2025年高考平面向量问题赏析&向量的新定义问题例析-《中学生数理化》高一数学2026年2月刊

创新题追提潮酒中学生教狸化 高-数学2026年2月 2025年高考平面向量问题赏折 ■刘大鸣（特级教师）》 高考对平面向量的考查主要围绕“向量 平行或垂直的条件、向量的数量积运算、向量 故|a+b+c 的模的最值（范围）”等展开，凸显向量“数”与 =√(1+cos0)+(1+sin0) “形”双重身份的数学素养。 =√3+2cos0+2sin0 题型1：向量平行或垂直条件的应用 例1(2025年高考全国卷)已知平面向 3+2Esin(0+). 量a=(x,1),b=(x-1,2x),若a⊥(a b),则1a= 由9∈(2x),可得9+平∈(7,9)： 解析：根据向量的坐标运算得a一b= (1,1一2.x),再利用向量垂直的坐标表示即得 则smo+)∈（竖2）所以2厄· 结果。因为a⊥(a一b),所以a·(a一b)= sin(0+T)∈(-2,2)，所以1a+b+c∈ 0,可得x十1一2x=0,解得x=1,所以向量 a=(1,1),所以|a=√2。 (1,W5)。 题型2：向量的模的最值（范围）问题 例3(2025年高考北京卷)已知平面直 例2(2025年高考上海卷)已知函数 角坐标系Oxy中，|OA|=|OB|=√2， 1,x>0, AB1=2,设点C(3,4),则|2CA+AB1的取 f(x)=0,x=0,a,b,c是平面内三个不 值范围是( )。 —1,x0, A.[6,14] B.[6,12] 同的单位向量。若f(a·b)十f(b·c)+ C.[8,14] D.[8,12] f(c·a)=0,则|a+b+c|的取值范围是 解析：根据AB=O店一OA,求出(OA, OB),再利用向量OA,OB表示出2CA+AB 解析：利用分类讨论得{f(a·b),f(b· 即可求出范围。 c),f(c·a)}={一1,0,1}，根据数量积的关 已知OA1=1OB|=2,1AB1=2,由 系设出a,b,c的坐标，结合三角恒等变换求 AB=O-OA,平方得OA·OB=0,所以 出模的取值范围。 0,0)=受，可得10+Oi1=2。因为 若f(a·b)=f(b·c)=f(c·a)=0, 则a·b=b·c=c·a=0。因为三个向量均 2CA+AB=2(OA-OC)+OB-OA- 为平面内的单位向量，所以向量a,b,c两两 OA+OB-2OC,且1O心1=√32+4=5，所 垂直，这时显然不成立，故{f(a·b),f(b· 以12CA+AB12=OA”+OB+4OC c),f(c·a)}={-1,0,1}。注意对等性，不 4(O月+OB)·OC=2+2+4×25-4(OA+ f(a·b)=1, OB)·0C=104-4(OA+OB).0心 妨设f(b·c)=0,则a·b>0,b·c=0, 又1(OA+Oi)·O元1≤1OA+Oi1· f(c·a)=-1, 1O心1=10，所以-10≤(OA+OB)·O元≤ c·a<0。由此可设向量b=(1,0),c=(0, 10,所以|2CA+AB12∈[64,144]，所以 1),a=(cos0,sin0),且0∈[0,2π)，所以 |2CA+AB|∈[8,12]。应选D a·b=cos0>0, c·a=sn9<0,所以9e(2x). 作者单位：陕西省洋县中学 (责任编辑郭正华) 37 创新题追根湖源 中学生数理化高数学2026年2月 绕点A顺时针方向旋转牙，得到点P,等价于把 向量的新定义问题例折 点B绕点A逆时针方向旋转，得到点P。设 点p(,,则市-(2s7经+22s 7π 4 √2sin 7π -22 cos 7π 4 =(-1,-3)。又因为 ■罗文军 A户=(x一1，x一2)，所以 x-1=一1， 解得 y-2=-3,1 x=0,y=一1，所以点P的坐标为(0，一1)。 点评：这是一道新运算类型的新定义题， 所谓新定义问题，是指在题目中给出了 先计算出向量AB的坐标，根据终边相同的 一个从未接触过的新概念，要求同学们通过 认真阅读，现学现用，并解答问题。下面例析 角的性质，把顺时针方向旋转牙转化为逆时 三道典型的向量新定义问题，供同学们学习 针方向旋转，再根据题中的新运算列方程 与参考。 例1定义向量a,b运算a×b的结果 计算即得结果。 是一个向量，它的模是|a×b|=|a||b1· 例3（多选题）定义平面向量之间的一 sin〈a,b),其中(a,b)表示向量a,b的夹角。 种运算“⊙”如下：对任意向量a=(x1,y1), 已知向量1a=1,b=2,且<a,b)=否，则 b=(x2,y2),令a⊙b=x1y2一x2y1,则下列 说法正确的是()。 1a×b1=-o A.若a与b共线，则a⊙b=0 解：因为1a=1.b1=2,且<a,b)-爱， B.a⊙b=b⊙a C.对任意的入∈R,都有(Aa)⊙b= 所以|a×b|=|a|1b|sin(a,b)=1×2× A(a⊙b) D.(a⊙b)2+(a·b)2=|a|2|b12 点评：这是一道新公式类型的新定义题， 解：对于A,若a与b共线，则x1y2 可以类比向量的数量积运算，由|a×b|= x2y1=0,所以a⊙b=x1y2-x2y1=0,A正 |a||b|sin(a,b)即得结果。 确。对于B,a⊙b=x1y2-x2y1,b⊙a= 例2向量旋转具有反映点与点之间特 x2y1一x1y2,B错误。对于C,(a)⊙b= 殊对应关系的特征，在电子信息传导方面有 (入x1,Ay1）⊙(x2,y2）=Ax1y2-Ax2y1= 重要的应用。平面向量旋转公式在中学数学 A(x1y?一x2y1)=入(a⊙b),C正确。对于D, 中用于求旋转相关点的轨迹方程具有明显优 (a⊙b)2+(a·b)2=(x1y2-x2y1)2十 势，已知对任意平面向量AB=(x,y),把 (zx:+yiy2)?=zix:+xiy+xiyi+ AB绕其起点沿逆时针方向旋转0角得到向 yy经=(x十y)(x+y)=|a2·b|2,D AP=(xcos 0-ysin 0.xsin 0+ycos 0), 正确。应选ACD。 叫作把点B绕点A沿逆时针方向旋转0角 点评：这是一道新运算类型的新定义题， 得到点P。已知平面内点A(1,2),点B(1+ 类比向量数量积的坐标表示，利用向量共线 √2,2一2√2)，把点B绕点A沿顺时针方向 的坐标表示可判断A,利用新定义向量的坐 旋转后得到点P,则点P的坐标为 标运算可判断B,C,D。 作者单位：甘肃省秦安县第二中学 解：由题意知AB=(√2，一2√2)。把点B (责任编辑郭正华) 38