空间几何体的截面问题题型例析-《中学生数理化》高一数学2026年4月刊

高一黄识结构年新骨中学生表理化 空间几何体的截面问题题型例析 ■李清芳 空间几何体的截面问题是每年高考的常 解：在正方体ABCD-A1B,C1D1中，取 考点，这类问题主要涉及截面形状的判断、计 C1D1的中点G,GD1的中点H,连接A1G, 算截面的周长或面积等问题。下面举例分 EG,EH,FH。由E是CD的中点，可得 析，供同学们学习与参考。 EG∥DD1∥AA1,EG=DD1=AA1,所以四 一、截面的形状 边形AEGA1是平面四边形，所以AG∥AE, 例1图1是长方体被一个平面所截得 A,G=AE。由F是A,D1的中点，可得 的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形 EFGH的形状为」 FHA,G/AE,FH=AG=号AE,则梯 形AFHE就是正方体ABCD-A,B,C1D1被 平面AEF所截得的截面。因为AE=AF √42+22=25，FH=√2+1=N5,EH= √4+1=√17，所以所求截面的周长是 5√5+√17。 评注：作多面体截面的关键在于确定交 点，有了位于多面体同一表面上的两个交点 图1 即可连接成交线，从而可得截面。 解：因为平面ABFE∥平面DCGH,又平 三、截面周长的最值 面EFGH∩平面DCGH=HG,且平面 例3如图3所示，在直三棱柱ABC EFGH∩平面ABFE=EF,所以EF∥HG。 A1B,C1中，AB=1,BC=2,AC=√5，AA1= 同理得EH∥FG,所以四边形EFGH是平行 3,M为线段BB1上的一动点，则过A,M,C 四边形。 三点的平面截该三棱柱所得截面的最小周长 评注：判断几何体被一个平面所截的截 是 面形状，关键在于弄清这个平面与几何体的 面的交线的形状和位置。 二、截面的周长 例2如图2所示，在正方体ABCD- A1B,C1D1中，AB=4,E,F分别是棱CD, M AD1的中点，则正方体ABCD-AB,C1D 被平面AEF所截得的截面周长是。 D 图3 解：由题意可知，过A,M,C1三点的平 面截该三棱柱所得截面的周长即为△AMC, 的周长。 因为三棱柱ABC-A1B,C为直三棱柱， D 所以各侧面均为矩形，所以AC,= √AC+CC7=√14. 图2 直三棱柱ABC-A1B,C:侧面的部分展 5 中学生数理化离数学2026年4月 知识结构与拓展 开图，如图4所示。 3πl=2π·2、 ,解得l=1。 由圆锥的轴截面为等腰三角形，设等腰 三角形的顶角为0，由余弦定理得cos0= 12+1-(3)2=-1 2×1×1 ，2,所以0=2 由过该圆锥顶点的平面截圆锥所得截面 B 为等腰三角形，设等腰三角形的顶角为 图4 在矩形ACC1A,中，因为AM+MC1≥ x(Q<≤)·则该截面三角形的面积S AC1=√(AB+BC)+CC=3√2，所以过 sinx-2snx<当且仅当x=2时 1 A,M,C1三点的平面截该三棱柱所得截面的 取等号，所以过圆锥顶点的平面截圆锥所得 最小周长为3√2十√14。 1 评注：直三棱柱的底面是三角形，侧棱长 截面面积的最大值为2。 都相等。实际上，本题是通过展开直三棱柱， 评注：正弦函数y=sinx是有界函数， 将问题转化为平面上的两点间的最小距离求 其值域为[-1,1]。 解的。 四、截面的面积 感标号限月 例4现有一块棱长为2的正四面体木 已知正方体ABCD-A,B,C1D1的棱长 料，用平行于该木料底面的一个平面将木料 为2，M,N分别为A1B1,B1,C1的中点，过点 截成两部分，若这两部分的表面积相等，则该 M,N的平面所得截面为四边形，则该截面的 平面截木料所得截面的面积是 最大面积为()。 解：用平行于底面的平面所截得的两部 A.22 B.2√5 C.310 2 D.2 分为小正四面体和棱台，这两个几何体的表 提示：如图5所示，最大面积的截面四边 面积相等。因为正四面体的表面积为4义尽 形是等腰梯形MNCA。 ×4=4√5，所以截得的小正四面体的侧面积 (三个等边三角形)为23，故小正四边体的 一个侧面（等边三角形）的面积为2y3 3 因为小正四边体的四个面的面积是相等 。。。。。。。。。。 的，所以该平面截木料所得截面的面积是 B 2W3 3 图5 易得MN=√2，AC=2√2，AM=CN 评注：正四面体的六个棱长都相等。 五、截面面积的最值 ,5,等腰梯形的高为，AM-(C。MN) 例5已知一个圆锥的底面半径为 2 3√2 ,所以等腰梯形MNCA的面积为2× 侧面展开图是一个圆心角为√3元的扇形，则 3/29 过该圆锥顶点的平面截圆锥所得截面面积的 (2+2√2)× 2 2。应选D。 最大值为 作者单位：甘肃省兰州市第五十一中学 解：设圆锥的母线长为。依题意得 (责任编辑王琼霞)