聚焦复数的常考题型-《中学生数理化》高一数学2026年6月刊

知识结构与拓展 中学生数理化高数学226年6月 聚焦复数的常考题型 ■郭莉楠 题型1：复数的概念及其几何意义 法则进行复数的有关计算。复数的四则运 处理复数概念问题的两个注意点：当复 算，就是将含有虚数单位ⅰ的和不含ⅰ的分别 数不是a十bi(a,b∈R)的形式时，要通过变 看作同类项，进行合并即可。 形化为a十bi的形式，以便确定其实部和虚 例2计算：(1) 多+ 。 部：在复平面内，可利用复数、点、平面向量之 间的一一对应关系解决问题。 (2)(4-i)(6+2)+(7+i)(4-3i)。 例1(1)以下命题中，正确的是( )。 2+2i 2024 解：(1) =2+2+ A.如果两个复数互为共轭复数，那么它 (1-i)9 1+ -2i 1012 们的差是纯虚数 (2) 、2i =1+D+( =i-1+(-i)112 B.如果a+bi=c+di,那么a=c,b=d =i-1+1=i。 C在复平面内，虚轴上的点与纯虚数一 (2)原式=(4-i)(6-2i)+(7一i)(4 一对应 3i)=22-14i+25-25i=47-39i。 D.在复平面内，实轴上的点与实数一一 跟踪训练2：(1)复数之满足之（乏十1）= 对应 1+i,其中i是虚数单位，则之等于()。 (2)已知复数之1=2+3i,之2=a十bi(a,b A.1+i或-2+i ∈R),之？=1一4i,它们在复平面上所对应的 B.i或1+i 点分别为A,B,C。若OC=2OA+OB,则 C.i或-1+i a=,b= D.-1-i或-2+i 解：(1)举反例：(a十bi)一(a一bi)= 1- 2bi(a,b∈R),当b=0时，2bi不是纯虚数，A (2)已知=一 ,则x1o0+之0十1的 错误。已知a+bi=c+di,当a,b,c,d∈R 值为( )。 时，a=c,b=d,B错误。在复平面内，虚轴上 A.iB.-i C.1+iD.1-i 的点除原点外与纯虚数一一对应，C错误。 提示：(1)设之=a十bi(a,b∈R),则乏 在复平面内，实轴上的点与实数一一对应，D a-bi。由≈（乏+1）=1+i,可得a2+b十a+ 正确。应选D。 bi=1+i,所以b=1,a2+a十1=1，所以a=0 (2)因为OC=2OA+OB,所以1一4i= 或a=一1，所以x=i或之=一1十i。应选C。 2(2+3i)+(a+bi)=4+a+(6+b)i,所以 (2)因为x2= 1-i (1-i)2 2 =一i, 1=4+a, 所以=-3， -4=6+b, lb=-10。 所以x10+之0+1=（之2）0+（x2)5十1 跟踪训练1：若复数之=1十i(ⅰ为虚数单 (-i)0+(-i)25+1=i0-i5+1=-i+1= 位)，乏是之的共轭复数，则”十的虚部 一i。应选B。 为()。 题型3：复数的综合应用 A.0 B.-1C.1 D.-2 复数具有代数形式，且复数心=a十bi 提示：因为之=1+i,所以之=1一i,所以 (a,b∈R)与复平面内的点Z(a,b)之间建立 2+=(1+i)2+(1-i)=2i+(-2i)=0。 了一一对应关系，复数又是数形结合的桥梁， 应选A。 要注意复数与向量、方程、函数等知识的交 题型2：复数的四则运算 汇。通过复数与向量、方程、函数等知识的交 复数代数运算的基本思路就是利用运算 汇，培养同学们的逻辑推理及数学运算素养。 8 资一数型识糖构室西骨中学生教理化 例3(1)（多选题）已知复数之1=2一2i √/(x一1)+(y+1)表示圆上的点到定点 (为虚数单位)在复平面内对应的点为P,, (1,一1)的距离。因为圆心(0,0)到定点的距 复数之2满足|之2一=1，则下列结论正确的 离d为√2，所以圆上的点到定点(1，一1)的 是()。 距离的最大值为√2十1，D正确。应选ACD。 A.点P1在复平面内的坐标为(2，一2) 跟踪训练3：在复平面内，已知点 B.x,=2+2i A(一1,0)，B(0,3),复数之1，之2对应的点分 C.|之1一之2|的最大值为√13+1 别为Z1,Z2,且满足1=之，=2，Z1Z:= D.x:的最小值为1 4,则AZ1·B立：的最大值为」 (2)(多选题)已知复数之1=1一i,之2= 提示：因为复数之，：对应的点分别为 一2+3，i为虚数单位，则下列说法正确的 Z1,Z,且|心1=之21=2，所以可确定点Z1, 是()。 Z,在以O为圆心，2为半径的圆上。因为 A,之1十之：在复平面内对应的点位于第 Z1Z2=4,所以Z1Z:为圆的直径，即Z1,Z 二象限 B.若向量OA,O店分别对应的复数为 关于原点对称，所以O立=一OZ2。因为 之1，之2，则向量AB对应的复数为3一4i AZ,=Aò+OZ,BZ,=Bò+OZ,所以 C.若1(a+i)=之+bi(a,b∈R),则ab AZ,·Bz:=(Aò+Oz,)·(Bò+Oz,) =一3 AO.Bò+AO.Oz,+Oz.BO+OZ,· D.若复数x3=x十yi(x,y∈R,i为虚数 Oz=(1,0)·(0,-3)-A0·Oz:+OZ1· 单位)，且|之1=1，则之一x1|的最大值为 BO+2X2×cos(-π)=-4+OZ1·BA。 √2+1 由点A(-1,0),点B(0,3),可得|BA|= 解：(1)复数之1=2一2i在复平面内对应 √(-1)+(-3)=√10。由1OZ11=2, 的点为P1,则P1(2,-2),所以乏1=2十2i, A,B正确。复数之：满足|之一i=1,则之，对 OZ1,BA)∈[0，π]，cos OZ1,BA)∈[-1， 应的点的轨迹为以C(0,1)为圆心，1为半径 1],可得OZ1·BA=|OZ1IIBA1 cos <OZ1, 的圆，所以|之1一：的最大值为|CP|十1= BA)=2I0cos〈OZ,BA)∈[2√10， √2+(-2-1)+1=√13+1，C正确。记 -2√I0],所以OZ1·BA的最大值为2√0， 复平面内的坐标原点为O,则|之：的最小值 所以AZ.B立，的最大值为2√10一4。 为CO|一1=0，D错误。应选ABC。 (2)对于A,之1十x2=一1十2i在复平面 内对应的点（一1,2）位于第二象限，A正确。 对任意复数之=x十yi(x,y∈R),i为虚 对于B,因为向量OA,OB分别对应的复数 数单位，则下列结论正确的是（填序号）。 为之12，所以AB=OB-OA。由2一之1= ①|z-之|=2y;②x2=x2+y2;③|x 一2+3i一(1一i)=一3+4i,可知AB对应的 乏≥2x；④1之|≤|x|+y|。 复数为一3十4i,B错误。对于C,由之1(a+i) 提示：对于①，乏=x一yi(x,y∈R), =x2+bi,可得(1-i)(a+i)=-2+3i+bi, |之-|=|x+yi-x+yi|=|2yil=|2y|, 所以a+1+(1-a)i=-2+(b+3)i,所以 ①不正确。对于②，x2=x2一y2+2xyi,②不 {a+1=-2 正确。对于③，x一乏|=|2y|≥2x不一定 。解得a=一3，b=1,所以ab= 1-a=b+3, 成立，③不正确。对于④，|之|=√x+y≤ 一3，C正确。对于D,由之|=1，可得x2十 x|十|y|,④正确。答案为④。 y2=1,它表示的轨迹是半径为1的圆。而 作者单位：安徽省阜阳第七高级中学 |xa-之1|=1(x-1)+(y+1)i1= (责任编辑王琼霞) 9