例说相互独立事件的概率&聚焦概率问题的常见题型-《中学生数理化》高一数学2026年5月刊

育一黄职结胸家柄骨中学生款理化 例说相互独立事件的概率 ■李梦阳 事件A,B相互独立→P(AB)=P(A)· 评注：判断两个事件相互独立的两种方 P(B):若P(AB)≠P(A)P(B),则事件A, 法：直接法，根据事件本身的性质，判断两个 B不相互独立。 事件的发生是否相互影响；定义法，事件A, 一、相互独立事件的判断 B同时发生的概率等于事件A发生的概率 例1一枚质地均匀的正方体骰子，其 与事件B发生的概率的积，则事件A,B为 六个面分别标有六个数字1,2,3,4,5,6，投 相互独立事件。 掷这枚骰子两次，设事件M为“第一次朝上 二、独立事件的概率计算 面的数字是奇数”，则下列事件中与M相互 例2在某道路A,B,C三处设有交通 独立的事件是()。 灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分 A.第一次朝上面的数字是偶数 别为25s,35s,45s,某辆车在这条道路上匀 B.第一次朝上面的数字是1 速行驶，则三处都不停车的概率是 C.两次朝上面的数字之和是8 解：由题意可知，每个交通灯开放绿灯的 D.两次朝上面的数字之和是7 解：抛掷骰子两次，基本事件总数为6 概率分州为器-是语-，8-是。某辆 6=36,则事件M={(1,1),(1,2),(1,3), 车在这个道路上匀速行驶，则三处都不停车 (1,4),(1,5),(1,6),(3,1),(3,2),(3,3), (3,4),(3,5),(3,6),(5,1),(5,2),(5,3), 的概率是品×品×号品 (5,4),(5,5),(5,6)},共18个基本事件，所 评注：如果事件A1,A2,…,A。相互独 以P(M)器宁，设事件E为第一次胡 立，那么这n个事件同时发生的概率等于每 个事件发生的概率的积，即P(A1A2…An)= 上面的数字是偶数，则事件M与事件E是对 P(A1)P(A2)…P(A.)。 立事件，A错误。设事件F为第一次朝上面 的数字是1，则F三M,B错误。设事件N为 两次朝上面的数字之和是8，则N={(2,6), 国庆节放假，甲去北京旅游的概率为 3” (3,5),(4,4),(5,3),(6,2)},共5个基本事 件，则P(N)6。因为MN=(3,5) 乙丙去北京旅游的概率分别为子·号。假定 3人的行动相互之间没有影响，那么这段时 (5,3,所以P(MN)=品=高所以 间内至少有1人去北京旅游的概率是 。 P(MN)≠P(M)P(N),C错误。设事件Q 提示：因为甲、乙、丙去北京旅游的概率 为两次朝上面的数字之和是7，则Q={(1, 6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)},所以 分别为行，子，号，所以他们不去北京旅游的 p(Q)=品-言因为MQ=1.6,3,4 234 概率分别为3，，5，故至少有1人去北京 (5,2),所以P(MQ)=36=2所以 3 旅游的概率是1一 3十3 2 43 P(MQ)=P(M)P(Q),所以事件M与事件 作者单位：安徽省太和县第二中学 Q相互独立。应选D。 (责任编辑王琼霞) 13 中学生数理化 知识结构与拓展 高一数学2026年5月 聚焦概率问题的常见题型 ■朱琳玲 题型一：随机事件的概念与关系 概率。 熟练掌握随机事件的概念与关系，是概 (2)此次DeepSeek培训分三轮进行，每 率解题的基础。互斥事件与对立事件的关 位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概 系：互斥事件是不可能同时发生的两个事件， 而对立事件除要求这两个事件不同时发生 率分别为号，号·弓，每轮培训结果相互独立， 外，还要求二者必须有一个发生：对立事件是 至少两轮培训达到“优秀”的员工才能合格， 互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对 求每位员工经过培训合格的概率。 立事件，即“互斥”是“对立”的必要不充分条 解：(1)记A部门的3名领导为a1,a2, 件，“对立”是“互斥”的充分不必要条件。 a3,B部门的3名领导为b1,b,ba,从6名部 例1掷两枚质地均匀的骰子，设事件 门领导中随机选取2人负贵，可能的结果为 A=“第一枚出现奇数点”，B=“第二枚出现 aa2,aas,aa3,a b,a b2,ab3,a2b,a2b2, 点数不超过3”，则事件A与事件B的关系为 a:bs,asbi,asb2,asbs,b b2,bibs,b2b3, ()。 15种，选取2人全部来自A部门领导的事 A.相互独立 B.互斥 件，可能的结果为a1a2,a1a,aa3,共3种， C.互为对立 D.相等 分P(B)= 厮以全部来自A部门领导的概率为行= 解：由题意得P(A)= 2,且 (2)记事件C=“每位员工经过培训合 P(AnB)=子，所以P(AnB) 格”，事件A:=“每位员工第元轮培训达到优 P(A)P(B)。而事件A,B可以同时发生， 秀”(i=1,2,3),则P(A1)=p(A)=2 所以它们不互斥，更不相等。由于事件A= “第一枚出现偶数点”，B=“第二枚出现点数 P(A,)=,事件C=A,A,A:UAA:A,U 超过3”，则事件A,B不是对立事件。综上 A1A2A3UA1A2Ag。 得A正确，B、C、D错误。应选A。 依题意得P(C)=P(A1A2A,)十 题型二：互斥事件与对立事件的概率 P(AA:A:)+P(AA:A:)+P(AA:A)= 求复杂事件的概率的两种方法：一是直 P(A1)P(A2)P(A3)+P(A1)· 接法，二是间接法。当题目中涉及“至多”“至 P(A:)P(A)+P(A1)P(A2)P(A)+ 少”等问题时，可考虑用间接法。 例2 DeepSeek是由中国杭州的Deep P(ADPA:)P(A)-会×号×号+专X Seek公司开发的人工智能模型，在金融、医 疗健康、智能制造、教育等多个领域都有广泛 3 的应用场景。为提高DeepSeek的应用能力， 某公司组织A、B两部门的员工参加相关 以每位员工经过培训合格的概率为号。 培训。 题型三：简单的古典概型 (1)已知该公司A、B部门分别有3名领 求解古典概型问题的一般思路：明确试 导，此次DeepSeek培训需要从这6名部门领 验的条件及要观察的结果，用适当的符号（字 导中随机选取2人负责，假设每人被抽到的 母、数字、数组等)表示试验的可能结果（借助 可能性都相同，求全部来自A部门领导的 图表可以不重不漏地列出所有的可能结果)； 14 资一数型识糖构室预骨中学生教理化 根据实际问题情境判断样本点的等可能性； A.所有的数对(a,b)共有30种情况 计算样本点的总个数及事件A包含的样本 点个数，求出事件A的概率。 B,函数y=f(x)有零点的概率为2 例3某人参加一项抽奖游戏，盒中放 C.使函数y=f(x)在区间[1，+∞)上 有红、蓝、绿、黄四色小球各1个，参加游戏的 单调递增的数对(a,b)共有13种情况 人需有放回地从盒中连续摸两次，每次摸出 D.函数y=f(x)在区间[1，+∞)上单 1个小球，并记录小球的颜色（其中红色、黄 调遥城的概家为号 色为暖色，蓝色、绿色为冷色)。设两次记录 的颜色分别为α，b。奖励规则如下：①若两 解：对于A,所有的数对(a,b)为(1， 次记录的颜色中有红色，则获得一等奖；②若 一1)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2，一1)， 两次记录的颜色中没有红色，但不全是冷色， (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,一1)，(3,1)， 则获得二等奖：③其余情形获得鼓励奖。假 (3,2),(3,3),(3,4),共15种情况，A不正 设小球除颜色外其他都相同。 确。对于B,函数y=f(x)有零点等价于 (1)求此人获得一等奖的概率。 △=b-4a≥0，符合条件的数对为(1,2)， (2)比较此人获得二等奖与获得鼓励奖 (1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共6种情 的概率的大小，并说明理由。 6 况，所以函数y=f(x)有零点的概率为 解：(1)依题意得所有的样本空间为 {(红，红)，（红，黄），（红，蓝），（红，绿），（黄， 行B正确。对于C,D,因为a>0,函数y 红)，（黄，黄），（黄，蓝），（黄，绿），（蓝，红）， (蓝，黄)，（蓝，蓝），（蓝，绿），（绿，红），（绿， 了x)图像的对称轴为直线x一会，且在区同 黄)，（绿，蓝），（绿，绿）}，共有16个样本点 其中红色样本点有7个，所以此人获得一等 1,十)上单调递增，所以品≤1，满足条件 奖的概率为名 的数对为(1，一1)，(1,1)，(1,2)，(2，一1)， (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,一1)，(3,1) (2)由(1)得两次记录的颜色中没有红 (3,2),(3,3),（3,4),共13种情况，所以函数 色，但不全是冷色的样本点有5个，则此人获 y=f(x)在区间[1，十∞)上单调递增的概率 得二等奖的概率为。·获得鼓励奖的概率为 为3 ，C正确，D错误。应选BC。 1一名一。-。放此人获得二等奖的概率 感括与收石 大于获得鼓励奖的概率。 已知两个随机事件A和B,其中 题型四：古典概型的交汇问题 求解古典概型与函数、方程、不等式交汇 P(A)=号，P(B)=会，P(AUB)=子，则 1 问题的核心是“转译条件一构建模型一计数 P(AB)-( ）。 计算”：先将跨模块核心条件（如函数零点、单 调性)转化为基本事件的约束关系，再明确基 A.I 以号 c合n.君 本事件的构成，确定样本空间总个数，最后筛 提示：因为A和B是两个随机事件，所 选符合约束的有效事件并统计，代入古典概 以P(AUB)=P(A)+P(B)一P(AB),则 型概率公式计算即可。 P(AB)=P(A)+P(B)-P(A UB)=8. 1 例4（多选题）已知关于x的二次函数 f(x)=ax-bx+1,设集合P={1,2,3}, 应选D。 Q={一1,1,2,3,4}，分别从集合P和Q中随 作者单位：江苏省梅村高级中学空港分校 机取一个数a和b得到数对(a,b),则( )。 (责任编辑王琼霞) 15