转化思想在解三角形中的应用-《中学生数理化》高一数学2026年3月刊

高一数型识施物氧骨中学生表理化 转化思想在韶三角形中的应用 ■王美亭 转化思想是数学解题的灵魂，尤其在解 ②因为B= 三角形问题中，通过边角互化、结构转换、图 3,a=6,所以△ABC的面 形分解等方式，可以将复杂的条件转化为可 2acsin B=33 积S= 解模型。下面结合例题，从边角关系、三角方 2c。 程到“爪”型结构，系统展示如何运用转化思 根据正弦定理得a C sin A-sin C- 想简化解题过程、拓展解题思路，进一步助力 同学们提升逻辑推理与综合应用能力。 6ain(5-A 一、转化思想在解三角形边角互化中的 ,所以c= ，所以 sin( -A sin A 应用 例1在△ABC中，角A,B,C的对边 △ABC的面积S=3 2 :c=9√5· 分别为a,b,c,已知c=bcos A十号a 2a。 1 2 cos A+ (1)求角B的大小。 sin A (2)当△ABC为锐角三角形时，①求角 A的取值范围：②设a=6,求△ABC面积的 因为角A的取值范围为（答，）人，所以 取值范围。 解：(1)由c=6c0sA+0,结合正弦定 tanA的取值范围为 ,+∞)，所以1 3 tan a 理得sinC=sin(A+B)=sin Acos B+ 的取值范围为(05)，所以2日A的取值范 √3 cosAsin B=-in Beos A十合sinA,所以 围为o,）,所以2十2A的取值范图为 3 sin Acos B=2sinA。因为A∈(0，元)，所以 (径，2。据此可得，△ABC的面积S 1 sinA>0,所以cosB=2。又B∈(0，x),所 以B=T 评注：本题通过正弦定理实现边角互化， (2)①显然B=号是镜角，结合题意得 将复杂的边的关系式转化为易于计算的单角 三角函数的形式。通过转化，简化了题设条 0<A<, 件，让后续解题更顺畅，充分彰显了转化思想 解得石<A<受，所以 化繁为简的核心价值。 0<c--A<受 3 二、转化思想在借助三角形内角和及三 角恒等变换中的应用 角A的取值范围为（信，）。 例2在△ABC中，角A,B,C的对边 中学生表理化智职皱掉与拓景年3月 分别为a,b,c,且cosA=一sinB,则b+c ①若AD是∠BAC的平分线，求线段AD 的长；②若CD=2BD,求tan∠BAD的值。 的最小值为( )。 解：(1)已知sinA=sin BC,可得 A.4√2-5 B.4√2-4 2 C.3 D.4√2-3 2sin Ac A 2 解：由cosA=一sinB得cos.A c0s(受+B),结合A∈(0，x),B∈(0，x)得B 因为A∈(0，).所以0<号<受，所以 十受=A,所以C=元一A-B=元-B一B c0s号≠0，所以n号-日，所以A=行 2 --2B,所以sinC=im(-2B） 因为S=2 esinA=105,且c=5 所以b=8。由余弦定理得a2=b十c2 cos2B=2cos2B-1。 结合正弦定理得十c sin'B+sin'C 2bce0sA=64+25-2×8X5X号-49，所以 sin'A a=7。故a=7,b=8。 1-cos'B+(2cos2B-1)2 =4cosB+ cos'B (2)①因为S△ABc=S△ABD十S△ACD= 1 2 5≥2 cosB 4cos2B· 2 cosB -5=4√2 ABX AD X sin ZBAD+XACXADX 2 5,当且仅当4cos2B= cos'B,即cos'B=2 sin∠CAD=10尽，所以号ADsin吾十 时等号成立，所以的最小值为4E 4 ADsin-吾=10，解得AD=40Y 13。 5。应选A。 评注：此题需要学会从结构特征中识别 ②设∠BAD=0,则∠CAD=号-0，且 转化路径，提升综合应用能力，如由cosA= 0<0<专。在△ABD中，由正弦定理得 一sinB得cosA=cos(经+B),结合A∈ AB BD sin∠ADB Sn9,即BDsin∠ADB 0,元)，B∈(0，元)得B+乏=A,由B+ 5sin8;在△ACD中，由正弦定理得 A得sinA=cos2B。 AC CD 三、转化思想在“爪”型图形类解三角形 sin∠ADC 、,即CDsin∠ADC sin(g- 中的应用 例3如图1，在△ABC中，角A,B,C =8sin(5-9）.由CD=2BD,sin∠ADB 所对的边分别是a,b,c,且满足sinA= B+C =sin∠ADC,代入化简得4sin(g-0）- sin2 ,c=5,△ABC的面积为10√3。 5sin0,即2√3cos0-2sin0=5sin0,解得 tan0=2y5,所以tan∠BAD=2y5 7 79 评注：在“爪”型问题中，通过“角平分线” 与“线段比例”两类典型结构，系统展示了转 图1 化思想在几何问题中的灵活运用。 (1)求a,b的值。 作者单位：湖北省恩施市第三高级中学 (2)已知D为边BC上一点。 (责任编辑郭正华) 18