高一下学期期末复习综合演练2-《中学生数理化》高一数学2026年6月刊

中学生表理化葵资卓演绮6车6月 高一下学期期末复习综合演练2 ■张文伟 一、选择题 年级、高二年级、高三年级的人数分别为 1.若复数之满足i·之=3一4i,则|之|等 320,300,380。为调查学生参加“社区志愿服 于()。 务”的意向，现采用按比例分配的分层随机抽 A.1 B.5 C.7 D.25 样方法从中抽取一个容量为100的样本，那 2.在△ABC中，A-答，BC=E,则 么应抽取高二年级的学生人数为()。 A.68B.38C.32D.30 “AB=”是“C=交”的( 3 )。 5.如图1，设D,E为正三角形ABC的 边BC上的两个三等分点，且BC=2,则 A.充分不必要条件 AD·AE等于()。 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.一个袋子中有2个红球，4个绿球，采 用不放回方式从中依次随机地取出2个球。 记事件A:第一次取到红球，事件B:第二次 取到绿球，事件C:两次取到同色球，事件D: 图1 两次取到异色球，则( )。 8 A.A与B互斥 A. B. c D号 B.A与C相互独立 6.某校为了解学生的视力情况，随机抽 C.C与D互为对立事件 查了100名学生，得到如图2所示的频率分 D.B与D相等 布直方图。不慎将部分数据丢失，只知道前 4.某学校有高中学生1000人，其中高一 4组的频数之和为40，后6组的频数之和为 23.提示：(1)由acos C+√3 asin C=b+ 4√3，所以a= (b+c)sin A sin B++sin C c,结合正弦定理得sin A cos C+√3sinA· 6 6 sin C=sin B+sin C=sin (A+C)+sin C= sin Acos C+cos Asin C+sinC,所以 sin B+sin(B) sin(+) √3 sin A sin C-cos Asin C=sinC。因为C∈ 2√3 因为△ABC为锐角三角形，O (0,π)，所以sinC≠0，所以√3sinA一cosA= sin(B+) 1.即2sin(a-）=1,所以sin(A-）- <B<2,0<C- 2π 3 -B<受，所以<B< 是因为A∈(0x).所以-吾<A-一后< ，所以B+∈（臣，）所以 票所以A-晋-晋可得A=吾 sin(B+若)∈(，所以a∈[2,4.即 (2由正孩定理入-品B一C可 b C a的取值范围为[2√3,4)。 b+c 作者单位：河南省开封市第十中学 得A=nB十sinC,且A=3,6十c= (责任编辑郭正华) 30 资-数学核心青桌黄管中学生教理化 87。设最大频率为a,视力在4.5到5.2之 则△BCD的面积是△ABC面积的一半 间的学生人数为b,则a,b的值分别为 10.(多选题)已知甲组数据为1,1,3,3， ()。 5,7,9,乙组数据为1,3,5,7,9，则下列说法 ◆频率/组距 正确的是()。 A.这两组数据的第80百分位数相等 B.这两组数据的极差相等 C.这两组数据分别去掉一个最大值和一 0.3 0.1 视力 个最小值后，仅乙组数据的均值不变 03..1x..9 2 D.甲组数据比乙组数据分散 图2 11,(多选题)如图3，在△OAB中，点 P1,P2,…,Pm-1分别是AB上的n等分点， A.0.27,0.96 B.0.27,96 其中n∈N",n≥4，则( )。 C.27,0.96 D.27,96 7.从装有10个红球和10个白球的罐子 里任取2个球，下列情况中互斥而不对立的 两个事件是()。 A.至少有一个红球；至少有一个白球 B.恰有一个红球；都是白球 P C.至少有一个红球；都是白球 B Ba B3 BB 图3 D.至多有一个红球；都是红球 8.(多选题)有一组样本数据x1,x2,…, A.Op.-·Op.-=Op.·Op.- x,其中x1是最小值，x:是最大值，则 B.20P。-=OPn-4+OP.-1 ()。 c0.=十成+防 A.x,xs,x4,x5的平均数等于x1, D.2|OP1+OP2+…+OP.-11 x2,…,x的平均数 (n-1)OA+OB B.r,x,x:,x的中位数等于x1, 二、填空题 x2,…,x的中位数 12.如图4所示，在 C.x2,x,x,x的标准差不小于x1, △ABC中，CB=3,CA x2,·,x书的标准差 D.x2,x,x,x的极差不大于x1, =2,C=,à=2i T2,…,x的极差 +3(1-A)CA(入∈R), 9.(多选题)设点D是△ABC所在平面 则C的最小值为 内一点，则下列说法正确的是( )。 图4 A若币=号〔店+衣)，则点D是边 13.如图5，在正八边形上有A,B,C,D, E,F,G,H八个顶点，每 BC的中点 个相邻的两顶点间称为1 若=号(sB+oaC' AB AC G 步（例如：A到B为1步）。 则直线AD过△ABC的垂心 现有一小球起始位置在点H A处，并按规则沿八边形 C.若AD=2AB-AC,则点D在边BC 的边进行移动，移动规则 的延长线上 图5 为：抛掷一枚均匀的骰子， D若币-+心，且+y名 若骰子正面向上的点数为i(i=1,2,…,6), 31 中学生数理化高数学2026年6月 核心考点演练 则小球按顺时针方向前进步到达另一个顶 (2)当P为AD1的中点时，求异面直线 点。若抛掷两次骰子，则小球回到顶点A处 AA1与B,P所成角的余弦值。 的概率为 20.已知n是一个三位正整数，若n的个 14.在掷一枚质地均匀的骰子的试验中， 位数字大于十位数字，十位数字大于百位数 事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B 字，则称n为“三位递增数”（如135,256,345 表示“小于5的点数出现”，则在一次试验中， 等)。现要从甲、乙两名同学中，选出一个参 事件AUB发生的概率为 加某市组织的数学竞赛，选取的规则如下：从 15.若a≥>0，b>0,且(4a-1)(b一1)= 由1,2,3,4,5,6组成的所有“三位递增数”中 4,则4a十b的最小值为一。 随机抽取1个数，且只抽取1次，若抽取的 三、解答题 “三位递增数”是偶数，则甲参加数学竞赛；否 16.已知a=2,|b=4,且a+b= 则，乙参加数学竞赛。 23。 (1)由1,2,3,4,5,6可组成多少“三位递 (1)求a与b的夹角。 增数”？请一一列举出来。 (2)若(2a一b)⊥(a十kb),求实数k的值。 (2)这种选取规则对甲、乙两名学生公平 17.记△ABC的内角A,B,C的对边分 吗？请说明理由。 别为a,b,c,已知sin Csin(A-B)=sinB· 21.某校进行“A1知识”讲座，讲座之后 sin(C-A)。 对所有参加学习的学生进行学习效果测评， (1)证明：2a2=b2+c2。 通过简单随机抽样，获得了100名学生的测 评成绩作为样本数据，分成[40,50)，[50， (2)若a=5,cosA= 37,求△ABC的 25 60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]六 周长。 组，整理得到如图7所示的频率分布直方图。 18.某高校的特殊类型招生面试中有4 ◆频率/组距 道题目，获得面试资格的甲同学对一至四题 0.03 回答正确的概率依次是异，日·子，日规定 按照题号依次解答，并且答对一，二，三，四题 0.015 分别得1,2,3,6分，答错1题减2分，当累计 积分小于一2分时面试失败，不少于4分时 8:8☐成绩/分 通过面试，假设甲同学每题回答正确与否相 0 405060708090100 互之间没有影响。 图7 (1)求甲同学回答完前3题即通过面试 (1)根据频率分布直方图求a的值，并估 的概率。 计众数和中位数。 (2)求甲同学最终通过面试的概率。 (2)在抽取的100名学生中，选取2名测 19.如图6，已知 评成绩在[80,100]的学生作为座谈代表，求 ABCD-A1BC1D1是底 这2名学生的测评成绩恰好在同一组的 面为正方形的长方体， 概率。 ∠AD1A1=60°，AD1= 22.在锐角△ABC中，角A,B,C所对 4,点P是AD1上的动点。 的边分别为a,b,c,2sinA(ccos B+bcos C) (1)试判断不论点 =5a。 P在AD1上的任何位 B (1)求A。 置，是否都有平面BPA 图6 (2)若a=√3，求b2+c+bc的取值 ⊥平面AA!D1D,并证明你的结论。 范围。 32 高一数学技心著察清赞中学生教理化 核心考点演练 (b3,b:)},D={(a1,b1),(a1,b2),(a1,ba), 厂参考答案与提示 (a1,b:),(a2,b1),(a2,b2),(a2,bg), 一、选择题 (a2,b:)}。由A∩B≠⑦，可得A与B不互 1.提示：（方法1）依题意得之=3二41 i 斥，A错误。因为P(A)=号=号，P(C) (3-4i)i 一4一3，所以1x1= 品P(AC)=言所以P(AC)≠P(A) √(-4)+（一3）=5。应选B。 P(C),所以A与C不独立，B错误。由CU (方法2)依题意得·之=(3一4i)i,所以 D=2,C∩D=,可得C与D互为对立事 件，C正确。显然B≠D,D错误。应选C。 x=一4一3i,则|x|=√（一4）+(-3)=5。 4.提示：采用按比例分配的分层随机抽 应选B。 100=1 2.提示：在△ABC中，A=晋，BC=E 样在各层中的抽样比为1O00=10则高二年 AB=√6，由正弦定理 BC AB sin A sin C得sinC 级应轴取的人数是300×。-30。应选D. 5.提示：已知AB|=|AC|=2,〈AB, ABsin A AC>=60°。由D,E是边BC上的两个三等 BC √2 √2 2。因为 分点，可得A心·A应=(A店+专BC)· AB>BC,所以C>A。又因为0<C<π，所 以C=号或C-罗，即“AB=后”不能推出 (C+专C)=(号A店+专AC)·(号+ C=晋”.在△ABC巾，A=吾，BC=E, 子AC)=号A店：+号A店，AC+号1AC: 由正弦定理CA2得A Cπ 5 sin A sin C ×2×2×号+号×4-。应选 0 C。 BCsin C X sin 3 x③ 2 6.提示：由频率分布直方图知组距为 sin A sin 6 1 =√6，即“C 0.1。由前4组的频数之和为40，后6组的频 数之和为87，可得第4组的频数为40+87 ”可以推出“AB=6”,所以“AB=6” 3 100=27,即视力在4.6到4.7之间的频数为 是“C=三”的必要不充分条件。应选B。 27,显然是最大频数，所以最大频率a=00 3.提示：设2个红球为a1,a,4个绿球 =0.27。视力在4.5到5.2之间的频率为1 为b1,b2,b3,b:,所以2={(a1,a2),(a1,b1), 一0.01一0.03=0.96，故视力在4.5到5.2 (a1,b2),(a1,bg),(a1,b:),(a2,b), 之间的学生人数b=0.96×100=96。应选 (a2,b2),(a2,b3),(a2,b,),(b1,b2),(b1,b3), (b1,b4),(b2,b3),(b2,b:),(b3,b:)},A= 7.提示：对于A,“至少有一个红球”可能 {(a1,a2),(a1,b1),(a1,b:),(a1,b3), 为一个红球、一个白球，“至少有一个白球”也 (a1,b:),(a2,b1),(a2,b2),(a2,bg), 可能为一个白球、一个红球，故两事件可能同 (ag,b:)},B={(a1,b1),(a1,b2),(a1,b3), 时发生，不是互斥事件。对于B,“恰有一个 (a1b:),(a2,b1),(a2,b2),(a2,b3), 红球”，则另一个必是白球，与“都是白球”是 (a2,b),(b1,b2),(b1,b3),(b1,b),(b2,b3), 互斥事件，而任取两球还可能都是红球，故两 (b2,b,),(ba,b)},C=(a1,a2),(b1,b2), 事件不是对立事件。对于C,“至少有一个红 (b1,b3),(b1,bs),(b2,b3),(b2,b4), 球”为都是红球或一红一白，与“都是白球”显 33 中学生数理化筒心数学2026年6月 核心考点演练 然是对立事件。对于D,“至多有一个红球” 为都是白球或一红一白，与“都是红球”是对 方差=2×（号）°+2×()+()+ 立事件。应选B。 ()+(4)门= 2688 343 ,乙组数据的方差 8.提示：取x1=1,x2=x3=x4=x=2, x=9,则x,x,x,x;的平均数等于2，标 si- +2+0+2+4)三8，显然 准差为0，x1,x2,…,x6的平均数等于3，标 <8,因此乙组数据较分散，D错误。应选 266 准差为3 3°，A,C不正确。根据中位 BC 11.提示：对于A,O币.-。·O币.-= 数的定义，将x1,x2,x。按从小到大的顺 序进行排列，中位数是中间两个数的算术平 1Op.-g·|OP-&|cos∠P.-OP.-2, 均数，由于x1是最小值，x6是最大值，故x2, Op.-·Op.1=1Oi。-1·1Op.11· x,x,x的中位数是将x,x,x:,x按从 cos∠P。-2OP-1,由图知两个向量OP。-, 小到大的顺序排列后中间两个数的算术平均 OP1在向量OP。-上的两个投影 数，与x1,x2,…,x6的中位数相等，B正确。 1OP。-g|cos∠Pw-OP。-2≠|OP-11· 根据极差的定义知x2,x,x4,x;的极差不大 cos∠Pm-2OP。-1,A错误。对于B,由于P。- 于x1,x2,…,x6的极差，D正确。应选BD。 是P。-1P。-的中点，所以2OP。-2=OP。十 9.提示：对于A,由AD=号（店十 OP1,B正确。对于C,OP-1=OA十 AC),即号市-多A店=名心-名A市，可得 A位.=0+”2A店=0i+”20店- BD=DC,所以D是边BC的中点，A正确。 对于B,因为AD·BC Oi)=0+”oi,c错误。对于D,由 n OP,=OA+AP,OP =0B+BP=0B- oB+Co)-(-1成 1(A店·BC+AC·BC A户.1，可得2O币，=OA+O店+AP, +|BC|)=0,所以AD⊥BC,故直线AD过 A产。1。由O币：=OA+A,O币：=O元+ △ABC的垂心，B正确。对于C,由AD= BP,=O店-A户.-，可得2O币，=OA+OB十 2AB-AC,可得AD-AB=AB-AC,即 AP。-AP.-,…,由OP.-1=OA+A户.-1， BD=CB,所以点D在边CB的延长线上，C 错误。对于D,由AD=xAB+yAC,且x+ OP.1=O+BP.-1=O店一A币，可得 y=2,设AM=2AD,可得A7=2AD= 2OP。-1=OA+OB+AP.-1-AP1。上面n 一1个等式相加得2(OP,+OP,+.+ 2xAB+2yAC,且2x+2y=1,故M,B,C三 OP.-1)=(n-1)(OA+OB),所以21OP,+ 点共线，且IAM|=2|AD|,所以△BCD的 OP+·+OP.1|=(n-1)|OA+OB1,D 面积是△ABC面积的一半，D正确。应选 正确。应选BD。 ABD。 二、填空题 10.提示：对于A,由7×80%=5.6得甲 12.提示：令CM=2CB,CN=3CA,则 组数据的第80百分位数为7，由5×80%=4 得乙组数据的第80百分位数为7十9=8，A Ci1=1C1=6。因为C=,所以 2 △CMN为等边三角形，所以|入×2CB+(1 错误。对于B,甲组数据与乙组数据的极差 A)×3×CA|=IaCM+(1-A)CN1。因为 均为8，B正确。对于C,甲组数据去掉前后 C=aCM+(1-A)CN,所以M,N,Q三点 的均值分别为9，号乙组数据去掉前后的均 共线。当CQ垂直MN时，|C反|的值最小， 值分别为5,5，C正确。对于D,甲组数据的 则|C反1的最小值为√62-32=3√。 34 高一数学核心著察清赞中学生教理化 核心考点演练 13.提示：抛掷两次骰子共有6×6= b2+c2-a2 =ab· a2+b2-c2 36(种)可能结果，其中两次数字和为8的是 2bc 2ab ，所以 (2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2),共5种可 a2+c2-b2 2 -(62+c2-a2)=-a+b-c 2 能结果，所以游戏结束时小球回到顶点A处 所以2a2=b2十c2。 的概率p=5 36 14.提示：掷一枚骰子的试验有6种等可 2)已知a=5c0sA-引，由(1)得6+ c2=50。由余弦定理a2=b+c2一2 bc cos A, 能结果。依题意知P(A)=名=1 6=3,P(B)= 可得25=50-3bc,所以6c= 50 2,故(b+c) 合-号所以P(D)=1-P(B)=1-号 =b2+c2十2bc=50+31=81,所以b+c=9, 3。因为B表示“出现5点或6点”的事件， 所以△ABC的周长为a+b+c=14。 18.提示：(1)设事件M:(i=1,2,3,4)表 所以事件A与B互斥，所以P(AUB)= 示“甲同学第i个问题回答正确”，记“甲同学 PA)+PB)=号+-号 回答完前3题即通过面试”为事件Q,则Q =M,M,M,,所以P(Q1)=P(M,M,Mg)= 15.提示：由a>0,b>0,(4a-1)(b-1) 3 =4,可得4ab-4a一b+1=4,即4ab-3= ×名×号-子，放甲同学回答完前3题即 4a十b≥4√ab,当且仅当b=4a=3时等号 通过面试的概率为4· 1 成立，所以4ab-4√ab-3≥0，故(2√ab+ (2)记“甲同学最终通过面试”为事件 1D(2a5-3)≥0，解得a5≥号或Va6< Q,则Q。=M1M,M;+M1M2M,M,+ 、-2(舍去)。因为4a+b≥4ab≥6，当且 MM:MM,+MM:M:M,+MM:M:M P(Q:)=P(MM:M:+MM:M:M.+ 仅当b=4a=3时取等号，所以4a十b的最小 值为6。 MM.M:M:+MM:M:M.+MM:M:M.) 三、解答题 16.提示：(1)因为|a+b|2=a2+2a·b +b2=4+2a·b+16=12,所以a·b=一4。 ×+是××日×号+日×2×× 设a与b的夹角为0,0∈[0，x],则cos0= a·b-41 a1b=2×4=-2。又8∈[0，π]，所以0 终通过面试的概率为2 5 一经，放a与b的夹角为 19,提示：(1)都有平面BPA⊥平面 (2)因为(2a-b)⊥(a+kb),所以(2a AA1D1D。 b)·(a+kb)=0,即2a2+2ka·b一a·b 由BA⊥平面AA1D1D,BA二平面 kb2=0,所以2|a2+2ka·b-a·b-k|b BPA,可得平面BPA⊥平面AA:D1D,所以 =0,所以8一8k+4一16k=0,即12一24k= 无论点P在AD,上的任何位置，都有平面 0,解得= 20 BPA⊥平面AAD1D。 17.提示：(1)因为sin Csin(A-B)= (2)过点P作PE⊥A1D1,垂足为E,则 sin Bsin(C-A),所以sin Csin Acos B PE∥AA1,所以∠B1PE就是异面直线AA sin Csin Bcos A=sin Bsin Ccos A-sin B. 与B,P所成的角。 sin Acos C,所以ac·a+c2-b 在Rt△AA1D1中，由∠AD1A1=60°，可 -2bc· 2ac 得∠A1AD1=30°，所以A1B,=A1D1= 35 中学生表理化葵资卓演绮6车6月 1 2AD1=2,所以AE=2AD1=1,AA1= 100=2。 记[80,90)中的3人为1,2,3，记[90， 后A,D,=2.所以PE=AA,=E,B,E 100]中的2人为a,b,则所有的基本事件为 (1,2),(1,3),(1,a),(1,b),(2,3),(2,a), =√A1B+A1E=√5。 (2,b),(3,a),(3,b),(a,b),共10种情况。 在Rt△B1PE中，由B,P 其中来自同一组的为(1,2)，（1,3)， √B1E+PE=2√2，可得cos∠B1PE= (2,3),(a,b),共4种情况，故恰好来自同一 PE√3√6 ,所以异面直线AA1与B1P 组的概率P=10一5 42 BP 2√2 4 22.提示：(1)由正弦定理.a b 所成角的余弦值为。 sin A sin B 20.提示：(1)由题意知所有由1,2,3,4， = sinC=2R,可得2sinA(sin Ceos B+ 5,6组成的“三位递增数”共有20个，分别是 123,124,125,126,134,135,136,145,146, sin Beos C)=√3sinA,所以2 sin Asin(B+ 156,234,235,236,245,246,256,345,346, C)=√3sinA,即2 sin Asin A=√3sinA。 356,456。 (2)不公平。由(1)知所有由1,2,3,4， 在锐角△ABC中，因为A∈(0，F）,所 5,6组成的“三位递增数”有20个，记“甲参 加数学竞赛”为事件A,记“乙参加数学竞赛” 以nA>0,所以snA-誓，所以A=冬 2 为事件B,则事件A包含的基本事件为124， (2)由I)得A=3,所以B+C=π一A 134,234,126,136,146,156,236,246,256, 346,356,456,共13个。 2π 3。 由古典概型计算公式得P(A)= 20。因 由a=√，结合正弦定理得a b sin A sin B 为A与B对立，所以P(B)=1-P(A)=1 c _137 一2020，所以P(A)>P(B)。故选取规则 sinC=2,所以b=2sinB,c=2sinC。 由余弦定理a2=b2+c2一2 bccos A,可 对甲、乙两名学生不公平。 得b2+c2=3+bc,所以b2+c2+bc=3+2bc 21.提示：(1)因为(0.015十a+a+ 0.03+0.003+0.002)×10=1,所以a= -3+8sin Bsin C-3+8sin Bsin(2-B)- 0.025。 3+4√3 sin Bcos B+4sinB=3+2√3sin2B 由题图知参加这次测评学生成绩的众数 为70十80=75. +2-2eos2B=5+4sin(2B-g）. 2 因为△ABC为锐角三角形，所以B∈ 由题图知100名学生成绩在[40,60)的 频率为0.4，在[40,70)的频率为0.65，所以 (0,)-B∈(o,)所以B∈（答，） 参加这次问卷调查学生成绩的中位数在[60， 70)内。设中位数为x,则0.4+(x一60)× 2B- 若e(g,）sim(2B-吾)∈(3,1]。 0.025=0.5,解得x=64,所以参加这次问卷 调查学生成绩的中位数为64。 故b+c2+bc=5+4sin(2B-F)∈ (2)在抽查的100名学生中，成绩在[80， (7,9]。 90)中的学生人数为0.003×10×100=3，成 作者单位：河南省开封高级中学 绩在[90,100]中的学生人数为0.002×10× (责任编辑郭正华) 36