概率同题常见考点聚焦-《中学生数理化》高一数学2026年6月刊

中学生数理化 知识结构与拓展 高一数学2026年6月 概率问题常见芳点聚焦 ■周增钦 概率问题是历年高考的常考点，解题时 200×0.25+800×0.2+510×0.1=56+10 要注意方法的积累和技巧的应用，这样才可 +45+50+160+51=372,故所求概率估计 以透过现象看本质，发现问题所在，提高解题 为1- 372 2000 =0.814。 效率。下面聚焦概率问题的常见考点，供大 家学习与参考。 (3)增加第五类电影的好评率，减少第二 聚焦1：随机事件的概率 类电影的好评率。 频率是概率的近似值，随着试验次数的 聚焦2：互斥事件、对立事件与相互独立 增加，频率会越来越接近概率；概率是一个确 事件 定的常数，是客观存在的，在试验前已经确 判断事件间的关系时，可把所有的试验结 定，与试验次数无关，用频率可以估计概率。 果写出来，看所求事件包含哪几个试验结果，从 例1电影公司随机收集了电影的有关 而判断所给事件间的关系。对立事件一定是互 数据，经分类整理得到表1。 斥事件，也就是说不互斥的两个事件一定不是 表1 对立事件，在确定了两个事件互斥的情况下，就 第一 第二 第三 第四 第五 第六 要看这两个事件的和事件是不是必然事件，这 电影类型 类 类 类 类 类 类 是判断两个事件是否为对立事件的基本方法。 判断互斥事件、对立事件时，注意事件的发生与 电影部数 140 50 300 200 800 510 否都是对于同一次试验而言的，不能在多次试 好评率 0.4 0.2 0.150.25 0.2 0.1 验中判断。两个事件相互独立的判断方法：直 接法，由事件本身的性质判定两个事件的发生 好评率是指：一类电影中获得好评的部 是否相互影响；公式法，若P(AB)=P(A)· 数与该类电影的部数的比值。 P(B),则事件A,B为相互独立事件。 (1)从电影公司收集的电影中随机选取 例2(1)新高考的“3+1+2”模式，即 1部，求这部电影是获得好评的第四类电影 语文、数学、外语必选，物理、历史二选一，政 的概率。 治、地理、化学、生物四选二，共有12种选课 (2)随机选取1部电影，估计这部电影没 模式。已知某同学已选了物理，记事件A为 有获得好评的概率。 “他选择政治和地理”，事件B为“他选择化 (3)电影公司为增加投资回报，拟改变投 学和地理”，则事件A与事件B()。 资策略，这将导致不同类型电影的好评率发 A.是互斥事件，不是对立事件 生变化。假设表中只有两类电影的好评率数 B.是对立事件，不是互斥事件 据发生变化，那么哪类电影的好评率增加 0.1,哪类电影的好评率减少0.1，使得获得 C.既是互斥事件，也是对立事件 好评的电影总部数与样本中的电影总部数的 D.既不是互斥事件，也不是对立事件 比值达到最大（只需写出结论）？ (2)下列选项中事件A,B是相互独立事 解：(1)由题意可知，样本中电影的总部数 件的是()。 是140+50+300+200+800+510=2000，第 A,一枚硬币掷两次，A表示“第一次为 四类电影中获得好评的电影部数是200×0.25 正面向上”，B表示“第二次为反面向上” B.袋中有两个白球和两个黑球，不放回 白50，故所求概率为20000.025。 地摸两次球，A表示“第一次摸到白球”，B表 (2)由题意可知，样本中获得好评的电影 示“第二次摸到白球” 部数是140×0.4+50×0.2+300×0.15+ C.掷一枚骰子，A表示“出现的点数为 20 资一数型识锁物室西骨中学生表理化 奇数”，B表示“出现的点数为偶数” D.有一个灯泡，A表示“灯泡能用 低于4元的概率P=总-号：应选A, 1000h”,B表示“灯泡能用2000h” (2)因为甲和乙都不可能是第1名，所以 解：(1)事件A与事件B不能同时发生， 第1名只可能是丙、丁或戊。又考虑到所有 是互斥事件，他还可以选择化学和政治，所以 的限制条件对丙、丁、戊都没有影响，所以这 不是对立事件。应选A。 三个人获得第1名的概率是等可能的，所以 (2)对于A,A,B两个事件发生，没有关 丙得第1名的概率为宁。 系，其结果不受先后影响，故是相互独立事 聚焦4：相互独立事件的概率 件。对于B,A事件发生与否会影响B事件 解答此类问题的步骤：标记事件，判断事 发生的概率，故不是相互独立事件。对于C, 件的独立性，分清所涉及的事件及事件状态 由于掷的是一枚骰子，故A,B是对立事件， (互斥还是对立)，利用公式求得结果。 不是相互独立事件。对于D,事件B受事件 例4设甲、乙、丙三台机器是否需要照 A影响，故A,B不是相互独立事件。应选 看相互之间没有影响，已知在某一小时内， A。 甲、乙都需要照看的概率为0.05，甲、丙都需 聚焦3：古典概型 要照看的概率为0.1，乙、丙都需要照看的概 计算古典概型概率的关键是准确找到样 率为0.125。 本点的个数，这需要熟练运用图表和树状图， (1)分别求甲、乙、丙每台机器在这一小 把样本点一一列出。而有些试验，它们的可 时内需要照看的概率。 能结果非常多，不可能将所有结果全部列出， (2)计算这一小时内至少有一台机器需 这时不妨找其规律，算出样本点的个数。 要照看的概率。 例3(1)在某次线上抢红包活动中，若 解：记甲、乙、丙三台机器在这一小时内 所发红包的总金额为9元，被随机分配为 需要照看分别为事件A,B,C,则A,B,C两 1.49元，1.31元，2.19元，3.4元，0.61元， 两相互独立。 共5份，供甲、乙等5人抢，每人只能抢一次， (1)由题意得P(AB)=P(A)P(B)= 则甲、乙两人抢到的金额之和不低于4元的 0.05,P(AC)=P(A)P(C)=0.1,P(BC)= 概率是()。 P(B)P(C)=0.125,所以P(A)=0.2, A D.5 P(B)=0.25,P(C)=0.5,所以甲、乙、丙每 6 台机器在这一小时内需要照看的概率分别为 (2)甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加“《论 0.2,0.25,0.5。 语》知识大赛”，决出了第1名到第5名的名 (2)由A,B,C两两相互独立，可得A, 次。甲、乙两名参赛者去询问成绩，裁判对甲 B,C两两相互独立，所以甲、乙、丙每台机器 说“虽然你的成绩比乙好，但是你俩都没得到 在这一个小时内都不需要照看的概率为 第1名”；对乙说“你当然不会是最差的”。从 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=0.8×0.75 上述回答分析，丙是第1名的概率是一。 ×0.5=0.3,所以在这一小时内至少有一台 解：(1)样本空间2={(1.49,1.31)， 机器需要照看的概率P=1一P(ABC)= (1.49,2.19),(1.49,3.4),(1.49,0.61), 1一0.3=0.7。 (1.31,2.19),(1.31,3.4),(1.31,0.61), 说明：本文系中山市教育科研2023年立 (2.19,3.4),(2.19,0.61),(3.4,0.61)},共 项课题“新课标下高中数学问题情境创设的 10个样本点，其中甲、乙两人抢到的金额之 实践研究”（课题编号：B2023140)阶段性研究 和不低于4元的样本点为(3.4,0.61)， 成果。 (1.49,3.4),(1.31,3.4),(2.19,3.4),共4 作者单位：广东省中山一中 个样本点，所以甲、乙两人抢到的金额之和不 (责任编辑郭正华) 21