5.1.1任意角课件-----2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦“任意角”核心内容，涵盖角的概念、分类（正角、负角、零角）、象限角、轴线角及终边相同的角的集合表示。通过钟表调整、跳水转体等生活实例导入，衔接初中0°-360°角知识，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以思维导图梳理知识脉络，结合数学抽象与直观想象素养，通过问题驱动、合作探究（如典例分析终边相同角）及类题通法总结，辅以象限角、轴线角表格归纳。助力学生构建系统知识体系，提升逻辑思维，也为教师提供清晰教学路径，提高课堂效率。

第五章　三角函数 5.1　任意角和弧度制 5.1.1　任意角 素养目标 思维导图 1.了解任意角的概念及角的分类(数学抽象). 2.熟练掌握象限角、轴线角、终边相同的角的概念,并会用集合符号表示这些角(直观想象). 课前自主学习 问题1.当钟表慢了或快了一点时,我们会将分针按某个方向转动,把时间调整准确,在调整的过程中,分针转动的方向是否相同? 提示:不同,当钟表慢了,要顺时针转动分针,当钟表快了,要逆时针转动分针. 问题2.在跳水比赛中,运动员会做出“转体两周”“向前翻腾两周半”等动作,做上述动作时,运动员转体多少度?转过的度数还能用0°到360°的角表示吗? 提示:因为运动员转体方向有顺时针、逆时针的不同,所以运动员“转体两周”可以是顺时针旋转720°或逆时针旋转720°,“向前翻腾两周半”可以是顺时针旋转900°或逆时针旋转900°.显然这些角都不在0°~360°,不能用0°到360°的角表示. 【核心概念】 1.角的概念 (1)角的形成:角可以看成是__________绕其______旋转形成的图形. (2)角的分类:按旋转方向可将角分为如下三类: ①正角:按照________________形成的角; ②负角:按照________________形成的角; ③零角:当射线没有做__________时,我们也把它看成一个角,叫做零角. 一条射线 端点 逆时针方向旋转 顺时针方向旋转 任何旋转 2.角与角之间的关系 (1)相等角:设角α由射线OA绕端点O旋转而成,角β由射线O'A'绕端点O'旋转而成.如果它们的旋转方向相同且旋转量相等,那么就称α=β. (2)两角和:设α,β是任意两个角.我们规定,把角α的终边旋转角β,这时终边所对应的角是α+β. (3)相反角:我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角,角α的相反角记为-α. 3.象限角 (1)象限角:当角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合,那么角的 终边(除端点外)在第几象限,就说这个角是第几象限角; (2)轴线角:当角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合,并且角的 终边落在坐标轴上时,称这个角为轴线角,这时,这个角不属于任何象限. 4.终边相同的角 设α表示任意角,所有与角α终边相同的角,连同α在内,可构成一个集合,这个集合可 记为{β|β=_________,k∈Z}. 即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与整数个周角的和. α+k·360° 课堂合作探究 探究点一　任意角的概念 【典例1】(1)射线OA绕端点O逆时针旋转120°到达OB位置,由OB位置绕端点O旋转到达OC位置,得∠AOC=-150°,则射线OB旋转的方向与角度分别为(　　) A.逆时针,270° B.顺时针,270° C.逆时针,30° D.顺时针,30° (2)经过5小时25分钟,时钟的分针和时针各转多少度? 【思维导引】(1)由题意可得∠AOB=120°,∠AOC=∠AOB+∠BOC=-150°,从而可求出∠BOC,进而可得答案. (2)明确时钟的分针和时针的旋转方向及运行特点是解题的关键. 【解析】(1)选B.由题意可得∠AOB=120°,设∠BOC=θ,则∠AOC=∠AOB+∠BOC =120°+θ=-150°,解得θ=-270°,所以射线OB绕端点O顺时针旋转270°. (2)时针走一周用12小时,即12小时转-360°,那么时针每小时应转-30°,而5小时25分钟为5小时,而分针每小时转-360°,所以时针转过的角度为-(5+)×30°=-162.5°,分针转过的角度为-(5+)×360°=-1 950°. 【类题通法】 1.判断角的概念问题的关键与技巧 (1)关键:正确理解有关角的概念. (2)技巧:通过特值或反例进行判断. 2.处理任意角问题的两个关键点 (1)定方向:明确该角是由顺时针方向还是逆时针方向旋转形成的,由逆时针方向旋转形成的角为正角,否则为负角. (2)定大小:根据旋转角度的绝对值确定角的大小. 【定向训练】 若手表时针走过4小时,则时针转过的角度为(　　) A.120°　　B.-120°　　C.-60°　　D.60° 【解析】选B.由于时针是顺时针旋转,故时针转过的角度为负数, 即为-×360°=-120°. 探究点二　终边相同的角 【典例2】(1)在下列各组的两个角中,终边不重合的一组是(　　) A.-43°与677° B.900°与-1 260° C.-120°与960° D.150°与630° (2)写出终边落在图中阴影部分(包括边界)的角的集合.  【思维导引】(1)根据终边相同角的概念判断. (2)先写出终边落在OA,OB上的角,然后结合图形 将所求范围内的角写出. 【解析】(1)选D.A选项,由于677°=360°×2-43°,所以-43°和677°终边相同; B选项,由于-1 260°=-360°×6+900°,所以900°和-1 260°终边相同; C选项,由于960°=360°×3-120°,所以-120°和960°终边相同; D选项,由于630°=360°+270°,所以150°和630°终边不相同. (2)若角α的终边落在OA上,则α=30°+360°·k,k∈Z. 若角α的终边落在OB上,则α=135°+360°·k,k∈Z. 所以角α的终边在题图中阴影区域内时,30°+360°·k≤α≤135°+360°·k,k∈Z. 故角α的取值集合为{α|30°+360°·k≤α≤135°+360°·k,k∈Z}. 【类题通法】终边相同的角的问题的注意点 (1)α为任意角. (2)k·360°与α之间是“+”号,k·360°-α可理解为k·360°+(-α). (3)相等的角终边一定相同;终边相同的角不一定相等,终边相同的角有无数多个,它们相差360°的整数倍. (4)k∈Z这一条件不能少. 【定向训练】 1.若角α的顶点与原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,则集合{α|k·180°+45°≤α≤ k·180°+90°,k∈Z}中的角α的终边在图中的位置(阴影部分)是(　　) 【解析】选C.当k为偶数时,设k=2n(n∈Z),则有n·360°+45°≤α≤n·360°+90°,角α的终边在介于45°~90°角终边所在的区域内; 当k为奇数时,设k=2n+1(n∈Z),则有n·360°+225°≤α≤n·360°+270°,角α的终边在介于225°~270°角终边所在的区域内. 2.已知α=-1 845°,在与α终边相同的角中,求满足下列条件的角. (1)最小的正角;(2)最大的负角;(3)-360°~720°的角. 【解析】因为-1 845°=-45°+(-5)×360°,即-1 845°角与-45°角的终边相同, 所以与角α终边相同的角的集合是{β|β=-45°+k·360°,k∈Z}, (1)最小的正角为315°.(2)最大的负角为-45°. (3)-360°~720°的角分别是-45°,315°,675°. 探究点三　象限角的判定 【典例3】(一题多问) 已知α为第四象限角,回答下列问题: (1)确定终边所在的位置; (2)确定终边所在的位置; (3)确定2α终边所在的位置; (4)确定180°-终边所在的位置. 【问题解读】先由α为第四象限角,写出角α的范围,再逐一运算,确定角的终边在坐标系上的位置. 【解析】因为α为第四象限角,所以270°+k·360°<α<k·360°+360°(k∈Z). (1)135°+k·180°<<(k+1)180°,当k=2n时,135°+2n·180°<<(2n+1)180°,终边在第二象限, 当k=2n+1时,135°+(2n+1)180°<<(2n+2)180°,终边在第四象限, 所以的终边在第二或第四象限; (2)90°+k·120°<<30°+90°+k·120°,当k=3n时,90°+n·360°<<30°+90°+n·360°,终边在第二 象限,当k=3n+1时,90°+120°+n·360°<<30°+90°+120°+n·360°,终边在第三象限, 当k=3n+2时,90°+240°+n·360°<<30°+90°+240°+n·360°,终边在第四象限, 所以的终边在第二、第三或第四象限; (3)(4k+3)180°<2α<(4k+4)180°,所以2α的终边在第三或第四象限,也可在y轴的非正半轴上; (4)因为α为第四象限角,所以270°+k·360°<α<k·360°+360°(k∈Z). 所以135°+k·180°<<(k+1)180°,所以-k·180°<180°-<45°-k·180°, 当k=2n时,-2n·180°<180°-<45°-2n·180°,终边在第一象限,当k=2n+1时, -(2n+1)180°<180°-<45°-(2n+1)180°,终边在第三象限, 所以180°-的终边在第一或第三象限. 【类题通法】象限角判定的两种方法 一是根据图象. 二是利用终边相同的角将角转化成0°~360°范围内,利用图象实际操作时,依据的还是终边相同的角的思想. 【知识延拓】 1.各象限角的表示 第一象限角:S={α|k·360°<α<90°+k·360°,k∈Z}; 第二象限角:S={α|90°+k·360°<α<180°+k·360°,k∈Z}; 第三象限角:S={α|180°+k·360°<α<270°+k·360°,k∈Z}; 第四象限角:S={α|270°+k·360°<α<360°+k·360°,k∈Z}. 2.轴线角的表示 角α的终边所在的坐标轴 集合表示 x轴的非负半轴 {α|α=k·360°,k∈Z} x轴的非正半轴 {α|α=180°+k·360°,k∈Z} y轴的非负半轴 {α|α=90°+k·360°,k∈Z} y轴的非正半轴 {α|α=270°+k·360°,k∈Z} x轴 {α|α=k·180°,k∈Z} y轴 {α|α=90°+k·180°,k∈Z} 坐标轴 {α|α=k·90°,k∈Z} 【定向训练】 (多选题)下列命题,为真命题的是(　　) A.-75°角是第四象限角 B.225°角是第三象限角 C.475°角是第二象限角 D.-225°角是第一象限角 【解析】选ABC.对于A,因为-75°=285°-360°,285°角是第四象限角,则-75°角是第四象限角,A正确;对于B,225°角是第三象限角,B正确;对于C,475°=115°+360°,115°角是第二象限角,则475°角是第二象限角,C正确;对于D,-225°=135°-360°,135°角是第二象限角,则-225°角是第二象限角,D错误. √ √ √ 课堂练习 1.钟表的分针一个半小时转了 (　　) A.180° B.-180° C.540° D.-540° 【解析】选D.分针旋转的角为负角,其值为-(360°+180°)=-540°. √ 2.与600°角终边相同的角可表示为 (　　) A.k·360°+220°(k∈Z)　 B.k·360°+240°(k∈Z) C.k·360°+60°(k∈Z) D.k·360°+260°(k∈Z) 【解析】选B.与600°终边相同的角α=n·360°+600°=n·360°+360°+240° =(n+1)·360°+240°=k·360°+240°,n∈Z,k∈Z. √ 3.与角-1 825°的终边相同,且绝对值最小的角的度数是　　　　.  【解析】因为-1 825°=-5×360°-25°,所以绝对值最小的角的度数是-25°. 答案:-25° 4.若α,β两角的终边互为反向延长线,且α=-120°,则β=　　　　.  【解析】先求出β的一个角,β=α+180°=60°. 再由终边相同的角的概念知β=k·360°+60°,k∈Z. 答案:k·360°+60°,k∈Z 5.已知角α的终边在如图阴影表示的范围内(不包含边界),那么角α的集合是 　　　　.    【解析】观察题图可知,角α的集合是{α|45°+k·360°<α<150°+k·360°,k∈Z}. 答案:{α|45°+k·360°<α<150°+k·360°,k∈Z} 谢 谢 $