多入口，多思考，提升运算素养——一道高考三角形试题的多视角解答-《中学生数理化》高一数学2026年6月刊

创新题追根溯源 中学生教理化离需数学根02年6月 多入口，多思考，提升运算素养 道高考三角形试题的多视角解答 ■张兵杜海洋 一、试题呈现 (2023年全国2卷第17题)记△ABC的 内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知 DH △ABC的面积为√3，点D为BC的中点，且 图1 AD=1。 由AD=1,∠ADC=60°，可得AH=1 (1)若∠ADC=60°，求tanB。 ×sin60°= √5 (2)若b十c2=8,求b,c。 。易得DH=2。因为Sa 二、试题分析 -5,所以2C·AH=5,即BC=4。因为 本题涉及正弦定理、余弦定理及面积公 式的综合运用。三角形与向量密不可分，结 所以mB-品 5 D为BC中点，所以BH= 合向量是解答的一个方向；三角形是几何图 5 形，结合几何作图是解答的另一个突破口。 59 三、试题解答 方法2：利用面积相等。因为AD=1, (1)方法1：利用几何作图。如图1所示， 在△ABC中，作AH⊥BC于H。 ∠ADC=60,所以号AD·BD·sin120°+ 警示：复数运算中的几个常用结论：(1士 设方程x2一(2i一1)x+3m一i=0的实 0r-士2i-i1-1eg-1 数根为&，则由根的定义得&2一(2i一1)a+ 3m-i=0,所以(a2+a+3m)-(2a+1)i=0。 1a2+a+3m=0, 根据复数相等的定义得 解得 -(2a+1)=0, 0,w3=1,1十w十w2=0。i的周期性：i=1, ik+=i,i+2=一1，i+3=一i(k∈N);t十 2， +1十i+2十+3=0(k∈N)。 所以当方程有实数根时，n的值为 m= 易错点四：用实数系方程的解法来探究 12 复数系方程的根 12 例4已知关于x的方程x2一(2i一1)x +3m一i=0有实数根，求m的取值。 警示：对于复数集上的一元二次方程ax 错解：因为关于x的方程x2一(2i一1)x 十bx+c=0(a≠0)是否存在实数根，不能用 +3m一i=0有实数根，所以△=[一(2i 判别式△判定，而应利用复数相等的充要条 件进行转化求解。实系数的一元二次方程根 1)]2-4(3n-i)=-3-12m≥0，解得m 、1 的情况，借助判别式合理分类；在复数集C 4 中，方程a.x2+bx+c=0(a,b,c∈R),当△= 剖析：实数系一元二次方程有实数根的 b2一4ac<0时，虚根共轭成对，且x= 判定方法是判别式△≥0，但对于复数系一元 -b±iW4ac-b 二次方程并不适用，上述解法正是走入了这 2a 一误区。依据根的意义，利用复数相等的充 作者单位：陕西省洋县中学 要条件进行转化求解。 (责任编辑郭正华) 38 高一数华。翠滑中学生教理化 创新题追根溯源 名AD·DC·sin60= ·BC=3,所以 BCcos∠ADC,所以b+c2=2+2BD2=8, 4 所以BD=√3，所以BC=2√3。因为S△A BC=4。因为D为BC的中点，所以BD= 1 2。在△ABD中，由AB=AD+BD2 2 besin A=3,所以besin A=23。在 2AD·BDcos120°=1+4+2=7，可得AB △ABC中，因为b2+c2-BC2=2 bccos A= √7，所以0B=sn120,即sinB=②1 -4,所以bccos A=一2，所以tanA=-√3， 14 所以A=120°，所以bc=4。结合b2+c2=8, 所以cosB=所以nB-店 可得b=c=2。 方法3：利用几何法十正余弦定理。由 方法2：利用向量法。因为A心=号(A店 DC=2,AD=1,∠ADC=60°，结合余弦定理 +A心)，所以A市=是(A店+A亡)，即1= 得AC=√5。由方法2知AB=√7。在 △ABC中，由 √3√7 sin Bsin30,可得sinB= (c+b2+2 becos A),则becos A=-2。又 1,所以osB=平，所以anB= 因为S△ABC= 2 besin A=B,所以besin A= 1 √21 5 23,所以tanA=-√3，所以A=120°，所以 方法4：利用正弦定理十余弦定理。由 bc=4。由b2+c2=8,可得b一c= 题意得Sc=之acsin B=3,所以acsin B √B2+c-2bc=0,所以b=c=2。 =2√3。 ① 方法3：利用中线长公式（中线长公式来 AD 源于教材必修第二册39页例2)。在△ABC 在△ABD中，由正弦定理得 sin B 中，由中线长公式得b+c2=2(AD+ sin∠ADB。因为∠ADC=60,所以1 AB BD),则AD+BD=4。因为AD=1,所 sin B 以BD=√3，所以a=2√3。下同方法1（略）。 sin120,所以esin B=3 2。 ② 方法4：利用斯特瓦尔特定理。斯特瓦 由①②得a=4。下同方法2（略）。 尔特定理：如图3，设D为△ABC边BC上 方法5：利用坐标法。如图2，以点D为 一点，则AB·DC+AC·BD-AD·BC =BC·DC·BD。 坐标原点，BC所在的直线为x轴，建立平面 直角坐标系。 图3 由此定理得c2·DC+b2·BD一BC= 图2 由方法1得点A(号，号），B(-2,0),所 合BC·DC,所以c+6-2=2a,所以a 9。 =23。下同方法1（略）。 说明：本文系四川省教育学会2025年度 以tanB 3 2-(-2) 1 5 教育科研课题一核心素养导向下高中数学 进阶式课题教学活动的设计与实践研究 (2)方法1：利用平角模型。在△ABD (YB2025122)的阶段性成果。 和△ADC中，由余弦定理得c2=1+BD 作者单位：成都经济技术开发区实验中学校 2·1·BDcos∠ADB,b2=1+DC2-2·1· (责任编辑郭正华) 39