聚焦立体几何初步的常考题型-《中学生数理化》高一数学2026年6月刊

知识结构与拓展 中学生数理化高数学226年6月 聚焦立体几何初步的常考题型 ■陈小芳 题型1：几何体的表面积与体积 的性质定理可以证明线线平行，根据线线平 空间几何体的表面积与体积的四种求解 行可以得到两条异面直线所成的角，从而可 方法：等积变换法，三棱锥也称为四面体，它 以证明线线平行或线面平行；二是线面平行， 的每一个面都可作为底面来处理，恰当地进 由线面平行的定义和判定定理可以证明线面 行换底等积变换便于问题的求解；割补法， 平行：三是两个平面平行，用定义和判定定理 “割”就是将几何体分割成几个熟悉的柱、锥、 可以证明两个平面平行，或垂直于同一条直 台体或它们的组合体，“补”就是通过补形，使 线的两个平面平行，或平行于同一个平面的 它转化为熟悉的几何体：展开法，将简单的几 两个平面平行，由面面平行可以得到线面平 何体沿一条侧棱或母线展开成平面图形：构 行和线线平行。 造法，当探究某些几何体性质较困难时，可以 例2如图2所示，四边形ABCD是平 将它放置在熟悉的几何体中，如长方体、正方 行四边形，MA∥PB,PB=2MA。在线段 体等这些对称性比较好的几何体，以此来研 PB上是否存在一点F,使平面AFC∥平面 究所求几何体的性质。 PMD？若存在，请确定点F的位置；若不存 例1正四棱台的上、下底面的边长分 在，请说明理由。 别为2,4，侧棱长为3，则其体积为( )。 A.20+12√7 B.28√7 C.567 D.28分 3 3 解：作出图形，连接该正四棱台上、下底 面的中心，如图1所示。 图2 解：当F是PB的中点时，平面AFC∥ 平面PMD。证明如下。 图1 设BD与AC交于点O,连接FO。因 为四边形ABCD是平行四边形，所以O是 因为该四棱台上、下底面的边长分别为 BD的中点。在△PBD中，因为F是PB 2,4,侧棱长为3，所以该棱台的高h= 的中点，所以OF∥PD。因为OF寸平面 √32一(2√2一√2)2=√7，下底面面积S,= PMD,PDC平面PMD,所以OF∥平面 16,上底面面积S。=4,所以该棱台的体积 PMD。 V=专A(s,+s+VsS)=专×厅× 因为MA∥PB且MA=PB,所以 (16+4+V6)=28 PF∥MA且PF=MA,所以四边形AFPM 3。 应选D。 是平行四边形，所以AF∥PM。因为AF中 题型2：空间中的平行关系 平面PMD,PMC平面PMD,所以AF∥平 立体几何中的平行问题有三类：一是线 面PMD。 线平行，由基本事实4和面面平行的性质定 又因为AF∩OF=F,AF,OF二平面 理可以证明线线平行，由线面平行（或垂直） AFC,所以平面AFC∥平面PMD。 18 资一数型识糖构室西骨中学生教理化 题型3：空间中的垂直关系 BEF⊥平面PCD。 判定线面垂直的四种方法：利用线面垂 题型4：空间角的求法 直的判定定理；利用“两平行线中的一条与平 求异面直线所成的角常用平移转化法 面垂直，则另一条也与这个平面垂直”；利用 (转化为相交直线的夹角)，求直线与平面所 “一条直线垂直于两平行平面中的一个，则与 成的角常用射影转化法（即作垂线、找射影）。 另一个平面也垂直”；利用面面垂直的性质。 二面角的平面角的三种作法：定义法，三垂线 判定线线垂直的三种方法：平面几何中证明 法，垂面法。 线线垂直的方法：线面垂直的性质：a⊥a,bC 例4如图4，PD⊥平面ABCD,四边形 a→a⊥b:线面垂直的性质：a⊥a,b∥a→a⊥ ABCD是矩形，PD=DC=2,BC=2√2。 b。判定面面垂直的两种方法：利用定义，两 个平面相交，所成的二面角是直二面角；判定 定埋，a二a,a⊥B→a⊥B。 例3如图3，在四棱锥P-ABCD中， AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,平面PAD ⊥底面ABCD,PA⊥AD,E和F分别是CD 和PC的中点。 图4 (1)求PB与平面ADC所成角的大小。 (2)求异面直线PC与BD所成角的正 弦值。 解：(1)因为PD⊥平面ABCD,所以 图3 ∠PBD即为PB与平面ADC所成的角。 求证：(1)PA⊥底面ABCD。 因为四边形ABCD是矩形，所以BC⊥ (2)平面BEF⊥平面PCD。 DC,所以BD=√BC+DC=2√3，所以 证明：(1)因为平面PAD⊥底面ABCD, PD_ 且PA⊥AD,又平面PAD∩平面ABCD= an∠PBD-8B-答，所以∠PBD=30, AD,PAC平面PAD,所以PA⊥底面 即PB与平面ADC所成角的大小为30°。 ABCD。 (2)取PA的中点G,连接AC,BD交于 (2)因为AB∥CD,CD=2AB,E为CD 点O,连接OG,DG。显然OG∥PC,所以 的中点，所以AB∥DE,且AB=DE,所以四 ∠DOG即为异面直线PC与BD所成的角。 边形ABED为平行四边形。因为AB⊥ 因为OG=子rC=E.0D=3BD AD,所以BE⊥CD,AD⊥CD。由(1)知PA ⊥底面ABCD,因为CDC平面ABCD,所以 5,DG=PA=尽，所以△OGD是等腰三 PA⊥CD。因为AD∩PA=A,AD,PAC 角形。在△OGD中，作底边)G的高（作法 平面PAD,所以CD⊥平面PAD。又PDC 平面PAD,所以CD⊥PD。 略)，可得sin∠DOG=g,所以异面直线 √30 因为E和F分别是CD和PC的中点， 所以PD∥EF,所以CD⊥EF。因为EF∩ PC与BD所成角的正弦值为√O 6。 BE=E,EF,BEC平面BEF,所以CD⊥平 作者单位：江苏省无锡市洛社高级中学 面BEF。又CDC平面PCD,所以平面 (责任编辑王琼霞) 19