专题拓展：三角函数ω的取值范围问题（暑假预习讲义）新高一年级数学人教A版

专题拓展：三角函数ω的取值范围问题 类型一：结合单调性求ω的取值范围 【例1-1】若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意可得，， 得，， 则，解得， 又，当时，得；当时，，矛盾， 所以的取值范围是． 故选：A． 【例1-2】已知函数，其中.若在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， ∵函数在区间内单调递增， ∴，∴， ∵，∴， 若在区间上单调递增，则， 解得，当时，，又因为，∴. 故选：A 【方法总结】 函数的每一“完整”单调区间的长度（即两相邻对称轴的间距）恰好等于，据此可用来求的值或范围. 【变式1-1】已知函数在区间上不单调，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】的图象的对称轴为直线，， 因为在区间上不单调， 所以对称轴，在直线与直线之间， 即，，化简得，， 因为，所以令，得，又当时，， 综上. 故选：B． 类型二：根据三角函数的对称性求的取值范围 【例2-1】函数关于直线对称，则的最小值是（    ） A． B． C．2 D．6 【答案】B 【详解】函数的图象向左平移个单位后， 得到的函数， 因为曲线关于直线对称， 所以，， 解得：，， 因为，令，得，所以的最小值是. 故选：B. 【例2-2】若函数在区间上恰有唯一对称轴，则ω的取值范围为（        ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， 因为，，所以， 因为区间上恰有唯一对称轴，故， 解得. 故选：D 【方法总结】 三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为，相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为，也就是说，我们可以根据三角函数的对称性来研究其周期性，进而可以研究的取值． 【变式2-1】函数在区间上恰有两条对称轴，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， 令，，则，， 函数在区间[0，]上有且仅有2条对称轴，即有2个整数k符合， ，得，则， 即，∴. 故选：D. 【变式2-2】已知函数，（）的图象在区间内至多存在3条对称轴，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，， 所以， 画出的图象， 要想图象在区间内至多存在3条对称轴，则， 解得. 故选：A 类型三：结合函数最值求ω的取值范围 【例3-1】若函数在有最小值无最大值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，可得， 又函数在有最小值无最大值， 故，解得. 故选：D 【例3-2】已知，函数在上存在最值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当取最值时，． 即， 由题知，故． 即． 因为时，；时，； 显然当时，，此时在上必有最值点． 综上，所求． 故选:D． 【方法总结】 ，当时取得最大值，当取得最小值. 【变式3-1】若函数在区间内没有最值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由在区间内没有最值，知在区间上单调，由可得， 当在区间上单增时，可得，解得， 时无解，令，得，又，故； 当在区间上单减时，可得，解得， 时无解，令，得，综上. 故选：B. 类型四：结合零点求ω的取值范围 【例4-1】已知函数，若在上无零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得，得， 由，得， 因为在上无零点， 所以（），解得（）， 当时，，当时，，当时，无解， 因为，所以或， 所以的取值范围是， 故选：B 【例4-2】若函数在区间上恰有两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题可知，解得，． 因为函数在区间上恰有两个零点， 所以或 解得或，即． 故选：C. 【方法总结】 对于区间长度为定值的动区间，若区间上至少含有k个零点，需要确定含有k个零点的区间长度，一般和周期相关，若在在区间至多含有k个零点，需要确定包含k+1个零点的区间长度的最小值． 【变式4-1】已知函数在上恰好有7个零点，则的取值范围是______． 【答案】 【详解】，令， ， ， 由题意在上恰有7个零点，即在上恰有7个不相等的实根， 即，或，， 当时，， … 当，. 由的性质可得， 解得． 故答案为： 类型五：结合图象变换求ω的取值范围 【例5-1】将函数的图像向左平移个单位，再将所得图像上的各点的横坐标变为原来的倍，得到函数的图像，若在单调递增，则的取值范围为______. 【答案】 【详解】因函数的图像向左平移个单位，所得函数为，再将所得函数图像上的点的横坐标变为原来的倍，得到函数的图像. 所以，令，， 解得，，又在单调递增， 所以，且，解得且，又， 解得，. 【例5-2】将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的，得到函数的图象，若在上有最大值无最小值，则的取值范围是______． 【答案】 【详解】将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的，得到函数的图象， 所以，当时，因为，所以， 因为函数在上有最大值无最小值，所以，解得， 即实数的取值范围是. 故答案为：. 【方法总结】 通过图象平移或伸缩变换，得到新的函数的解析式，然后再根据变换后的条件，求出的取值范围.． 【变式5-1】将函数的图像向右平移个单位长度后得到奇函数，则的最小值是（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【详解】将函数的图像向右平移个单位长度， 得到， 若为奇函数，则，解得， 且，解得，， 可得的最小值是1，所以的最小值是. 故选：B. 【变式5-2】已知函数的图象是由的图象向右平移个单位得到的．若在上仅有一个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题知，函数在上仅有一个零点， 所以，所以， 令，得，即. 若第一个正零点，则（矛盾）， 因为函数在上仅有一个零点， 所以，解得. 故选：A 一、单选题 1．已知函数在上单调递减，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设函数的最小正周期为T，由题意得，即， 又，所以，解得, 又，所以，所以， 要使函数在上单调递减，则，解得. 故选：C. 2．已知函数其中．若在区间上单调递增，则ω的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时， ， 则， 即，解得， 当时，，又∵，则， 当时，， 当时，∵，此时无解， ∴. 故选：D. 3．已知函数．若在区间内没有零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】, 若，因为，所以， 因为在区间内没有零点， 所以，解得； 若，因为，所以， 因为在区间内没有零点， 所以，解得； 综上，， 故选:D. 4．已知函数在区间有且仅有2个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由 ， 又，则， 函数在上恰有2个零点，即在上有2个解， 所以，解得． 故选：A 5．将函数的图像先向右平移个单位长度，再把所得函数图像上的每个点的纵坐标不变，横坐标都变为原来的倍，得到函数的图像.若函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由三角函数的图像变换规律可知，， ，， 因为函数在上单调递增，所以，且， 得. 故选：B 6．已知函数 ，若的图象的任意一条对称轴与轴交点的横坐标均不属于区间，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为的图像的任何一条对称轴与轴交点的横坐标均不属于区间， 所以， 所以， 又，且，解得， 又因， 所以，解得， 当时，符合题意， 当时，，符合题意， 所以. 故选：D. 7．已知函数在区间上是增函数，且在区间上恰好取得一次最大值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 ， 在区间上是增函数， ，. 当时，取得最大值， 而在区间上恰好取得一次最大值， ，解得， 综上，. 故选：D. 二、填空题 8．已知函数f(x)＝2sin ωx在区间上的最小值为－2，则ω的取值范围是________. 【答案】(－∞，－2]∪ 【详解】显然ω≠0. 若ω>0，当x∈时，－ω≤ωx≤ω，因为函数f(x)＝2sin ωx在区间上的最小值为－2，所以－ω≤－，解得ω≥. 若ω<0，当x∈时，ω≤ωx≤－ω，因为函数f(x)＝2sin ωx在区间上的最小值为－2.所以ω≤－，解得ω≤－2.综上所述，符合条件的实数ω的取值范围是. 故答案为： 9．若函数在处取得最大值，且的图象在上有4个对称中心，则的取值范围为__________. 【答案】 【详解】依题知，所以， 解得， 所以， 因为，所以当时，， 依题知，解得. 故答案为： 10．已知函数，在上恰有3条对称轴，3个对称中心，则的取值范围是______. 【答案】 【详解】当时，，因为此时对应3条对称轴，3个对称中心，画出函数图象，如图： 故必满足，解得. 11．将函数的图象向右平移个单位后，再将所得图象各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，若在区间内没有零点，则的取值范围是_______． 【答案】 【详解】由题意知，， 由，得， 若在区间内没有零点， 则，解得， 由，当时，，当时，，当时，不符合， 所以的取值范围为. 故答案为： 12．函数，直线为的一条对称轴，为的一个对称中心，且在区间上单调，则的最大值为_________. 【答案】11 【详解】设函数的最小正周期为， 因为在区间上单调，且直线为的一条对称轴， 则，可得， 且，则，解得， 又因为为的一个对称中心， 则，，解得，， 可得，，解得，， 则，解得，， 当时，取到最大值11， 此时， 因为直线为的一条对称轴， 则，，即，， 且，可得，，符合题意， 综上所述：的最大值为11. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题拓展：三角函数ω的取值范围问题 类型一：结合单调性求ω的取值范围 【例1-1】若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【例1-2】已知函数，其中.若在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【方法总结】 函数的每一“完整”单调区间的长度（即两相邻对称轴的间距）恰好等于，据此可用来求的值或范围. 【变式1-1】已知函数在区间上不单调，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 类型二：根据三角函数的对称性求的取值范围 【例2-1】函数关于直线对称，则的最小值是（    ） A． B． C．2 D．6 【例2-2】若函数在区间上恰有唯一对称轴，则ω的取值范围为（        ） A． B． C． D． 【方法总结】 三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为，相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为，也就是说，我们可以根据三角函数的对称性来研究其周期性，进而可以研究的取值． 【变式2-1】函数在区间上恰有两条对称轴，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】已知函数，（）的图象在区间内至多存在3条对称轴，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 类型三：结合函数最值求ω的取值范围 【例3-1】若函数在有最小值无最大值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例3-2】已知，函数在上存在最值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【方法总结】 ，当时取得最大值，当取得最小值. 【变式3-1】若函数在区间内没有最值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 类型四：结合零点求ω的取值范围 【例4-1】已知函数，若在上无零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例4-2】若函数在区间上恰有两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【方法总结】 对于区间长度为定值的动区间，若区间上至少含有k个零点，需要确定含有k个零点的区间长度，一般和周期相关，若在在区间至多含有k个零点，需要确定包含k+1个零点的区间长度的最小值． 类型五：结合图象变换求ω的取值范围 【例5-1】将函数的图像向左平移个单位，再将所得图像上的各点的横坐标变为原来的倍，得到函数的图像，若在单调递增，则的取值范围为______. 【例5-2】将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的，得到函数的图象，若在上有最大值无最小值，则的取值范围是______． 【方法总结】 通过图象平移或伸缩变换，得到新的函数的解析式，然后再根据变换后的条件，求出的取值范围.． 【变式5-1】将函数的图像向右平移个单位长度后得到奇函数，则的最小值是（    ） A． B． C．1 D．2 【变式5-2】已知函数的图象是由的图象向右平移个单位得到的．若在上仅有一个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 一、单选题 1．已知函数在上单调递减，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．已知函数其中．若在区间上单调递增，则ω的取值范围是（ ） A． B． C． D． 3．已知函数．若在区间内没有零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知函数在区间有且仅有2个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．将函数的图像先向右平移个单位长度，再把所得函数图像上的每个点的纵坐标不变，横坐标都变为原来的倍，得到函数的图像.若函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．已知函数 ，若的图象的任意一条对称轴与轴交点的横坐标均不属于区间，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．已知函数在区间上是增函数，且在区间上恰好取得一次最大值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 8．已知函数f(x)＝2sin ωx在区间上的最小值为－2，则ω的取值范围是________. 9．若函数在处取得最大值，且的图象在上有4个对称中心，则的取值范围为__________. 10．已知函数，在上恰有3条对称轴，3个对称中心，则的取值范围是______. 11．将函数的图象向右平移个单位后，再将所得图象各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，若在区间内没有零点，则的取值范围是_______． 12．函数，直线为的一条对称轴，为的一个对称中心，且在区间上单调，则的最大值为_________. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $