1.1.1 比例的基本性质 课件 2026-2027学年湘教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦比例的基本性质，通过知识回顾小学比和比例内容，结合学校制作同比例海报的实际问题引入新知，搭建从具体数值到一般形式的学习支架，衔接新旧知识脉络。 其亮点在于以实际情境驱动探究，通过典例分析培养推理能力（数学思维），设参法等通用解题方法体现模型意识（数学语言），课堂小结系统梳理知识点与方法。助力学生提升代数变形和逻辑推理能力，为教师提供清晰的教学流程与方法指导。

湘教版版·九年级上册 1.1.1比例的基本性质 第一章 图形的相似 学 习 目 标 1 2 理解比例的基本性质,能准确判断四个数是否成比例,并能用比例的基本性质进行简单推理和计算。 经历从具体数值到一般形式的推理过程,培养代数变形能力和逻辑推理能力。 体会数学知识之间的内在联系,增强学习数学的兴趣和信心。 3 知识回顾 小学我们已经学习过比及比例，了解过比及比例的额基本性质和运算，同学们还记得吗？ 同学们在回忆一下： 1、比的形式有哪些？ 2、比例如何运算的？ 新知探究 知识要点 学校制作同比例海报,小版长、宽,大版长,按相同比例缩放,大版宽度应为多少？请写出关系式并说明依据。 问题 1.如何用式子表示“同比例缩放”？ 2.若写成​,怎样快速求？ 3.这样变形的依据是什么？ 新知探究 知识要点 学校制作同比例海报,小版长、宽,大版长,按相同比例缩放,大版宽度应为多少？请写出关系式并说明依据。 1.长与宽的比相等,即或。 2.交叉相乘得,解得。 3.依据:比例的基本性质(两外项之积等于两内项之积)。 新知探究 知识要点 探究一：比例的基本性质 在小学,我们学习了比和比例,知道如果两个数的比值与另外两个数的比值相等,就说这四个数成比例. 问题1：如果四个数 a，b，c，d 成比例，即 . 那么ad = bc 吗？反过来如果 ad = bc，那么 a，b，c，d 四个数成比例吗？ 注意:成比例也可记作. 新知探究 知识要点 如果四个数 a，b，c，d 成比例，即 ， 那么 ad = bc 吗？ 在等式两边同时乘以 bd，得 ad = bc 由此可得到比例的基本性质： 如果 ，那么 ad = bc. 方法总结： 新知探究 知识要点 如果 ad = bc，那么等式 还成立吗？ 在等式中，四个数 a，b，c，d 可以为任意数，而在分式中，分母不能为 0. 由此可得到比例的基本性质： 如果 ad = bc（a,b,c,d 都不等于 0），那么 . 知识要点 例1根据下列条件(其中为非零实数),求的值: (1); (2); (3). 解:(1)由于,因此由比例的基本性质得,. (2)由于,因此,即. (3)由于,因此,即,从而. 思考：还有其他方法吗？ 典例分析 新知探究 知识要点 相关概念： b、c 叫做比例内项. 那么称 a、b、c、d 成比例， a、d 叫做比例外项， 如果 或 a∶b = c∶d， 典例分析 其他性质 例2:已知四个非零实数成比例,即. 下列各式成立吗？若成立,请说明理由. (1); (2); (3). 解:(1)由于两个非零数相等,则它们的倒数也相等, 因此,由可以立即得到. 反比：倒数也成比例 探究二：比例的基本性质的应用 典例分析 其他性质 例2:已知四个非零实数成比例,即. 下列各式成立吗？若成立,请说明理由. (1); (2); (3). 更比：交换比例内项（或外项） 解:(2)由得. 在上式两边同除以,得. 探究二：比例的基本性质的应用 典例分析 其他性质 例2:已知四个非零实数成比例,即. 下列各式成立吗？若成立,请说明理由. (1); (2); (3). 合比：两边同时加上或减去同一个数 解:(3)在两边都加上1,得. 由此得到. 探究二：比例的基本性质的应用 其他性质 新知探究 追问：还能推出 吗? 由此得到 在 两边都减去 1，得 总结规律：如何判断两边同时加上或减去的数字是多少？ 其他性质 典例分析 例3 已知 ，求 的值. 解：解法1：由比例的基本性质， 得 2(a + 3b) = 7×2b. ∴a = 4b，∴ = 4. 解法2：由 ，得 . ∴ , 方法总结： 核心依据:比例式与等积式可双向互化,是所有比例计算与变形的根本依据。 快速变形:熟练使用反比、更比、合比三种常用变形,简化运算步骤。 求值策略:已知等积式求比例,先转化为标准比例式；含和差结构优先用合比性质。 书写规范:变形过程要有理有据,注意分母不为0,保证推理严谨性。 16 其他性质 新知探究 探究三：比例的基本性质拓展 议一议:(1)若,,求. (2)若,则成立吗？为什么？ 解:(1)先统一公共项,把化为, 则。 (2)成立。 理由:设, 可得, 因此,与已知一致,故等式成立。 其他性质 典例分析 例4:已知,且,求的值. 解:因为, 所以. 于是. 等比： 方法总结： 由此可得到比例的又一性质(等比性质)： 连比问题:统一公共项的份数,将多个单比转化为连比,保证中间量一致。 等比问题: 方法1:设参法,设比值为k,用k表示各量后代入计算。 方法2:等比性质,分子之和与分母之和的比等于原比值。 关键注意:使用等比性质必须满足分母之和不为0,不确定时要分类讨论。 复杂比例:先统一参数,再转化为等积式,最后代入求值。 19 其他性质 典例分析 例5 若 a,b,c 都是不等于零的数，且 ，求 k 的值. 得 ，则 k＝2. 当 a＋b＋c＝0 时，则有 a＋b＝－c. 此时 . 综上所述，k 的值是 2 或－1. 解：当 a＋b＋c ≠ 0 时，由 ， 课堂练习 1.已知,那么下列比例式中成立的是(　) A. B. C. D. 2.如果 ，那么 . 3.若,则k的值为( ) A.1 B. C.1或 D.2 B C 课堂练习 4.已知四个数 a，b，c，d 成比例. （1）若 a = -3，b = 9，c = 2，求 d； （2）若 a = -3，b= ，c = 2，求 d. 课堂练习 5.已知. (1)求出、、的值(用含代数式表示)； (2)求出的取值范围； (3)若,求它的最大值与最小值的差？ (1)解:∵, ∴, ∴； 课堂练习 5.已知. (1)求出、、的值(用含代数式表示)； (2)求出的取值范围； (3)若,求它的最大值与最小值的差？ (2)解:∵, ∴, 解得； 课堂练习 5.已知. (3)若,求它的最大值与最小值的差？ (3)解:, , , ,即, w的最大值为,最小值为, 它的最大值与最小值的差. 课堂小结 知识点： 1.比例的定义:表示两个比相等的式子叫作比例；记作或,其中；、是外项,、是内项。 2.比例的基本性质(核心):如果,那么(外项积＝内项积)； 反之,如果),那么。 3.比例的三种常用变形:反比性质:若,则;更比性质:若,则;合比性质:若,则 课堂小结 知识点： 4.等比性质:若),则。 5.连比处理方法 多个比相连时,统一公共项的份数,把两两之比化为三连比或多连比。 6.通用解题方法 设参法:设比值为,用参数表示各量,代入计算。 等积转化法:把比例式化为等积式,再变形为目标比例。 7.重要前提 所有比例变形中,分母不能为0；使用等比性质必须保证分母之和不为0。 拓展提升 1.已知,求的值. 解:设, 则, 则. 拓展提升 2.已知,那么下列比例式中成立的是( ) A B. C. D. 3.若则=( ) A. B.1 C. D. B D 拓展提升 4.如果,那么的值是　 　. 5.若,且,则a-b+c=　 　. 6.已知实数x,y,z满足,则=　 . 5 9 拓展提升 7.已知,且. (1)求的值; (2)若,求的值. 解(1),且, , 的值为 ; 拓展提升 7.已知,且. (2)若,求的值. 解(2), , , , , 的值为. 感谢聆听! $