概率常见典型考题赏析-《中学生数理化》高一数学2026年5月刊

商一黄轻典突物清中学生款理化 概率常见典型考题赏析 ■徐金波 题型一：随机事件的关系 不是互斥事件，A错误。对于B,F与I不可 在随机事件的关系运算中，需要把握两 能同时发生，且发生的概率之和为1，所以F 个要点：按照各类运算的定义执行操作；要兼 与I为对立事件，B正确。对于C,F与G可 顾同一试验条件下的所有可能结果，必要时 以同时发生，不是互斥事件，C正确。对于 可通过列出试验所有结果的方式来分析问 D,G与I可以同时发生，不是互斥事件，D错 题。互斥事件是两个事件不能同时发生，但 误。应选BC。 二者同时不发生的情况是存在的：对立事件 550 (2)用频率估计概率可得，P(M)= 是两个事件既不能同时发生，也不存在同时 1000 不发生的可能，二者只能有一个发生。对立 =0.55,P(N)= 260 =0.26,则P(H)= 事件一定互斥，但互斥事件不一定对立，对立 1000 1000-550-260 事件是互斥事件的一种特殊情况。 =0.19,A,B,C正确。NU 1000 例1(1)（多选题）有甲、乙两种报纸供 H表示事件N发生或事件H发生，且事件 市民订阅，记事件E为“只订甲报纸”，事件 N与H互斥，所以P(NUH)=P(N)+ F为“至少订一种报纸”，事件G为“至多订 P(H)=0.26+0.19=0,45,D错误。应选 一种报纸”，事件1为“一种报纸也不订”，则 ABC。 下列命题正确的是()。 跟踪训练1：(1)某生物实验小组种植了 A.E与G是互斥事件 3粒新品种的种子，下列两个事件是互斥且 B.F与I互为对立事件 不对立的是()。 C.F与G不是互斥事件 A.“至少有1粒种子发芽”与“至多有1 D.G与I是互斥事件 粒种子发芽” (2)(多选题)某校为了解学校餐厅中午 B.“恰有2粒种子发芽”与“至少有1粒 的用餐情况，分别统计了食用大米套餐和面 种子发芽” 食的人数，剩下的为食用米线、汉堡等其他食 C.“3粒种子都发芽”与“至少有1粒种 品（每人只选一种），结果如表1所示。 子发芽” 表1 D.“至少有2粒种子发芽”与“3粒种子 总人数 食用大米套餐人数 食用面食人数 都不发芽” 1000 550 260 (2)某大街在甲，乙两处设有红绿灯，汽 假设随机抽取一位同学，记“中午吃大米 套餐”为事件M,“吃面食”为事件N,“吃米 车在这两处遇到绿灯的概率分别是名，3 3,假 线、汉堡等其他食品”为事件日，若用频率估 设在两处遇到绿灯互不影响，则汽车在这两 计事件发生的概率，则下列结论正确的是 处恰好遇到一次红灯的概率为。 ()。 (3)在掷骰子的试验中，可以定义许多事 A.P(M)=0.55 件。例如，事件C1={出现1点}，事件C2= B.P(N)=0.26 {出现2点}，事件C,={出现3点}，事件 C.P(H)=0.19 C:={出现4点}，事件C={出现5点}，事 D.P(NUH)=0.65 件C:={出现6点}，事件D1={出现的点数 解：(1)对于A,E与G有可能同时发生， 不大于1}，事件D2={出现的点数大于3}， 45 中学生表理化餐奥颗摩方蕊年月 事件D:={出现的点数小于5}，事件E={出 C,C6；事件F包含事件C2,C4,C6:事件G 现的点数小于7}，事件F={出现的点数为偶 包含事件C1,C3,C。易知事件C1与事件 数}，事件G=(出现的点数为奇数}。根据上 D1相等，即C1=D1。 述定义的事件，回答下列问题：①举出符合包 ②因为事件D,={出现的点数大于3} 含关系、相等关系的事件：②利用和事件的定 {出现4点或出现5点或出现6点}，所以D 义，判断上述哪些事件是和事件。 =C,UCUC6(或D,=C,十C,十C)。同理 提示：(1)用数字0,1,2,3表示3粒种子 可得，D,=C1+C+Cg+C:,E=C1+C,十 发芽的数量。对于A,“至少有1粒种子发 C3十C,十C十C,F=C2+C,十C6,G=C 芽”用集合表示为{1,2,3}，“至多有1粒种子 十C3+Ca。 发芽”用集合表示为{0,1}，这两个事件能同 题型二：古典概型问题 时发生，如“有1粒种子发芽”，所以两个事件 求基本事件的个数的两种方法：枚举法， 不互斥，A不正确。对于B,“恰有2粒种子 适用于样本空间中的基本事件有限且可列 发芽”用集合表示为{2}，“至少有1粒种子发 举，能够通过逐一列举所有基本事件进行分 芽”用集合表示为{1,2,3}，显然两个事件不 析求解的问题；树状图法，适用于相对复杂的 互斥，B不正确。对于C,“3粒种子都发芽” 概率问题。需要注意的是：对于古典概型问 是“至少有1粒种子发芽”的一种特殊情况， 题，根据研究问题的实际需要，可将基本事件 当“3粒种子都发芽”时，“至少有1粒种子发 界定为有序形式或无序形式，若基本事件为 芽”也成立，所以两个事件不互斥，C不正确。 有序型，则数对(1,2)与(2,1)代表两个不同 对于D,“至少有2粒种子发芽”用集合表示 的基本事件；若基本事件为无序型，则数对 为{2,3}，“3粒种子都不发芽”用集合表示为 (1,2)与(2,1)被视作同一个基本事件。 {0},这两个事件不可能同时发生，所以两个 例2(1)在“2,3,5,7,11,13,17,19”这 事件互斥。除了“至少有2粒种子发芽”和“3 8个素数中，任取2个不同的数，则这两个数 粒种子都不发芽”这两种情况，还有“有1粒 之和仍为素数的概率是( )。 种子发芽”的情况，则两个事件不对立，D正 确。应选D。 A最 (2)恰好遇到一次红灯包含两种互斥情 (2)现有5只用于实验的兔子，已知对其 况，即甲处红灯且乙处绿灯或甲处绿灯且乙 中3只已作过某项指标的测量，余下2只未 处红灯。甲处红灯的概率为1一号-弓，乙 测量。如果从这5只兔子中随机选取3只， 那么选取到的刚好有2只测量过此项指标的 处绿灯的概率为子，则该情况的概率为子× 概率是( )。 :甲处绿灯的概率为名，乙处红灯的概率为 A号 D. 解：(1)这8个素数中，任取2个不同的 1-31 广一，则该情况的既率为。×4。由宜 数为(2,3)，(2,5)，(2,7)，(2,11)，(2,13)， 斥事件的概率加法公式得汽车在这两处恰好 (2,17),(2,19),(3,5),(3,7),(3,11), (3,13),(3,17),(3,19),(5,7),(5,11), 1 .3 2. 。1 遇到一次红灯的概率为3×4+台×车 (5,13),(5,17),(5,19),(7,11),(7,13), (7,17),(7,19),(11,13),(11,17),(11,19), 12° (13,17),(13,19),(17,19),共28个样本点， (3)①若事件C1,C,C,C:发生，则事 其中两个数之和仍为素数的样本点为(2,3)， 件D:必发生，所以C1三D3,C三D3,C3三 (2,5),(2,11),(2,17),共4个，所以这两个 D,C三D,。同理可得，事件E包含事件 C1,C。C3,C,,C,C;事件D2包含事件C,, 数之和仍为素数的概率是8-宁。应选C 46 资一数轻典愿赛方青中学生教理化 (2)设5只兔子中测量过此项指标的3 “选择历史”，用c,d,e,f分别表示事件“选 只为a1,a2,a,未测量过此项指标的2只为 择化学”“选择生物”“选择思想政治”“选择地 b1,b:,则从5只兔子中随机取出3只的所有 理”，则所有选科组合的样本空间2={acd, 可能情况为(a1,a2a),(a1,a2,b1),（a1,a, ace,acf,ade,adf,aef,bed,bce,bcf,bde, b2）,(a1,a3,b1),(a1,a3,b2),(a1,b1,b2), bdf,bef},共有12个样本点。 (a2,a3,b1),(a2,a3,b2),(a2,b1,b2),(a3, 设M=“从所有选科组合中任意选取1 b1,b,),共10种，其中恰有2只测量过此项 个，该选科组合符合该大学医学院临床医学 指标的情况为(a1,a2,b1),(a1,a2,b2),(a1, 类招生选科要求”，则M={acd,ace,acf, a3,b1),(a1,ag,b2),(a2,a3,b1),(ag,a3, ade,adf},共有5个样本点，所以P(M)= b:),共6种，故恰有2只测量过此项指标的 n(M)5 n(2)12 概率为品一号 (2)设“甲、乙、丙三人每人的选科组合符 跟踪训练2：某区要从参加扶贫攻坚任 合该大学医学院临床医学类招生选科要求” 务的5名干部A,B,C,D,E中随机选取2 的事件分别是N1,N2,N3。由题意知事件 人，赴区属的某贫困村进行驻村扶贫工作，则 N1,N2,Ng相互独立。由(1)知P(N1)= A或B被选中的概率是 P (N:)=P(N:)-12 提示：从5名干部中随机选取2人的可 能情况为(A,B),(A,C),(A,D),(A,E), 记N=“甲、乙、丙三人中恰有两人的选 (B,C),(B,D),(B,E),(C,D),(C,E), 科组合符合该大学医学院临床医学类招生选 科要求”，则N=N1NN?UN,N,U (D,E),共有10种等可能情况，其中符合条 NN2N,所以P(N)=P(N1N2N)+ 件的有7种情况，所以所求概率为0。 P(N,N:N:)+P(NN,N,)=5 5 题型三：概率的综合问题 2×2× 求解概率的综合问题时，一要注意概率 (1-)×8=器 模型的应用，明确所求问题所属的事件类型， 跟踪训练3：为了备战2028年美国洛杉 二要根据公式准确计算。 矶奥运会（第34届夏季奥林匹克运动会），中 例3某省高考目前实行“3十1十2”模 国射击队的甲、乙两名运动员展开队内对抗 式，其中“3”指的是语文、数学、外语这3门必 赛。甲、乙两名运动员对同一目标各射击一 选科目，“1”指的是考生需要在物理、历史这 次，且两人命中目标与否互不影响。已知甲 2门首选科目中选择1门，“2”指的是考生需 要在思想政治、地理、化学、生物这4门再选 命中目标的概率为子，乙命中目标的概率为 科目中选择2门。已知某大学医学院临床医 3 学类招生选科要求是首选科目为物理，再选 4。 科目为化学、生物至少1门。 (1)求甲没有命中目标的概率。 (1)从所有选科组合中任意选取1个，求 (2)在两次射击中，求恰好有一人命中目 该选科组合符合该大学医学院临床医学类招 标的概率。 生选科要求的概率。 提示：(1)记“甲命中目标”为事件A,则 (2)假设甲、乙、丙三人每人选择任意1 P(A)=2 ,所以甲没有命中目标的概率 个选科组合是等可能的，且三人的选择互不 影响，求这三人中恰有两人的选科组合符合 P(A)=1-P(A)=1 3 该大学医学院临床医学类招生选科要求的 (2)记“乙命中目标”为事件B,则P(B) 概率。 3 解：(1)用a,b分别表示事件“选择物理” ,P(B)=1 。两次射击中，恰好有一人 47 中学生表理化餐奥颗摩方蕊年月 命中目标的事件为ABUAB,由题意知事件 可。利用古典概型概率公式计算得P(A)= A,B相互独立，所以两次射击中，恰好有一 0.5,P(B)=0.5,P(C)=0.5,P(AB)= 人命中目标的概率为P(ABUAB)= 0.25,P(AC)=0.25,P(BC)=0.25。可以 P(AB)+P(AB)=P(A)P(B)+P(A). 验证P(AB)=P(A)P(B),P(AC)= P(B)=×+×是- P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C)。根据事 件相互独立的定义，可知事件A与B相互独 题型四：相互独立事件的概率 立，事件B与C相互独立，事件A与C相互 A,B是两个事件，如果满足P(AB)= 独立。答案为①②③。 P(A)P(B),则称事件A,B相互独立，简称 跟踪训练4：（多选题）甲、乙两个口袋中 A,B独立。求相互独立事件同时发生的概 装有除编号不同以外其余完全相同的号签。 率的方法：相互独立事件同时发生的概率等 其中，甲袋中有编号为1,2,3的三个号签；乙 于它们各自发生的概率之积：当正面计算较 袋中有编号为1,2,3,4,5,6的六个号签。现 复杂或难以入手时，可从其对立事件入手 从甲、乙两袋中各抽取1个号签，从甲、乙两 计算。 袋抽取号签的过程互不影响。记事件A:从 例4(1)（多选题）已知A,B为两个随 甲袋中抽取号签1；事件B:从乙袋中抽取号 机事件，且P(A)=0.4,P(B)=0.6,则 签6：事件C:抽取的两个号签和为3；事件 ( D:抽取的两个号签编号不同。则下列选项 A.P(A+B)<1 中正确的是( )。 B.若A,B为互斥事件，则P(AB)=0 A.P(AB)= 1 C.若P(AB)=0.24,则A,B为相互独 18 立事件 D.若A,B为相互独立事件，则P(AB) B.P(C)=9 1 =P(AB) C.事件A与事件C相互独立 (2)分别抛掷两枚质地均匀的硬币（按顺 D.事件A与事件D相互独立 序抛掷)，定义事件A为“第一枚掷得正面”， 提示：对于A,事件A,B相互独立，则 事件B为“第二枚掷得正面”，事件C是“两 枚结果相同”，则下列事件具有相互独立性的 618,A正 P(AB)=P(A)P(B)=2X1=1 确。对于B,所有的样本点为(1,1)，(1,2)， 是。（填序号） (1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2), ①A,B;②A,C:③B,C。 (2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2), 解：(1)若A,B为互斥事件，又P(A)+ (3,3),(3,4),(3,5),(3,6),共18种，事件C P(B)=1,则A∩B=⑦，且A+B=2,所以 为1.2)，(2,1)，共2种情况，则P(C)=18 2 P(A十B)=1,P(AB)=0,A错误，B正确。 已知P(AB)=0.24,则P(AB)=P(A)· 1 P(B),所以A,B为相互独立事件，C正确。 =9B正确。对于C,由题意得P(AC) 若A,B为相互独立事件，则A,B也相互独 立，即P(AB)=P(A)P(B)。又因为 s≠号×g=P(A)P(C).所以班件A,C P(A)=0.6,P(B)=0.4,所以P(AB)= 不相互独立，C错误。对于D,由题意得 0.4×0.6=P(A)P(B),所以P(AB)= PAD)-品-是×器-P(AP(D,所以 P(AB),D正确。应选BCD。 事件A,D相互独立，D正确。应选ABD。 (2)根据事件相互独立的定义进行判断， 作者单位：广西河池市宜州区第一中学 只要P(AB)=P(A)P(B),P(AC)= (责任编辑郭正华) P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C)成立即 48