聚焦古典概型问题-《中学生数理化》高一数学2026年5月刊

资一数型识锁物室预骨中学生表理化 聚焦古典慨型问题 ■冉亚利 一、古典概型的判断 选2人参加社区服务，则选中的2人都是女 例1下列试验是古典概型的是()。 同学的概率是一。 A.口袋中有2个白球和3个黑球，从中 解：设2名男同学为a,b,3名女同学为 任取一球，样本点为{取中白球}和（取中黑 A,B,C,从5名同学中选出2人的可能情况 球 为(a,b),(a,A),(a,B),(a,C),(b,A), B.在区间「一1,5]上任取一个实数x,使 (b,B),(b,C),(A,B),(A,C),(B,C),共 x2-3x+2>0 10种，其中都是女同学的可能情况为(A, C.抛一枚质地均匀的硬币，观察其出现 B),(A,C),(B,C),共3种，所以所求概率 正面或反面 D.某人射击中靶或不中靶 =0.3。 解：对于A,D,每一个样本点发生的可 评注：求解古典概型的概率的三个步骤： 能性不相等，不是古典概型。对于B,样本空 求出所有样本点的个数n；求事件A包含的 间的样本点是无限个，不是古典概型。对于 样本点的个数m:代入公式P(A)=求解。 C,样本点只有两个，即正面或反面，且每一个 样本点发生是等可能的，即出现正面或反面 四、与取球有关的问题 例4一个袋子中装有3个红球和2个 的概率均为？，是古典概型。应选C。 白球，这些球除颜色外完全相同。从袋子中 评注：判断一个试验是不是古典概型要 任意摸出2个球，摸出的2个球都是红球的 抓住两点：一是有限性，二是等可能性。 概率是。 二、与取数有关的问题 解：设3个红球为R,R,,R,2个白球 例2从分别写有1,2,3,4,5的5张卡 为W1,W:,从5个球中任意摸出2个球，所 片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张， 有等可能的基本事件为{R1,R2},{R1,R,}, 则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片 (R1,W},{R1,W},R2,Ra},{R:,W}, 上的数的概率是。 (R,W2},{Ra,W1},{Rg,W2},{W1,W2},共 解：从5张卡片中随机抽取1张，放回后 10种结果，摸出的2个球都是红球的事件为 再随机抽取1张的情况用树状图表示，如图1 (R1,R2},{R1,R》,(R2,R,},共3种结果， 所示。 故从袋中任意摸出2个球，摸出的2个球都 个个个个个 是红球的概率为号 评注：在列举基本事件时，要注意字母的 图1 顺序，不要遗漏。 由图可知，基本事件的总数为25，第一 五、与向量有关的问题 张卡片上的数大于第二张卡片上的数的事件 例5将号码为1,2,3,4的四个小球放 个数为10，所以所求概率P=0=名 入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全 25=5。 相同，甲从袋中摸出一个小球，其号码为a, 评注：树状图法适用于多步试验（两步及 放回后，乙从此袋中再摸出一个小球，其号码 以上)或结果数较多的情形（如掷三次硬币、 为b,已知向量m=(a,一2)，n=(1,b一2)， 从三个袋子中各摸一个球等)。 则事件“m与n的夹角为锐角”发生的概率为 三、与选人有关的问题 例3从2名男同学和3名女同学中任 解：由题意得甲从袋中摸出一个球，其号 11 中学生数理化高数学2026年5月 知识结构与拓展 码为a,放回后，乙从此袋中再摸出一个球 色外，其余完全相同)，则至少抽到1个黑球 其号码为b,则基本事件的总数为4×4=16。 的概率是 若m与n的夹角为锐角，则m·n>0, 解：设3个红球分别为A,B,C,2个黑 且m与n不同向，所以m·n=a一2b十4> 球分别为a,b,则试验的样本空间为((A, 0,且m与n不同向。满足不等式a-2b+ B),(A,C),(A,a),(A,b),(B,C),(B,a), 4>0的基本事件为(1,1)，(1,2)，(2,1)， (B,b),(C,a),(C,b),(a,b)},共10个样本 (2,2),(3,1),(3,2),(3,3),(4,1),(4,2), 点，抽出的2个球中至少有1个黑球包含的 (4,3),共10个，其中当a=2,b=1时，m与 样本点为(A,a),(A,b),(B,a),(B,b),(C, 红同向，所以所求概率P一6。 a),(C,b),(a,b),共7个，故所求概率为0。 评注：当两向量的夹角为锐角时，其数量 评注：至少抽到1个黑球包含抽到的2 积为正：当两向量的夹角为0时，其数量积也 个球中有1个黑球和2个黑球。 为正。 九、有放回抽取与无放回抽取问题 六、与函数有关的问题 例9从2名男生和2名女生中任意抽 例6若连续抛掷两次骰子得到的点数 取2人，分别采取有放回简单随机抽样和不 分别为m,n,则点P(m,n)在一次函数y= 放回简单随机抽样，在这两种抽样方式下，抽 一x十4的图像上的概率是 到的2人都是女生的概率分别是()。 解：由题意得(m,n)的取值情况为 A子日 11 (1,1),(1,2),·,(1,6)；(2,1),(2,2),· B.26 (2,6)；；(6,1),(6,2),…,(6,6),共36种 满足点P(m,n)在一次函数y=一x十4图 c子 n合号 像上的取值情况为(1,3)，(2,2)，(3,1)，共3 解：将2名男生编号为a,b,2名女生编 种。故所求概率为器一是 号为1,2，记事件A=“抽到的2人都是女 生”，从2名男生和2名女生中任意抽取2 评注：抛掷一次骰子得到的点数有6种 人，在有放回简单随机抽样方式下的样本空 情况，抛掷两次骰子到的点数有36种情况。 间21={(a,a),(a,b),(a,1),(a,2),(b, 七、与方程有关的问题 a),(b,b),(b,1),(b,2),(1,a),(1,b),(1, 例7从方程x十y十之=5的所有非负 1),(1,2),(2,a),(2,b),(2,1),(2,2)},共 整数解中随机取出一组解，则该解是正整数 16个样本点，其中事件A={(1,1),(1,2), 解的概率是。 (2,1),(2,2)},共4个样本点，所以P(A)= 解：因为方程x+y十之=5的非负整数 解有21个，它们是(0,0,5)，(0,1,4)，(0,2， 16=本。在无放回简单随机抽样方式下的样 41 3),(0,3,2),(0,4,1),(0,5,0),(1,0,4), 本空间22={(a,b),(a,1),(a,2),(b,a), (1,1,3),(1,2,2),(1,3,1),(1,4,0),(2,0, (b,1),(b,2),(1,a),(1,b),(1,2),(2,a), 3),(2,1,2),(2,2,1),(2,3,0),(3,0,2),(3, (2,b),(2,1)},共12个样本点，其中事件 1,1),(3,2,0),(4,0,1),(4,1,0),(5,0,0), A={(1,2),(2,1)},共2个样本点，所以 其中x,y,之均为正整数的解有6个，所以该 21 P(A)=2-石。应选C 解是正整数解的概率P一员-号 评注：有放回抽样是重复抽样，无放回抽样 评注：非负整数包含0和正整数。 是不重复抽样。两种抽样方法，在整个抽样过 八、至多、至少问题 程中，每个个体被抽到的可能性都是相等的。 例8从装有3个红球和2个黑球的盒 作者单位：湖北省巴东县第一高级中学 子中不放回地一次随机抽取2个球（球除颜 (责任编辑王琼霞) 12