例析复数的易错点与思维误区&剖析解三角形中的易错点-《中学生数理化》高一数学2026年3月刊

青一数蜡阳泰新中学生款理化 例析复数的易错点与思维误区 ■范香君 易错点一：照搬实数系的运算法则或性 A.1+ B.+3 质，引发错误 4 4 21w2 例1已知i为虚数单位，则 C.3-1. 4 D.31 4 =( 错解：三=1+1=(1+i)(5-i) A.i B.-i C.1 D.-1 zg√3+i(√3+i)(3-i) 错解： 1++B-1i。应选C。 4 （-1)5=(一1)=i。应选A。 思维误区：对于此类问题，同学们常常会 思维误区：上述解法是很多同学最容易 主观臆断认为“虚部”应该含有虚数单位i,从 犯的错误，该错误是因对复数的运算性质理 而出现上述错解。事实上，复数之=a十 解不清而造成的。事实上，当之∈C时，下列 bi(a,b∈R)中，a是复数之的实部，b是复数 式子不总是成立：（之m)”=(x)m(m,n为分 之的虚部，所以“虚部”的籍贯是地地道道的 数)；m=之”→m=n(之≠1)；1十x=0→之 实数，不含有i。 =2=0;x|2=x2。 正解：由三1士3+尽1i,可知虚部 正解：)-(（》- 4 4 (1-i)(1-i) 为5，.应选D (1+i)(1-i) =一i。应选B。 点评：在进行复数运算时，有些同学经常 点评：复数的运算法则和性质是高考的 会出现主观臆断的情况，如复数x=α十 常考点，同学们要引起重视。 bi(a,b∈R)为纯虚数时，只考虑a=0,忽视 变式训练1：下列命题中，正确的命题个 了b≠0的情况。 数是( )。 变式训练2：若复数之满足(3一4i)之= ①若x,y∈C,则x十yi=1十i的充要条 |4十3i,则之的虚部为。 件是x=y=1。②若a,b∈R且a>b,则a 提示：因为(3-4i)x=14+3i|=5,所以 十i>b十i。③若x2十y2=0,则x=y=0。 5 5(3+4i)34 A.0 B.1C.2D.3 a子+导，所以 提示：对于①，因为x,y∈C,所以x,y 不一定是x十yi的实部和虚部，①是假命 的虚部为号 题。对于②，易知两个虚数不能比较大小， 易错点三：忽视”(n∈N”)的周期性，引 若出现之1>之2或之1<之2，则之1,2必为实 发错误 数，②是假命题。对于③，满足x2十y2=0 例3已知n∈N,求值：(1+i)”· 的x,y不一定是实数，不妨构造反例，如 (1一i)6-n= 12十=0，但1≠0，i≠0，③是假命题。应 错解：原式=1-)（） =(-2i)3· 选A。 易错点二：主观臆断，混淆基本概念，引 ”=8i·i”=8i+ 发错误 思维误区：求值，即求出该式子的所有可 例2设复数x1=1一i,x,=3十i,其中 能取值，”的值具有以4为周期的特点，根据 1为虚数单位，则三的虚部为( n求i”必须按被4整除余数为0,1,2,3这四 ）。 种情况进行分类讨论。 33 中学生数理化 易错题归类剖析 高一数学2026年3月 i的周期性为：①=1，+1=i,i+2= 一1，i+3=一i(k∈N“)。②t十i+1+i+2+ 2” 得 所以当方程有实数根时，m的取 +3=0(k∈N*)。 1 m12 正解：原式-1-)(》 =(-21)3 值为12 8(n=4k+1), 点评：对于复数集上的一元二次方程 -8i(n=4k+2), ”=8+1 (k∈N”)。 ax2十bx十c=0(a≠0)是否存在实数根，不 8(n=4k+3), 能用判别式△判断，而是利用复数相等的充 8i(n=4k) 要条件进行转化求解。 点评：i"(n∈N·)的周期性是高考中比较 变式训练4：已知复数之=a+bi(a,b∈ 常见的考点，同学们应引起重视。 R+)(i为虚数单位)是方程x2一4x十5=0的 变式训练3：己知复数之= 根，复数w=u十3i(u∈R)满足w一之< i+i+i3+…+i 一，则x在复平面内对应的 1+i 2√5，求u的取值范围。 点位于第象限。 提示：易得方程x2一4x十5=0的两个根 提示：因为复数之 i+iP+i3+…十i2o2s 为x1=2+i,x2=2-i。因为a,b∈R+,所以 1+i z=2十i。 i(1-i2025) i1(1一i08x1+1) 由|w-之|=|(u十3i)-(2+i)|= 1-i 1-i 1 1+i=2 |u一2+2i|=√(u-2)+4<2√5，解得-2 1+i 1+i <u<6,即u的取值范围是（一2,6）。 之，所以复数：在复平面内对应的点位于第 阳局 一象限。 感悟身0一 易错点四：照搬实数系方程的解法来探 1.已知x1=-4a十1+(2a2十3a)i,x2= 究复数系方程的根，引发错误 2a十(a2十a)i,其中a∈R,x1>之2，则a的值 例4已知关于x的方程x2一(2i-1)x十 8 3m一i=0有实数根，求m的取值。 2a2+3a=0, 错解：因为关于x的方程x2一(2i一1)x 提示：由之1>之2，可得a2十a=0, 解 十3m一i=0有实数根，所以△= -4a+1>2a, [-(2i-1)]2-4(3m-i)=-3-12m≥0， {a=0或a=- 3 1 解得m≤一 车，所以m的取值范围为 得a=0或a=一1，所以a=0。 1 -∞，- a<6' 思维误区：实数系一元二次方程有实数 2.已知i是虚数单位，则 4+2i 1-i 的值为 根的判断方法是判别式△≥0，但对于复数系 一元二次方程并不适用，上述解法正是进入 这一误区导致出错的。 提示：因为 4+2i (4+2i)(1+i) 1-i (1-i)(1+i) 正解：设方程x2一(2i一1)x十3n一i=0 2+6i 的实数根为a,则由根的定义得a一(2i一1)a =1+3,所以1-i 4+2i =|1+3i= +3m-i=0,所以(a2十a+3m)-(2a+1)i= √+3=√10。 0。由复数相等的定义知 1a2十a+3m=0, 解 作者单位：陕西省洋县中学 -(2a+1)=0, (责任编辑郭正华) 34 青一数蜡期泰翻新中学生款理化 剖析解三角形中的易错点 ■王佩其 易错点1：利用正弦定理求三角形的内 -sin(B2B)sin Bcos 2B +cos Bsin 2B 角时漏解 sin B sin B 例1在△ABC中，B=30°，AB=2√3， =cos2B+2cos2B=4cos2B-1。因为A十B AC=2,求△ABC的面积。 十C=180,C=3B,所以B=45-会，所以 错解：由正弦定理得sinC=AB,sinB AC 0<B<45,即 1 <cosB<1,所以 3 ，所以C=60,则A=90°。故S6Ac osB<1,则1<4CosB-1<3,即1<6<3。 2AB·AC=安×2万X2=25 易错点3：忽视三角形的三边关系 剖析：上述解法在利用正弦定理求角C 例3设2a+1,a,2a一1为钝角三角形 的三边，求实数a的取值范围。 时漏了一解。事实上，由sinC= 2,可得C 错解：因为2a十1，a,2a一1是三角形的 =60°或C=120°，这两个结果都符合题意。 2a+1>0, 正解：由正弦定理得sinC=AB:sinB 三条边，所以a>0, 解得a>2,所以 AC 2a-1>0, √ 。由AB>AC,可得C=60或C=120°. 2a十1是三边长的最大值，设其所对的角为 0。因为2a十1，a,2a一1是钝角三角形的三 当C=60°时，A=90°，可得S△Bc= 边，所以cos0=a+(2a-)2-(2a+1) 2AB·AC=25;当C=120时，A=30°，可 2a(2a-1) a(a-8) a-8 1 得Sac-2AB·AC·sinA=B。 1 2a(2a-1) 2a-1<0,解得2<a<8,所以 综上可得，△ABC的面积为2√3或3。 a的取值范围是（分，8）： 易错点2：忽视三角形的内角和定理 割析：错解中求得的a>,不是2a十1， 例2在△ABC中，C=3B,求云的取值 a,2a一1表示三角形的三边的等价条件。 范围。 正解：因为2a十1，a,2a一1是三角形的 错解：由正弦定理得￡ -n- 2a+1>0, sin B 三条边，所以{a>0, -sin(B+2B)sin Beos 2B+cos Bsin 2B 解得a>子，所以 2a-1>0, sin B sin B =cos 2B++2cos2B=4cosB-1. 2a+1是最大边。要使2a+1,a,2a一1表示 因为0≤cos2B≤1，所以一1≤4cos2B 三角形的三边，还需满足a十(2a一1)>2a十 1,解得a>2。设最大边2a+1所对的 1<3,所以0<分<3。 角为0，则cos0=a+(2a-1)2-(2a+1) 2a(2a-1) 剖析：上述解法在得到分=4cosB一1 a(a-8) 1 <0,解得2<a<8。综上可 后，忽略了三角形内角和为180°及隐含的A, 2a(2a-1) B,C均为正角这一条件。 得，a的取值范围是(2,8)。 正解：由正弦定理得云-S-D3B 作者单位：江苏省太仓市明德高级中学 sin B sin B (责任编辑郭正华) 35