1.2平行线分线段成比例（教学课件）数学新教材湘教版九年级上册

该初中数学课件聚焦“平行线分线段成比例”核心知识点，通过“生活中的梯子”抽象几何图形导入，从平行线等分线段定理逐步过渡到成比例基本事实及推论，构建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以数学眼光观察生活实例，用数学思维通过三角形全等、面积法推理证明，规范几何语言表达。分层练习与典例结合，助学生发展抽象能力和推理意识，为教师提供系统教学资源，提升课堂效率。

第1章 图形的相似 1.2 平行线分线段成比例 导入新课 生活中的梯子 抽象 A C D₁ B D A₁ B₁ C₁ 几何图形 由生活常识我们可以知道：AA₁，BB₁，CC₁，DD₁位置关系是怎样的？若AB=BC，则 A₁B₁与 B₁C₁有什么数量关系？. 从这个生活常识上，你能得到什么结论？ 两条直线被一组平行线所截，如果在一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等。 你能证明它吗？ 平行 相等 学 习 目 标 1 2 3 了解平行线等分线段定理（重点） 理解并掌握平行线分线段成比例的基本事实及其推论 （重点） 会用平行线分线段成比例及其推论解决相关问题（难点） 新知探究 思 考 如图，已知直线 a∥b∥c，直线 l1，l2 被直线 a，b，c 截得的线段分别为 AB，BC和A1B1，B1C1，若AB = BC，则 A1B1=B1C1 吗？ 证明线段相等的常用方法是什么？ 三角形全等 我们要构造三角形全等 添加辅助线 A2 C2 过点 B 作直线 l3∥l2 l3 b c A1 C1 B1 A C B l1 l2 a 新知探究 A2 C2 l3 证明：过点 B 作直线 l3∥l2，分别与直线 a，c 相交于点A2，C2. 由于 a∥b∥c，l3∥l2，因此由“夹在两平行线间的平行线段相等”可知， A2B = A1B1 ， BC2 = B1C1. 在△BAA2 和△BCC2 中， ∠ABA2 =∠CBC2， BA = BC， ∠BAA2 =∠BCC2， 因此 △BAA2≌△BCC2， 从而 A2B = BC2， b c A1 C1 B1 A C B l1 l2 a 新知探究 总结归纳 平行线等分线段定理 两条直线被一组平行线所截，如果在其中一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等。 ∵a∥b∥c，AB = BC 几何语言 ∴A1B1=B1C1 b c A1 C1 B1 A C B l1 l2 a =1 =1 = 若AB≠BC， 相等吗？ 新知探究 在前面“思考”栏目中，若AB≠BC，如图所示，与相等吗？ 探 究 b c A1 C1 B1 A C B l1 l2 a 问题1： 以AB为底边，求∆ABB1的面积？以BC为底边，求∆BCB1的面积？并求这两个三角形的面积之比？ 问题2： 以A1B1为底边，求∆A1B1B的面积？以B1C1为底边，求∆B1C1B的面积？并求这两个三角形的面积之比？ 小组合作，解决下列问题 连接AB1,B1C,A1B,BC1 问题3： ∆ABB1的面积与∆A1B1B的面积有什么数量关系？∆BCB1的面积与∆B1C1B的面积数量关系？结合问题1、问题2，问题3，与相等吗？ 新知探究 b c A1 C1 B1 A C B l1 l2 a 问题1： 以AB为底边，求∆ABB1的面积？以BC为底边，求∆BCB1的面积？并求这两个三角形的面积之比？ 问题2： 以A1B1为底边，求∆A1B1B的面积？以B1C1为底边，求∆B1C1B的面积？并求这两个三角形的面积之比？ 设∆ABB1的AB边上的高为h1 设∆A1B1B的A1B1边上的高为h2 新知探究 问题3： ∆ABB1的面积与∆A1B1B的面积有什么数量关系？∆BCB1的面积与∆B1C1B的面积数量关系？结合问题1、问题2，问题3，与相等吗？ b c A1 C1 B1 A C B l1 l2 a 根据同底等高，三角形面积相等 = 任意平移直线c， 还相等吗? 你还能得到什么结论？ 同理：= 同理：= 新知探究 总结归纳 平行线分线段成比例基本事实 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. ∵a∥b∥c 几何语言 b c A1 C1 B1 A C B l1 l2 a = = 思考:你怎样理解“对应线段成比例” 新知探究 若a//b//c，则 对应线段成比例： b c A1 C1 B1 A C B l1 l2 a  2.写比例式时，对应线段要写在对应的位置上  1.所有的成比例线段是指被截直线上的线段，与平行线上的线段无关 例1 如图，已知 AA1∥BB1∥CC1，AB = 2，BC = 3，A1B1 = 1.5，求 B1C1 的长. 典例分析 A1 C1 B1 A C B 解 由平行线分线段成比例可知， ，即 ， 因此， 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 典例分析 例2 如图，在△ABC中，已知DE∥BC ，求证： M N 证明 如图，过点 A 作直线MN，使MN∥DE. 因为 DE∥BC，所以 MN ∥DE∥BC. 因此，AB，AC 被一组平行线 MN，DE，BC 所截，则由平行线分线段成比例可知， 构造一组平行线 过点 A 作直线 MN∥BC 新知探究 议一议 如图1.2-6，直线DE分别与∆ABC的边AB，AC的反向延长线相交于E，D两点，则吗？ 添加辅助线 过点 A 作直线 MN∥BC 我们要构造一组平行线 M l∥BC//DE 结合例题2与议一议，你能得到什么结论？ N 新知探究 总结归纳 平行线分线段成比例的推论 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例. 基础巩固题 新知应用 1、如图，A，B，C，D 把 OE 五等分，AA′∥ BB′∥ CC′∥ DD′∥ EE′，如果 OE′=20 cm，那么 B′D′等于(　　) A. 12 cm B. 10 cm C. 6 cm D. 8 cm 解：由平行线等分线段定理得出 OA′ = A′B′ = B′C′ = C′D′ = D′E′ ， 又∵OE′ = 20 cm，∴OA′ = A′B′ = B′C′=C′D′= D′E′= 4 cm， ∴ B′D′=B′C′+C′D′=8 cm. D 基础巩固题 新知应用 2．如图，AD∥BE∥CF，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A，B，C 和点D，E，F，若AB＝2，BC＝4，DF＝9，则EF的长是(　　) B A．3 B．6 C．7 D．8 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 基础巩固题 新知应用 3.如图，DE∥BC,则下列比例式中不能成立的是( ) B. C. D. D 4. 如图，DE∥BC，AD = 4，DB = 6，AE = 3，则 AC = ；FG∥BC，AF = 4.5，则 AG = . 7.5 6 A B C E D F G 基础巩固题 新知应用 5.如图 ，l1 ∥ l2 ∥ l3，根据“平行线分线段成比例定理”，下列比例式中不正确的是( ) A. ＝ B. ＝ C. ＝ D. ＝ C 解析：∵ l1 ∥ l2 ∥ l3 ，∴ ＝ ，故 A 正确，不符合题意； ＝ ，故 B 正确，不符合题意； ≠ ，故 C 不正确，符合题意； ＝ ，故 D 正确，不符合题意 . 基础巩固题 新知应用 6.如图，直线AC，BD相交于点O，直线MN过点O，且BA//MN//CD.已知0A=10，OB=6.3,OD=12.6,求OC的长. 解：∵ ∴ ∵ ， ， ∴ 解得 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 基础巩固题 新知应用 7. 如图，点D，E分别在∆ABC的边AB,AC上，且DE//BC.若AB=3,AD=2,EC=1.8,求AC的长. 解：∵ ∴ 设AC=x,则AE=AC-EC=x-1.8 ∴ 解得 AC=5.4 8.如图所示，△ABC中若DE∥ BC，EF∥ AB，则下列比例式正确的是（　　） A．= B．= C．= D．= C 能力提升题 新知应用 能力提升题 新知应用 9.如图，已知EG∥BC，GF∥CD，AE＝3，EB＝2， AF＝6，求AD的长． 能力提升题 新知应用 10.如图，在平行四边形ABCD中，点E为边BC上一点，连接AE并延长AE交DC的延长线于点M，交BD于点G，过点G作GF∥BC交DC于点F． 求证： ． 证明：∵GF∥BC， ∴ ， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AB∥CD， ∴ ， ∴ ． 平行线分线段 成比例 平行线等分线段 推论 基本事实 两条直线被一组平行线所截，如果在 其中一条直线上所截得的线段相等， 那么在另一直线上所截得的线段也相等。 两条直线被一组平行线所截， 所得的对应线段成比例 平行于三角形一边的直线截 其他两边（或两边延长线）， 所得的对应线段成比例 课堂小结 感谢聆听! 【解】∵AE＝3，EB＝2， ∴AB＝5， ∵EG∥BC，GF∥DC， ∴＝，＝， ∴＝， ∴＝， ∴AD＝10. $