立体几何初步与复数经典题型解析-《中学生数理化》高一数学2026年6月刊

育一黄职结胸军柄骨中学生款理化 、·立体几何初步与复数经典题型解析 ■张钢张启兆 一、立体几何初步 面ADO。因为ODC平面ADO,所以OD⊥ 例1如图1，在三棱锥A-BCD中，点 BC,故O是△BCD的垂心。设BO⊥CD于 A在平面BCD内的射影为点O,BO⊥CD, 点F,DO⊥BC于点E,连接AE,AF(如图 AD⊥BC,∠BCD=60°，二面角A-BC-D,A 1),则∠AEO,∠AFO分别是二面角A-BC CD-B的大小分别为60°，45°，且BC=2+ D,A-CD-B的平面角。 3。 因为二面角A-BC-D,ACD-B的大小 分别为60°，45°，所以∠AEO=60°，∠AFO= 45°，所以AO=OF。设AO=h,则OE= 3h,OF=h,所以AF=√AO+OF √ √2h。 因为∠BCD=60°，所以∠CDE=30°，所 以OD=2OF=2h,DF=ODcos30°=√3h, 图1 所以AD=√AO2+ODF=Wh+4h= (1)证明：CD⊥AB。 √5h。已知AO⊥平面BCD,则AD与平面 (2)求AD与平面BCD所成角的正 BCD所成的角即为∠ADO,所以sin∠ADO 弦值。 A0h5 (3)求三棱锥A-BCD的体积。 AD√5h5 分析：(1)利用线面垂直的性质得出AO (3)在Rt△CDE中，DE=OE+OD= ⊥CD,结合线面垂直的判定得到CD⊥平面 2+)A,且∠BCD=60,所以CE- ABO,再利用线面垂直的性质即得结果； (2)利用线面垂直的判定得到BC⊥平面 +】 ADO,结合线面垂直的性质得到OD⊥BC, h 3 2B+1h,所以CD=2CE= 3 再作辅助线，找到线面角的平面角，求出边 长，最后利用锐角三角函数的定义求解即可； CF-CD-DF-2 3 3 (3)分别求出底面边长和高，再求出三棱锥的 5h=5+2h,枚BC=2CF=25+2h. 高，利用三棱锥的体积公式即可求解。 3 3 解：(1)因为AO⊥平面BCD,且CDC 由BC=2+V3,可得2(3+2 平面BCD,所以AO⊥CD。因为BO⊥CD, 3 h=2+3,解 BO,AOC平面ABO,BO∩AO=O,所以 得人=多。由三棱锥的体积公式得V=弓· 3 CD⊥平面ABO。又因为ABC平面ABO, 所以CD⊥AB。 AO·号·DE·BC三8+3。 (2)因为点A在平面BCD内的射影为 评注：本题综合考查线面垂直的判定与 点O,所以AO⊥平面BCD。而BC二平面 性质、二面角及线面角的求解。解题时需找 BCD,故AO⊥BC。已知AD⊥BC且AO∩ 准垂心与二面角的平面角，巧用几何关系，通 AD=A,AO,ADC平面ADO,所以BC⊥平 过设参数计算即得结果。 3 知识结构与拓展 中学生数理化高数学226年6月 余弦定理是沟通三角形“边”与“角”关系 的核心桥梁，是解三角形的关键工具。下面 分析余弦定理在不同情境下的应用。 题型1：边角互化 余弦定理的 例1在△ABC中，角A,B,C所对的 边分别为a,b,c,已知2 acos B=c一a,当 应用例析 c十4a取最小值时，A=一。 b 解：由2 a cos B=c一a,结合余弦定理得 ■薛家兵 2a.aiteb: 2ac =c一a,整理得c= b -a。 2 所以+4a_a +3a b 3a b b 0+≥2。·b =26,当且仅当会-兴，即6=5。时等号 合基本不等式求得b=√3a,c=2a是解答本 题的关键。 成立。将b=V3a代入c= b2 3a2 题型2：利用边与边的比例关系求值 一a得c= a a 例2在△ABC中，角A,B,C所对的 -a=2a。 由余弦定理得cosA=6十c-a 边分别为a,b,c,已知6-c=子a,2sinB 2bc 3sinC,则cosA的值为 3a2+4a2-a2 ③ 解：由2sinB=3sinC,结合正弦定理得 23a·2a 。因为A∈(0，π，所以 2b=3c,即6=2c。将6=2c代人6-c 3 3 A 6 4a,可得a=2c。 1 点评：利用余弦定理可将角化为边，再结 000w0w90w200000000000000000003w0g300g0w0w203w0000000g0000000000000g00 二、复数 =1之11|之：|=0，所以|之11=0或|2|=0，所 例2（多选题）设x1,之2是复数，则下列 以之1=0或之=0，A正确。对于B,不妨设 说法正确的是()。 A.若1·之2=0，则之1=0或2=0 =+,则=1，此时，不是实数， B.若≈∈R,则1∈R B不正确。对于C,由复数的运算法则得 C.若|之1=|2|，则之1·=之·之2 之1·=之112，之：·2=1之：2，若|之11= D.之1一之：1=√（之1十之2)一4x1之2 |,则之1·=2·2，C正确。对于D,不 分析：由之1·之：=1之1|之2|=0，可得 妨设之1=1十i,之2=1一i,则|之1一之2|= 1≈1=0或|之2|=0，可判断A正确。取≈1= 2i=2且之1之：=2，所以√(x1十之2)一4之1之2 一号+复可判断B不正晚。由1：可 =√22-4×2=√一4，此时2≠√一4，D不 正确。应选AC。 |之112，之2·2=之22，可判断C正确。取之 评注：解题时，要注意复数的定义与举反 =1十i,之，=1一i,根据复数的运算法则得到 例的应用，注意模的平方与共钷复数乘积的 |之1一之：|≠√（之1十必2）一4x1之2，可判断D不 关系。 正确。 作者单位：江苏省无锡市青山高级中学 解：对于A,由之1·之2=0，可得之1·之： (责任编辑王琼霞)