量的线性运算的结果仍是 一个向量，因此对它们的运算法则、运算律的 理解和运用要注意两个要素，即向量的大小 和方向。设a=(x1,y1),b=(x2,y),其中 b≠0，则a∥b台a=Ab(入∈R)曰x1y:一xy1 =0。A,B,C三点共线台存在入∈R,使得 AB=aAC成立→存在m,n∈R,使得OA= mOB+nO心成立，其中m十n=1。 例1如图1，在梯形ABCD中，AB∥ DC,AB=2CD,E为线段AD的中点，且BF AB,则E京等于()。 图1 A.号D心+配 B.2D元-BC cDC+号d D.De-B 解：由C方=一2A店结合向量的运算法 则得E成-A正-A正=是A店-之A市 是A店-名(A店+BC+CD)=2A店-号BC =号×2DC-号BC-DC-号Bd.应选D. 跟踪训练1：如图2所示，在正方形 ABCD中，M是BC的中点，若AC=λAM+ BD,则入十4等于()。 D 图 A. c.9 D.2 提示：因为AC=λAM+uBD=A(AB+ 资一数识结抽年柄骨中学生教理化 平面向量及其应用 考点聚焦 ■马心润 BM)+k(BA+AD)=入(A店+2AD)+ u(-A店+A)=(a-)A店+(3+r)A市， 又衣=蓝+市.所以合+=1 /2-u=1, 解得 4 λ= 3 5 1 所以入十=3。应选B。 3 考点2：向量的数量积运算 当已知向量a,b的模和夹角0时，则a· b=|a||b|cos9;当已知向量的坐标a=(x1, y1),b=(x2,y2)时，则a·b=x1x2十y1y2。 设a=(x1,y1),b=(x,y2),a⊥b台a·b= 0曰x1x:十y1y:=0(a,b均为非零向量)：向 量a的模长为|a|=√x+y;两向量夹角公 式cos0= a·b=xx:+yy(0≤ la6yi 0≤π，0为两个非零向量a,b的夹角)。 例2在矩形ABCD中，边AB,AD的 长分别为2和1，若M,N分别是边BC,CD BMICNI 上的点，且满足 C苏，则A防.AN 的取值范围是 解：设Bi_1C式 =入(0≤入1)，则 BCI CDI BM=ABC=AAD.DN=(1-)DC=(1- A)AB,所以AM·AN=(AB+BM)·(AD +DN)=(AB+AAD)·[AD+(1-λ)AB] =AB·AD十(1-A)AB+AAD+ A(1-A)AD·AB。因为AB⊥AD,所以 AB·AD=0,所以AM·AN=(1-λ)AB1 +xAD°=4(1-A)十入=4-3入。因为0≤ A≤1，所以1≤AM·AN≤4，即AM·AN 的取值范围是[1,4]。 13 中学生数理化高识数华与0年6月 知识结构与拓展 跟踪训练2：已知平面向量a=(2,入)， b=(1,一2)，c=(-1,),若a∥b,b⊥c,则 a十b与b十c所成角的余弦值为。 提示：因为a=(2,入)，b=(1,一2)，c= (-1wa6,b1e,所以号=221×(-1D +（一2)4=0，解得入=一4,4= 2,所以 a=(2,-4)c=(-1,-之），所以a+b (3,-6),b+c=(0,-),所以c0s<a十b, b+c》=Ca+b)·(b+c) 15 2w5 |a+b||b+c1 35×2 5 考点3：利用余弦定理、正弦定理解三 角形 利用余弦定理、正弦定理可化边为角，如 a=2 Rsin A,a2+b2-c2=2 abcos C等，从而 得到三角形内角之间的关系，此时要注意一 些常见的三角等式所体现的内角关系，如在 △ABC中，sinA=sinB→A=B,sin(A B)=0→A=B,sin2A=sin2B→A=B或A 十B=受等：利用余弦定理、正弦定理可化角 为边，如snA=录6osA=6+a等. a 2bc 通过代数变换将角的关系化为边的关系。 例3已知△ABC的内角A,B,C的对 边分别为a,b,c,满足asin Ci=csin B十C。 2 (1)求A。 (2)已知b=1,c=3,且边BC上有一点 D满足SAABD=3 S AADC,求AD。 解：(1)由asin C=csin B+C 2,可得 sin Asin C-nCn士C,因为snB士 B+C =sin2=cos号，所以sin Asin C 2 sin Ceos分。因为sinC≠0，所以snA A AA A cos2,所以2sin2cos2=cos2。因为0< A A1 1三元，所以os,≠0，所以sin2=2,所 14 以含-若，所以A=智 (2)设∠BDA=a,则∠ADC=元-a。在 △ABC中，由余弦定理得a2=b+c2 2 b cos∠BAC=1+3-6cos3=7,解得a =√7。因为S△ABD=3S△AC,所以BD=3DC =3? 4。在△ABD中，由余弦定理得9三多 +AD2_3V7 ① 2 ·AD·cosa。 7 在△ADC中，由余弦定理得1=16+ AD'- ·AD·cos(π-a)。 2 ② 由D②消去cosa解得AD:=27 i6,即AD -33 4 跟踪训练3：在△ABC中，A,B,C的对 边分别是a,bc,且20s公=5sin(A十 C)。 (1)求角B的值。 (2)若b=√13，求a十c的最大值。 提示：1)因为2ca号-后sin(A+C) =√3sinB,所以1十cosB=3sinB,所以 5sinB-cosB=1,即sin(B-)=2,所 以B-晋=晋成B-吾-语（会去），所以 B=T 30 (2)由余弦定理得b2=13=a2+c2一ac =(a+c)2-3ac,所以13+3ac=(a+c)2。 由均值不等式得13+3ac=(a+c)≤13+ 3(),所以(a十c)≤4×13，注意到a> 0,c>0,所以a+c≤2√13（当且仅当a= b=c时取等号)，即当△ABC为正三角形时， a十c取得最大值2√I3。 作者单位：淮北师范大学附属实验中学 (责任编辑王琼霞) 商一黄学识结胸军柄骨中学生款理化 同时用正弦定理、余弦定理求解三角形问题 ■董云 正弦定理和余弦定理是揭示三角形中的 边角关系的重要定理。有些问题需要同时用 评注：正切函数在第一、三象限的函数值 正弦定理和余弦定理才能求解。下面举例分 为正，同时要熟记特殊角的三角函数值。 析，供大家学习与参考。 三、求周长 一、求边长 例3在△ABC中，已知a,b,c分别为 例1在△ABC中，C=60°，a+2b=8, sinA=6sinB,则c等于()。 角A,B,C的对边且A=60,若SAx=3y 2 A.√35B.√3IC.6 D.5 且2sinB=3sinC,则△ABC的周长等于 解：由sinA=6sinB,结合正弦定理得 0 a=6b。因为a十2b=8,所以a=6,b=1。 解：由2sinB=3sinC,结合正弦定理得 由C=60°，结合余弦定理c2=a2+b2 2a6osC得c=6+1-2×6×1×2所以 26-,曲s-2c·snA,可 bc=6,所以b=3,c=2。由余弦定理得a= c2=31,解得c=√3I。应选B。 b2+c2-2bc·cosA=7,所以a=√7，故 评注：正弦定理可以化边为角，也可以化 △ABC的周长为a+b+c=5+√7。 角为边。 评注：三角形的周长等于三边之和。 二、求角 四、求面积 例2在△ABC中，b2十c2-3bc=a 例4△ABC的内角A,B,C的对边分 bc=√3a,则角C的大小是()。 别为a,b,c,已知bsin C+csin B=4a· A名或 sin Bsin C,b2+c2-a2=8,则△ABC的面积 为 c D.8 解：由bsin C+csin B=4 asin Bsin C,结 合正弦定理得sin Bsin C+sin Csin B= 解：由b十c2-√3bc=a2得b2十c2-a2 4 sin Asin Bsin C。因为sin Bsin C>O,所以 =5bc,所以cosA=b+c-a=gbc 2bc 2bc nA=名由6十2-。=8，结合余孩定理 。因为0<A<元，所以A= √3 6。由bc= a2=b2十c2-2 bccos A得2 bc cos A=8,可知 √3a',结合正弦定理得sin Bsin C=√3sinA A为锐角。因为sinA=名，所以c0sA -后×-气，所以4sin(x-C-A)sinC- ,所以bc=83 3 2 ,所以△ABC的面积S= 3 E,所以4sin(c+A)sinC=4sin(c+): 2 bcsin A=213 3 sinC=√3，化简整理得√3cos2C=sin2C,则 评注：对于三角形的面积公式S= an2C=5。因为0<C<g,所以0<2C< 2 absin C= 1 2 besinA,一般是已 1 2 ac sin B=. 号，所以2c=号成2C-号，即C=看成C- 知哪个角就使用哪个公式。 作者单位：广州六中连州实验中学 2 3。应选A。 (责任编辑王琼霞) 15