例说数学思想在平面向量中的应用-《中学生数理化》高一数学2026年6月刊

中学生表理化贺皱挚与拓年6月 例说数学思想在平面向量中的应用 ■廖子宜 平面向量中蕴含着丰富的数学思想，求 AB=3AN-3AM=3(ON-OA)-3(OM- 解向量问题运用相应的数学思想，往往能简 OA)=3(ON-OM),所以BC·OM= 便、准确地获解。 3(ON-OM)·OM=3(ON·OM 一、方程思想 1OM12)=3×(2×1×cos120°-1)=3× 例1已知向量a,b不共线，且c=Aa十 (-2)=-6。 b,d=a+(2入-1)b,若c与d共线反向，则 (方法2)连接MN。因为BM=2MA, 实数入的值为( )。 示=2N所以=子A然所以MN/ A.1 BC,且-号所以成-=O贰 c1或-号 D-1成-含 OM),所以BC.OM=3(ON.OM-OM) 解：由于c与d共线反向，所以存在实数 =3(2×1×c0s120°-12)=-6。 评注：数形结合就是“形”中觅“数”，“数” k,使c=kd(k<0),所以aa+b=k[a十(2入 中构“形”。解题时要注意利用“数”的精确性 一1)b],整理得Aa十b=ka十(2xk一k)b。因 和“形”的直观性。 为a,b不共线，以 入=k, 消去k得 三、函数思想 2入k-k=1, 例3设e1,e2为单位向量，非零向量b 2入X入1=0，解得入=1或入=-701 π =xe,十yexy∈R。若ee:的夹角为6， 因为为<0，所以<0，放入=一方，应 则。的最大位等于一 选B。 解：因为b≠0，b=xe1+ye2,x,y∈R, 评注：若向量a与b不共线，且λa十b 所以x≠0或y≠0。 =0,则入==0。 x 二、数形结合思想 当x=0y≠0时，b=0:当x≠0时， 例2如图1所示，在△ABC中，已知 OM=1,ON=2,∠MON=120°，BM= b:=(xe+ye:)=++3 2MA,CN=2NA,则BC·OM的值为 29 1 x+y+xy y 。不妨设 +3义+ =，则小 1 1bT=2+√31+1 当t=-3 y x 时十后：+1取得最小值}此 图1 解：（方法1）连接OA。因为BC=A亡 时。取祥显大值，所以吉的最大值 6 资一数型识糖构室西骨中学生教理化 为2。 评注：数学问题的解决，往往离不开转化 综上可得，0的最大值为2 与化归思想。解题时要注意向量的数量积是 个实数。 评注：解题时，利用二次函数的性质求出 六、整体思想 +5:十1的最小值，进面求得的最 例6已知非零向量a,b满足|a十b|= 大值。 1a一61=251a1,则向量a十b与a-b的 3 四、分类讨论思想 夹角为()。 例4已知点A(3,一4)与B(一1,2)， A.150° B.135 点P在直线AB上，且AP|=|PB|,则点P C.60° D.30 的坐标是一。 解：将|a十b|=a一b|两边平方得a·b 解：设点P的坐标为(x,y)。 ①当点P在线段AB上时，因为AP= =0,将a-b1= 2√ 3|a两边平方得b- PB,所以(x-3,y十4)=(-1一x,2-y),所 以-3=-1-x, 解得1， 所以点P 3a。由向量的夹角公式得cos《a十b,a y+4=2-y, y=-1, 2 的坐标为(1，一1)。 b>=a+b).(a-b)_a2-b3a 1 三 ②当点P在线段AB的延长线上时，因 ”6a-b42 4 g a 2 为A户=一PB,所以(x-3,y十4)=-（一1 -x,2-y),所以-3=1+x, 因为两个向量的夹角α∈[0，π]，所以向 此时无解。 y+4=-2+y, 量a+b与a一b的夹角为60°，即(a+b,a一 同理可得，当点P在线段BA的延长线上时， b〉=60°。应选C。 评注：本题通过整体代入、整体相约，降 无解。 综上所述，点P的坐标为(1，一1)。 低了解题的难度。 评注：分类讨论就是“化整为零，各个击 破，再积零为整”的解题策略。注意分类应准 感任与收 (多选题)设a,b,c是任意的非零平面向 确，且不重不漏。 量，且相互不共线，则下列命题中的真命题 五、转化与化归思想 例5（多选题）下列关于向量a,b,c的 是()。 A.(a·b)c-(c·a)b=0 运算，一定成立的是()。 B.|a|-|b|<|a-b A.(a+b)·c=a·c+b·c C.(b·c)a-(a·c)b不与c垂直 B.(a·b)·c=a·(b·c) D.(3a+2b)·(3a-2b)=9|a12 C.a·ba·b 41b|2 D.|a-b|≤|a|+|b| 解：由向量的数量积的分配律知A正 提示：因为b,c是不共线的向量，所以 确。对于B,左边为c的共线向量，右边为a (a·b)c一(c·a)b应为向量，A错误。因为 的共线向量，B错误。对于C,由向量的数量 a,b不共线，所以a,b,a一b能构成三角形， 积的定义知a·b=a|b|cos〈a,b》 B正确。因为[(b·c)a一(c·a)b]·c= |a|·1b|,C正确。对于D,|a一b12一(a1 (b·c)(a·c)-(c·a)·(b·c)=0,所以 +|b|)2=-2a·b-2|a|b|=-2|a||b1· 两向量垂直，C错误。根据向量数量积的运 (cosa,b)+1)≤0，故a一b|2≤(|a|+ 算可得D正确。应选BD。 |b|)2,即|a一b≤|a|+|b|,D正确。应选 作者单位：福建省泉州外国语学校 ACD。 (责任编辑王琼霞)