专题15 全等三角形相关压轴题分类训练（4种类型40道）-【暑期培优】2025-2026学年八年级上册数学暑假培优计划（人教版，重庆专用）

专题15 全等三角形相关压轴题分类训练（4种类型40道） 目录 【题型1 全等三角形综合题】 1 【题型2 全等三角形最值问题】 14 【题型3 全等三角形动点问题】 25 【题型4 全等三角形几何证明压轴题】 40 【题型1 全等三角形综合题】 1．如图，在中，和的平分线相交于点O，交于点E，交于点F，过点O作于D，下列三个结论：①；②若，则；③当时，．其中正确的是（  ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形全等的判定与性质以，角平分线的性质与判定等知识，由角平分线的定义、三角形的内角和定理得与的关系，判定①正确；过作于点于点，由三角形的面积证得②正确；在上取一点，使，证，得，再证，得，判定③正确，即可得出结论，正确作出辅助线证得是解题的关键． 【详解】解：①∵和的平分线相交于点， ，， ∴，故①符合题意； ②过作于点，于点，如图： 和的平分线相交于点， ∴点在的平分线上， ， ，故②符合题意； ③∵， ∴， ∵分别是与的平分线， ， ∴， ∴， ∴， 如图，在上取一点，使，连接， ∵是的角平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，故③符合题意； 故选：D． 2．如图，中，，G为的中点，连接并延长交于点E，作，垂足为H，交于点下列判断；；；，所有正确结论的序号为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质以及三角形中线的性质，准确找到判定三角形全等条件是解题的关键， ①依据题中条件，可以判定，根据全等三角形性质可得； ②由①中，可得； ③根据三角形中线平分面积的性质进行判断； ④若④结论成立，那么D需为的中点，进而判断④错误． 【详解】解：① 在和中， ， ， ，故①正确； ②由①得， ，故②正确； ③是的中点， 是的中线， ，故③正确； ④由图可知，， 但点D题中未说明是的中点， ， ， 故④错误； 综上，正确的结论为①②③， 故选： 3．如图，在和中，若，，，、交于点M，连接，则下列结论：①；②；③平分；④平分，其中正确的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，角平分线的判定定理，掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．证明，可判断①结论；根据全等三角形的性质和三角形内角和定理，可判断②结论；过点作，，根据全等三角形的性质和角平分线的判定定理，可判断③结论；假设平分，可证，则，可判断④结论． 【详解】解：， ，即， 又，， ， ，①结论正确； ， ， ， ， ，②结论正确； 如图，过点作，， ， ， 平分，③结论正确； 假设平分， ， 平分， ， ，即， 又， ， ， 而题干中没有说明，即无法判断平分，④结论错误； 故选：B． 4．如图，在中，是中线，过点作于点，过点作交的延长线于点．下列结论：①；②；③；④；⑤．正确的个数是（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查三角形的中线，全等三角形的判定和性质，根据中线的定义可判断①；证明，可判断②③；证明，根据平行线的性质得出，可判断④；根据得出，结合，可判断⑤． 【详解】解：是中线， ，故①正确； ，， ，， ，， ， 又，， ， ，，故②③正确； ，， ， ，故④错误； ， ， ， ，故⑤正确； 综上可知，正确的有① ② ③ ⑤，共4个， 故选C． 5．如图，是的中线，分别是和延长线上的点，且，连接，则下列说法：；；点D是的中点；，其中正确的个数是（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】本题主要考查三角形中线性质、全等三角形判定、平行线判定以及中点定义等核心几何知识．解题关键在于利用中线性质建立基础关系，通过给定的角相等条件和对顶角性质证明全等，进而推导中点和平行关系． 先利用中线性质得出和面积关系；结合已知角相等和对顶角证明；再由全等得出，证明中点；然后利用全等对应角相等证明；最后得出四个结论全部正确，选A． 【详解】解：是的中线， ， 和的面积相等，故正确； 在和中，， ，故正确； ，故正确； ，故正确． 综上所述，正确的有4个． 故答案为：A． 6．如图，在中，，平分交于，于，点在上，点在上，，平分，下列结论中正确的个数（　　） ；平分；；． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，根据角平分线的性质，全等三角形的判定与性质逐一判断即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分交于，， ∴，故正确； 如图，过作于点， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴点在角平分线上， ∴平分，故正确； ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴，故正确； 由上得，， ∴，， ∴， ∴，故正确， 综上可知，正确，共个正确， 故选：． 7．如图，在和中，，，，则下列结论①；②；③；④中，正确的有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，平行线的判定．首先证明，推出，，再利用三角形内角和定理，平行线的判定即可一一判断． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴，，①正确，③错误； 如图，∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴，④正确； ∵， ∴，故②正确； ∴正确的有3个， 故选：C． 8．如图，B是上的点，，则下列结论：①，②，③．④．其中正确的有（   ）    A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题主要考查全等三角形的性质定理，三角形外角的性质，等腰三角形的性质． 延长交于点F，延长交于点G，由，可证，，，证明，即可判断①；证明，即可判断②；由，，即可判断③；由，，即可判断④． 【详解】解：如图，延长交于点F，延长交于点G．   ， ，，． ∵点B在上， ， ， ． 在中，， ， ，即，故①正确； ， ， ， ， ，即，故②正确； ，， ，故③错误； ，， 且， ，故④正确． 故选B． 9．如图，在中，和的平分线相交于点O，过点O作交于点E，交于点F，过点O作于点D，下列四个结论：①；②点O到各边的距离相等；③；④设，，则．正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】此题考查了角平分线的定义及性质，平行线的性质，三角形的面积．①先由角平分线的定义得，再由得，由此得，进而得，，据此可对结论①进行判断；②过点O作于M，作于N，连接，根据角平分线的性质得， ，由此可得，据此可对结论②进行判断；③根据②的结论可证三角形全等得到，，，即可得到等于，变形即可得到③正确；④由②得，则，进而得，据此可对结论④进行判断． 【详解】解：在中， 和的平分线相交于点O， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴，故①正确； 过点O作于M，作于N，连接， ， 在中，是的平分线，是的平分线， ， ， ， ∴点O到各边的距离相等，故②正确； ，，， ∴， 同理，，， ∴， ∵， ∴，故③正确； ，， ∴， ∴，故④正确； 综上所述：正确的结论有①②③④，共4个， 故选：D． 10．如图，在中，，是的角平分线，，，垂足分别为，．则下列四个结论：①上任意一点到点，的距离相等；②上任意一点到边，的距离相等；③，；④；⑤．其中，正确的个数为（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】由等腰三角形的性质可得垂直平分，，可判断③，由角平分线的性质和线段垂直平分线的性质可判断①②，由直角三角形的性质和等腰三角形的性质可判断④，即可求解．本题考查了等腰三角形的性质，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键． 【详解】解：，是的角平分线， 垂直平分，， 上任意一点到点和点的距离相等，故①正确； 是的角平分线， 上任意一点到，的距离相等，故②正确； ，是的角平分线， ，，故③正确； ，， ， 又∵， ， ，，， ， ， ，故④正确， 由条件无法证明，故⑤错误， 故选：C． 【题型2 全等三角形最值问题】 11．如图，在中，，的平分线交于点，为上一动点，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D．2.5 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了垂线段最短．作于H，根据角平分线的性质得到，然后根据垂线段最短求解． 【详解】解：作于H，如图， ∵的平分线交于点，，， ∴， ∵Q为上一动点， ∴的最小值为的长，即的最小值为2． 故选：B． 12．如图，正的边长为4，过点的直线，且与关于直线对称，为线段上一动点，则的最小值是（   ） A．6 B．12 C．8 D．10 【答案】C 【分析】连接，先根据轴对称的性质得出，，证明，得出，由三角形的三边关系定理、两点之间线段最短可得，当点与点重合，即点、、三点共线时，取得最小值，计算即可得解． 【详解】解：如图，连接， ∵与关于直线对称， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 由三角形的三边关系定理、两点之间线段最短可得，当点与点重合，即点、、三点共线时，取得最小值，最小值为， ∴的最小值为， 故选：C． 【点睛】本题考查了轴对称的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 13．如图，在中，以点为圆心，适当长度为半径作弧，分别交，于点，，分别以，为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点；作射线交于点．，点是上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的作法和性质，垂线段最短，由作图可得是的角平分线，由垂线段最短可知当时，取最小值，进而根据角平分线的性质即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 由作图知，是的角平分线， 当时，取最小值，如图， ∵是的角平分线，，， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 14．如图，，和分别平分和，过点，且与互相垂直，点为线段上一动点，连接．若，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的性质，垂线段最短，平行线的性质，过作于，由平行线的性质推出，由角平分线的性质推出，，得到 ，由垂线段最短得到，即可得到的最小值，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解: 过作于， ∵，， ∴， ∵和分别平分和， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴的最小值为， 故答案为：． 15．如图，中，，，，D为上的一动点，把沿翻折得到，连，当取最小值时，的面积是 ．    【答案】/ 【分析】本题考查的是轴对称的性质，角平分线的性质．如图，由，当A、P、C三点共线时取等号，此时最小，过D作于G，作于F，，，由对折可得：，，可得，再利用等面积法求解即可． 【详解】解：如图，∵，当A，P，C三点共线时取等号，此时最小， 过D作于G，作于F，，， 由对折可得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 16．如图，平分，点P在上，于D，，点E是射线上的动点，则的最小值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了垂线段最短，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 过点作于，如图，根据角平分线的性质得到，然后根据垂线段最短求解． 【详解】解：过点作于，如图，   平分，，， ， 点是射线上的动点， 的最小值为． 故答案为：3． 17．如图，直角中，斜边，为直线上的动点，将绕点逆时针旋转得到，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】取中点，连接，如图所示，根据直角三角形性质：斜边中线等于斜边一半，以及含的直角三角形性质：所对直角边是斜边的一半，再根据旋转性质得到，从而，结合两个三角形全等的判定定理得到，进而有，即当取最小值时，有最小值，根据点到直线最短距离是垂直时得到可知当时，有最小值，从而利用直角三角形性质：斜边中线等于斜边一半即可得到答案． 【详解】解：取中点，连接，如图所示： ∵，点是中点，， ∴，，， ∵将绕点逆时针旋转得到， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即当取最小值时，有最小值， 当时，有最小值，此时，， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查动点最值问题，涉及直角三角形斜边中线等于斜边一半，含的直角三角形性质，旋转性质、全等三角形的判定与性质、点到直线最短距离等知识，熟练掌握直角三角形斜边中线等于斜边一半是解决问题的关键． 18．如图，在纸片中，，，且，P为BC上一点，将纸片沿AP剪开，并将、分别沿AB、AC向外翻折至、，连接DE，则面积的最小值为 ． 【答案】 【分析】由将、分别沿AB、AC向外翻折至、可得：AP=AD=AE,由易得∠DAE=90°，面积=AD×AE=，当x取最小值时面积的最小即可求解． 【详解】解：∵、分别沿AB、AC向外翻折至、 ∴， ∴AP=AD=AE,∠BAD=∠BAP，∠CAP=∠CAE， ∵ 所以∠DAE=∠DAP +∠PAE =2（∠BAP +∠PAC）=2∠BAC =90°， 面积=AD×AE=，当AP取最小值时的面积最小， 在中，当AP为BC边的高，即AP垂直BC时，AP最小， 此时，， ，解得：AP=， 面积的最小值为：． 【点睛】本题考查了三角形的折叠问题、全等三角形的性质和三角形的最小面积，解题的关键是弄清楚什么时候三角形的面积最小． 19．如图，在锐角△ABC中，∠BAC 40°，∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD和AB上的动点，当BM MN有最小值时， °． 【答案】50 【分析】在AC上截取AE=AN，可证△AME≌△AMN，当BM MN有最小值时，则BE是点B到直线AC的距离即BE⊥AC，代入度数即可求∠ABM的值； 【详解】如图，在AC上截取AE=AN，连接BE， ∵∠BAC的平分线交BC于点D， ∴∠EAM=∠NAM， ∵AM=AM， ∴△AME≌△AMN， ∴ME=MN， ∴BM+MN=BM+ME≥BE． ∵BM+MN有最小值． 当BE是点B到直线AC的距离时，BE⊥AC， ∴∠ABM=90°-∠BAC=90°-40°=50°； 故答案为：50． 【点睛】本题考查的是轴对称－最短路线问题，通过最短路线求出角度；解答此类问题时要从已知条件结合图形认真思考，通过角平分线性质，垂线段最短，确定线段和的最短路线，代入即可求出度数． 20．如图，将△ABC沿AD折叠使得顶点C恰好落在AB边上的点M处，D在BC上，点P在线段AD上移动，若AC＝6，CD＝3，BD＝7，则△PMB周长的最小值为 ． 【答案】18 【分析】首先明确要使得△PMB周长最小，即使得PM+PB最小，再根据翻折的性质可知PM=PC，从而可得满足PC+PB最小即可，根据两点之间线段最短确定BC即为最小值，从而求解即可． 【详解】解：由翻折的性质可知，AM=AC，PM=PC， ∴M点为AB上一个固定点，则BM长度固定， ∵△PMB周长=PM+PB+BM， ∴要使得△PMB周长最小，即使得PM+PB最小， ∵PM=PC， ∴满足PC+PB最小即可， 显然，当P、B、C三点共线时，满足PC+PB最小，如图所示， 此时，P点与D点重合，PC+PB=BC， ∴△PMB周长最小值即为BC+BM， 此时，作DS⊥AB于S点，DT⊥AC延长线于T点，AQ⊥BC延长线于Q点， 由题意，AD为∠BAC的角平分线， ∴DS=DT， ∵，， ∴， 即：， ∴， 解得：AB=14， ∵AM=AC=6， ∴BM=14-6=8， ∴△PMB周长最小值为BC+BM=3+7+8=18， 故答案为：18． 【点睛】本题考查翻折的性质，以及最短路径问题等，掌握翻折的基本性质，利用角平分线的性质进行推理求解，理解并熟练运用两点之间线段最短是解题关键． 【题型3 全等三角形动点问题】 21．如图，于点，射线于点B，一动点E从A点出发以2个单位/秒的速度沿射线运动，点D为射线上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持，若点E经过t秒与全等，则t的值为 秒． 【答案】或或 【分析】本题考查去啊能三角形的判定和性质，解题的关键是根据题意确定点的位置． 根据运动过程和三角形全等，分类讨论，确定点的位置，从而可得运动路程，除以运动速度，即可得运动时间． 【详解】解：根据题意，进行分类讨论如下： 当点在线段上，时，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵点的运动速度为个单位/秒， ∴运动时间（秒）； 当点在延长线上，时，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵点的运动速度为个单位/秒， ∴运动时间（秒）； 当点在延长线上，时，， ∴， ∵， ∴， ∵点的运动速度为个单位/秒， ∴运动时间（秒） ∴的值为或或， 故答案为：或或． 22．如图，在中，，，为射线上一动点，连结，将绕点顺时针旋转至交直线于点，若，则 ． 【答案】3或7 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质．分两种情况讨论，当为线段上时，作于点，证明，求得，，，再证明，求得，即可求解的长；当为线段上时，同理求解即可． 【详解】解：当为线段上时，作于点， 由旋转的性质得，， ∵， ∴， ∴， ∴，，， ∵，，， ∴， ∴， ∴； 当为线段上时，作交延长线于点， 同理， ∴，，， ∵，，， ∴， ∴， ∴； 综上，的长为3或7． 故答案为：3或7． 23．如图，，，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动，点Q在线段上由点B向点D运动，两个动点同时出发，设运动时间为，则当点Q的运动速度为 时，与有可能全等．    【答案】1或 【分析】本题主要考查了全等三角的判定．分两种情况讨论：当，时；当，时，即可求解． 【详解】解：当，时，， 、Q运动的路程和时间相同， 和P的运动速度相同是； 当，时，， ， 运动的时间是， ， 运动的速度是， 当点Q的运动速度为1或时，与全等． 故答案为：1或 24．如图，中，，，，，，，动点以的速度从点出发沿路径向终点运动；动点以的速度从点沿向终点点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为，则当 秒时，与全等． 【答案】6或或 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，可证明得到，，则可推出只存在这种情况，则由，再分，和，三种情况分别用含t的式子表示出的长，然后建立方程求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵， ∴ ∴，， ∵， ∴； ∵与全等， ∴只存在这种情况， ∴， 当时，点在线段上，点在线段上， ∴ ∴， ∴（不合题意，舍去）； ②当时，点在线段上，点在线段上， ∴ ∴， ∴； 当时，点在线段上，点在线段上， ∴ ∴， ∴； 当时，点在线段上，点在线段上， ∴ ∴， ∴； 综上所述，t的值为6或或， 故答案为：6或或． 25．如图，在中，，，，一直线经过点，动点从点出发沿路径向终点运动，动点从点出发沿路径向终点运动，点，分别以和的速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过点，作，作于点，于点那么点运动 秒时，． 【答案】或 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据题意分两种情况讨论，即在上以及在上两种情况，根据全等三角形的性质结合题意，列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】解：当在上，在上时，如图 ∵ ∴ ∴ 解得： ∵运动到点需要的时间为， ∴当在上，在上时，如图，此时点已经停止运动，继续运动， ∵ ∴ ∴ 解得： 综上所述，点运动或秒时， 故答案为：或． 26．如图，在中，，直线经过点且与边相交，动点从点出发沿路径向终点运动；动点从点出发沿路径向终点运动，点和点的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点到达终点时计时结束，在某时刻分别过点和点作于点，于点，设运动时间为，则与全等时，的值为 ． 【答案】2或或6 【分析】本题考查全等三角形的性质，分，且点在上、点在上运动，，且点与点重合，当，且点在上、点在上运动三种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴与全等分三种情况讨论： ①如图①，当，且点在上、点在上运动时， ． 此时， ∴， 解得； ②如图②，当，且点与点重合时， ． 此时， ∴， 解得； ③当，且点在上、点在上运动时，． 此时． 当点未到达终点时， ， 解得， 不符合题意，舍去． 当点到达终点时，继续运动，如图③， 此时点与点重合，， ∴， 解得． 综上所述，当的值为2或或6时，与全等． 故答案为：2或或6 27．如图，OP平分∠AOB，PD⊥OA于点D，点Q是射线OB上一个动点，若PD＝2，则PQ的取值范围为 ． 【答案】PQ2/ 【分析】根据垂线段最短可得PQ⊥OB时，PQ最短，再根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PQ＝PD． 【详解】解：由垂线段最短可得PQ⊥OB时，PQ最短， ∵OP平分∠AOB，PD⊥OA， ∴PQ＝PD＝2， 即线段PQ的最小值是2． ∴PQ的取值范围为PQ2， 故答案为：PQ2． 【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，垂线段最短，熟记性质并判断出PN与OB垂直时PN的值最小是解题的关键． 28．如图，在矩形中，，，点从点出发，以的速度沿边向点运动，到达点停止，同时，点从点出发，以的速度沿边向点运动，到达点停止，规定其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动．当为 时，与全等． 【答案】2或 【分析】可分两种情况：①得到，，②得到，，然后分别计算出的值，进而得到的值． 【详解】解：①当，时，， ， ， ， ，解得：， ， ， 解得：； ②当，时，， ， ， ，解得：， ， ， 解得：， 综上所述，当或时，与全等， 故答案为：2或． 【点睛】主要考查了全等三角形的性质，矩形的性质，解本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． 29．如图①，在中，，，，，现有一动点从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为． (1)如图①，当时，________cm，当时，________cm． (2)如图①，求当为何值时，的面积等于面积的一半； (3)如图②，在中，，，，，．在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发．沿着边运动，回到点停止，在两点运动过程中的某一时刻，恰好，直接写出点的运动速度． 【答案】(1)； (2)或 (3)运动的速度为或 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质及三角形面积、一元一次方程的几何应用，分类讨论思想，掌握全等三角形的性质及分情况讨论是解题的关键． （1）当时，点P在线段上；当时，，点在线段上，分别求解即可； （2）分两种情况讨论：①点P在上；②点P在上，利用三角形面积分别求解即可； （3）根据题意分两种情况进行分析，利用全等三角形的判定与性质得出点所走的路程，进而可求出的运动时间，即的运动时间，再利用速度路程时间求解即可． 【详解】（1）解：当时，点在线段上， ∵点速度为， ∴． 当时，， 点在线段上， ∴． 故答案为：；； （2）解：∵，， ∴， ∵的面积等于面积的一半， ∴． ①当点在上时， ， ∴， ． ②当点在上时，    过点作于点D， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ． 故答案为：或； （3）解：①当点在上，点在上，时， ， ∴； ②当点P在上，点Q在上，时， ， ∴点P的路程为，点Q的路程为， ∴． ∴运动的速度为或． 30．如图①，在中，，，，，现有一动点，从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为． (1)如图①，当____时，的面积等于面积的一半； (2)如图②，在中，，，，．在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好，求点的运动速度． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）根据题意，，动点的速度为，设运动时间为，在上运动的时长为，在上运动的时长为，在上运动的时长为，根据运动时间，分类解答即可． （2）根据直角三角形的全等，分类解答即可． 【详解】（1）解：根据题意，，动点的速度为，设运动时间为，在上运动的时长为，在上运动的时长为，在上运动的时长为， 当时，点P在上运动，此时不存在； 当时，点P在上运动，此时存在，如图所示， 根据题意，，此时， ∵的面积等于面积的一半， ∴， 解得； 当时，点P在上运动，此时存在，如图所示， 根据题意，运动总路程长为，此时， ∵的面积等于面积的一半， ∴， ∴, 解得； 故当或时，的面积等于面积的一半， 故答案为：或． （2）解：当点P在上运动，点Q在上运动，且满足， ∵，，，． ∴，， ∵动点P的速度为， ∴动点P的运动时间为， ∴动点Q的运动时间为， ∴动点Q的运动速度为； 当点P在上运动，点Q在上运动，不满足，不存在； 当点P在上运动，点Q在上运动，满足，存在； ∵，，，． ∴，， ∵动点P的速度为， ∴动点P的运动时间为， ∴动点Q的运动时间为， 点Q的运动路程为， ∴动点Q的运动速度为； 综上所述，点Q的速度为或． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，运动问题，三角形面积计算，分类思想的应用，直角三角形的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【题型4 全等三角形几何证明压轴题】 31．如图1，在中，点、在边上，连接、，满足，且，点在上，连接交于点． (1)①线段与的位置关系是______； ②若平分，，求的度数； (2)如图2，若，连接，过点作交于点．证明：； (3)在（2）的条件下，如图3，于点，点，在边上，且，连接，，已知，，，，请直接写出的最小值． 【答案】(1)①② (2)见解析 (3) 【分析】（1）①由，根据三角形内角和定理，得到，即可得出 ②由，在中，根据三角形内角和定理，求出，，由平分，在中，根据三角形内角和定理，即可求解， （2）， 由，，根据平行线的性质，得到，，结合，得到，，结合，，得到，，在和根据三角形内角和定理，得到，，即可求解， （3）作，，作，由，，得到，结合，，得到，，根据，，，，得到，由（2）得，，，由，得到，由，得到，在中，根据三边关系得到，即可求解， 【详解】（1）解：①∵，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． ②∵， ∴设，则， ∴， 即：， 解得：， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， （2）解：作，交于点，    ∵，， ∴，， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴, （3）解：作，，连接，作 交延长线于点，    ∵，， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵，，，， ∴，解得：， 由（2）得，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了，角平分线，三角形内角和定理，平行线的性质，全等三角形的性质与判定，三角形三边关系，解题的关键是：连接辅助线，构造全等三角形． 32．如图1，在中，，，直线经过点，过作，垂足为，过作，垂足为． (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)如图2，延长至，连接，过点作，且，连接交直线于点，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了同角的余角相等、全等三角形的判定与性质等知识，正确地添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）由，，得，因为，所以，而，即可根据证明； （2）由全等三角形的性质得，因为，所以； （3）作于点，则，由，推导出，而，可证明，得，，则，再证明，得，由，求得，则，即可求得． 【详解】（1）证明：直线经过点，，垂足为，，垂足为， ， ， ， 在和中， ， ． （2）解：由（1）得， ， ， ， 的长是． （3）解：如图，作于点，则， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ，， ， ，， ， 线段的长为． 33．在中，，，D为直线上一动点，连接，在直线右侧作，且． (1)如图1，当点D在线段上时，过点E作于点．求证：； (2)如图2，当点D在线段的延长线上时，连接交的延长线于点M，求证：； (3)当点D在直线上时，连接交直线于M，若，请直接写出的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)或 【分析】（1）由结合已知得结合题意证，利用全等的性质可证； （2）如图2，过点作，由垂直得结合已知证，得到，，再证即可得到结果； （3）当点在延长线上时，如图，交的延长线于，由，设则，分别，利用全等的性质求出，，，最后利用三角形面积公式计算即可． （3）作交的延长线于点，先证明，得，，所以，可证明，得，再分两点情况，一是点在的延长线上，设，则，由得，则，，，可求得；二是点在线段上，设，则，则，，，于是得，，所以． 【详解】（1）证明：，， ， ，， ， 又，， ， ， ， ； （2）证明：如图2，过点作， ，， ， ，， ， 又，， ， ， ， ， 又，， ， ； （3）如图，当点在延长线上时，连接交直线于，交的延长线于， ， ， 设，则， ， ，， ， ，， ， 又，， ， ，， 又，， ， ， ， ， ， ． 如图4，点在线段上，设，则， ， ， ， ， ，， ， 综上所述，或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形面积公式；解题的关键是证明三角形全等并运用性质进行等量换算． 34．（1）如图①，在四边形中，，E，F分别是边上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系：________； （2）如图②，在四边形中，，E，F分别是边上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； （3）在四边形中，，E、F分别是边延长线上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系：________． 【答案】（1）；（2）成立，见解析；（3） 【分析】本题是三角形的综合题，利用全等三角形的判定与性质得出是解题关键，再利用全等三角形的判定与性质得出，本题的3个问题运用了类比的方法依次解决问题． （1）如图，延长到G，使，连接，即可证明，可得，再证明，可得，即可解题； （2）如图，延长到G，使，连接，同理可得：； （3）如图③，仿照（1）（2）构造全等三角形求解即可． 【详解】解：（1）如图，延长到G，使，连接， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． ∴． ∵． ∴； 故答案为：； （2）（1）中的结论仍然成立，理由如下： 如图，延长到G，使，连接， ∵， ∴ ∵, ∴ ∴， ∵， ∴， ∴ ∴． 又∵， ∴． ∴． ∵． ∴； （3）若如图③，在上截取，使，连接． ∵， ∴． ∵ ∴ ∴， ∴． ∴， ∵， ∴ ∴． ∵ ∴． 35．在中，，点是边上一点，过作垂直，垂足为点． (1)如图1，点是的中点，，如果，求的长； (2)已知， ①如图2，连接，求证：平分； ②如图3，延长至点，连接交线段于点，当，且点是中点时，求的值． 【答案】(1) (2)①见解析  ② 【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，然后证明即可解题； （2）①过点作于点，过点作，交的延长线于点，利用直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质和正方形的判定与性质解答即可； ②过点作于点，过点作，交的延长线于点，利用①的结论，全等三角形的判定与性质，平行线的性质解答即可得出结论． 【详解】（1）解：连， ∵是中点，， ∴ ∵， ∴ ∴； （2）①证明：过点作于点，过点作，交的延长线于点，如图， ，，， 四边形为矩形， ， ， ， ． 在和中， ， ， ， 矩形为正方形， ， 平分； ②解：过点作于点，过点作，交的延长线于点，如图， 由（2）知：四边形为正方形， ，． ． ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ． 在和中， ， ， ，． ． 在和中， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，垂直的定义，全等三角形的判定与性质矩形的判定与性质正方形的判定与性质，恰当的添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 36．【材料阅读】小明在学习完全等三角形后，为了进一步探究，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板（在中，，；中，，），并提出了相应的问题 (1)【发现】如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点B摆放在线段上时，过点A作，垂足为点M，过点C作，垂足为点N，易证，若，，则______； (2)【类比】如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点B在线段上且顶点A在线段上时，过点C作，垂足为点P，猜想，，的数量关系，并说明理由； (3)【拓展】如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段上且顶点B在线段上时，若，，连接，则的面积为______． 【答案】(1)9 (2)；理由见解析 (3)10 【分析】本题综合考查了全等三角形的判定与性质，熟记相关定理内容进行几何推理是解题关键． （1）由，利用两个三角形全等的性质，得到，，即可得到； （2）根据两个三角形全等的判定定理，得到，利用两个三角形全等的性质，得到，，由中，即可得到三者的数量关系； （3）延长，过点C作于P，由两个三角形全等的判定定理得到，从而，，则可求得，延长，过点C作于F，由平行线间的平行线段相等可得，代入面积公式得，即可得到答案． 【详解】（1）解：，，， ，， ； 故答案为：9． （2）解： 理由：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； ． （3）解：延长，过点C作于P，如图所示： ，， ， ，， ， ，， ， 延长，过点C作于F，如图所示： ，， ， ，， ， 由平行线间的平行线段相等可得， ， 故答案为：10． 37．如图，在中，是边上的高，是边上的高，相交于点，且．    (1)求证：． (2)动点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，两点同时出发，当点到达点时，两点同时停止运动．设点的运动时间为秒 ①点是线段上的一点（不与点重合），当时，__________（用含的代数式表示）；设，则__________（用含的代数式表示） ②点是直线上的一点且．是否存在值，使以点为顶点的三角形与以点为顶点的三角形全等？若存在，请求出符合条件的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①；；②或时，使以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，线段的和差； （1）由，可得，通过即可证明； （2）①根据题列出代数式即可得出，根据等角的余角相等即可证明； ②分两种情形：如图2，当时；如图3，当时，分别进行求解即可得到答案． 【详解】（1）证明： 是边上的高，是边上的高， ， ， ， 在和中， ， ； （2）①解：依题意，， ∵ 是边上的高，是边上的高， ， ， ， ， ， ， 故答案为：；． ②解：存在， 如图2，当时， 在和中， ， ， ， ， ； 如图3，当时， 在和中， ， ， ， ， ， 综上所述：或时，使以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等． 38．已知．． (1)如图1，平分，求证：四边形对角线垂直平分； (2)如图2．将（1）中的绕点逆时针旋转（旋转角小于），，的延长线相交于点，用等式表示与之间的数量关系，并证明； (3)如图3，将（1）中的绕点顺时针旋转（旋转角小于），若．求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 (3) 【分析】（1）连接，根据，得到，根据等腰三角形三线合一，得到，再根据，得到平分，即可得证； （2）根据，，根据等边对等角，得到，从而得到，利用平角的定义，得到，根据，进行转化，即可得到； （3）在上取一点，使得，连接，证明，得到，，根据三角形外角的性质和三角形内角和定理进行求解，即可得解． 【详解】（1）解：连接， ∵， ∴， 又∵平分， ∴ ∵， ∴平分， ∴垂直平分； （2）（2）结论： ∵ ∴， ∵， ∴， ∴． ∴， ∴． ∵， ∴， ∴； （3）在上取一点，使得，连接． ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴． 设，，则 ∵， ∴， ∴． ∴， ∴． ∴． ∴， ∴，即． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质和判定、全等三角形的判定与性质、旋转的性质．熟练掌握相关性质，证明三角形全等，是解题的关键． 39．在△ABC和△DEC中，AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠ECD＝90°． (1)如图1，当点A、C、D在同一条直线上时，求证：AF⊥BD； (2)如图2，当点A、C、D不在同一条直线上时．（1）中的结论是否仍然成立，请说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，连接CF并延长CF交AD于点G，∠AFG是一个固定的值吗？若是，直接写出∠AFG的度数，若不是，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)成立，理由见解析 (3)见解析 【分析】（1）只要证明△ACE≌△BCD，推出∠EAC=∠CBD，由∠AEC=∠BEF，即可推出∠BFE=∠ACE=90°． （2）如图2中，只要证明△ACE≌△BCD，推出∠1=∠2，由∠3=∠4，即可推出∠BFA=∠BCA=90°． （3）如图3中，只要证明△ACE≌△BCD，推出，AE=BD，推出，推出CM=CN，因为CM⊥BD，CN⊥AE，即可推出CF平分∠BFE， 【详解】（1）证明：如图1中， 在△ACE和△BCD中， ， ∴△ACE≌△BCD， ∴∠EAC=∠CBD， ∵∠AEC=∠BEF， ∴∠BFE=∠ACE=90°， ∴AF⊥BD． （2）解：成立． 理由：如图2， ∵ ∴ ∴ 在和中 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ （3）如图3，过点C作CM⊥BD，CN⊥AE，垂足分别为M、N， ∵△ACE≌△BCD， ∴S△ACE=S△BCD，AE=BD， ∴， ∴CM=CN， ∵CM⊥BD，CN⊥AE， ∴CF平分∠BFE， ∵AF⊥BD， ∴∠BFE=90°， ∴∠EFC=45°， ∴∠AFG=45°． 【点睛】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、角平分线的判定定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会添加辅助线利用面积法证明线段相等，属于中考压轴题． 40．已知：在四边形中，于E，且． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，平分交于F，点G在上，连接，且．求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，，过点F作，且，若，求线段的长． 【答案】(1)120°； (2)见解析； (3)3． 【分析】（1）取AD的中点F，连接EF，证明△AEF是等边三角形，进而求得∠B； （2）作FM⊥BC于M，FN⊥AB于点N，先证明Rt△BFM≌Rt△BFN，再证明Rt△FMG≌Rt△FNA； （3）连接AG，DF，DG，作FM⊥BC于M，先证明AF=GF=DF，从而得出∠AGH=∠AFD＝30°，进而得出∠DGC=∠DFC=120°，从而得出点G、C、D、F共圆，进而得出CA平分∠BCD，接着可证Rt△FMG≌Rt△FHD，△MCF≌△HCF，进而求得GM=CG=DH=，从而得出BM的值，进而求得BF． 【详解】（1）解：如图1，取AD的中点F，连接EF， ∵DE⊥AC， ∴∠AED=90°， ∴AD=2AF=2EF， ∵AD=2AE， ∴AE=EF=AF， ∴∠CAD=60°， ∵∠B+∠CAD=180°， ∴∠B=120°； （2）证明：如图2，作FM⊥BC于M，FN⊥AB于点N， ∴∠BMF=∠BNF=90°，∠GMF=∠ANF=90°， ∵BF平分∠ABC， ∴FM=FN， 在Rt△BFM和Rt△BFN中， ， ∴Rt△BFM≌Rt△BFN（HL）， ∴BM=BN， 在Rt△FMG和Rt△FNA中， ， ∴Rt△FMG≌Rt△FNA（HL）， ∴MG=NA， ∴BN+NA=BM+MG， ∴AB=BG． （3）如图3， 连接AG，DF，DG，作FM⊥BC于M，延长GF交AD于N， ∵AF=AD，∠DAE=60°， ∴△ADF是等边三角形， ∴∠AFD=60°，AF=DF， ∵GF=AF，∠DFC=180°-∠AFD=120°， ∴AF=GF=DF， ∴∠FGD=∠FDG，∠FAG=∠FGA， ∴∠AGD=∠AFN+∠DFN=∠AFD=×60°＝30°， ∵∠ADC=120°，AD=DG， ∴∠DGA=∠DAG==30°， ∴∠DGC=180°-∠DGA-∠AGD=180°-30°-30°=120°， ∴∠DGC=∠DFC， ∵∠1=∠2， ∴180°-∠DGC-∠1=180°-∠DFC-∠2， ∴∠GCF=∠FDG，∠DCF=∠FGD， ∴∠GCF=∠DCF， ∵FH⊥CD， ∴FM=FH， ∵∠FMG=∠FHD=90°， ∴Rt△FMG≌Rt△FHD（HL）， ∴DH=MG， 同理可得：△MCF≌△HCF（HL）， ∴CM=CH=2CG， ∴GM=CG=DH， ∴3CG=CD=， ∴GM=CG=， ∴BM=BG-GM=AB-GM=5-=， 在Rt△BFM中，∠BFM=90°-∠FBM=90°-60°=30°， ∴BF=2BM=3． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质等知识，解决问题的关键是正确作出辅助线． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题15 全等三角形相关压轴题分类训练（4种类型40道） 目录 【题型1 全等三角形综合题】 1 【题型2 全等三角形最值问题】 4 【题型3 全等三角形动点问题】 6 【题型4 全等三角形几何证明压轴题】 10 【题型1 全等三角形综合题】 1．如图，在中，和的平分线相交于点O，交于点E，交于点F，过点O作于D，下列三个结论：①；②若，则；③当时，．其中正确的是（  ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 2．如图，中，，G为的中点，连接并延长交于点E，作，垂足为H，交于点下列判断；；；，所有正确结论的序号为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在和中，若，，，、交于点M，连接，则下列结论：①；②；③平分；④平分，其中正确的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 4．如图，在中，是中线，过点作于点，过点作交的延长线于点．下列结论：①；②；③；④；⑤．正确的个数是（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 5．如图，是的中线，分别是和延长线上的点，且，连接，则下列说法：；；点D是的中点；，其中正确的个数是（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 6．如图，在中，，平分交于，于，点在上，点在上，，平分，下列结论中正确的个数（　　） ；平分；；． A．个 B．个 C．个 D．个 7．如图，在和中，，，，则下列结论①；②；③；④中，正确的有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．0 8．如图，B是上的点，，则下列结论：①，②，③．④．其中正确的有（   ）    A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 9．如图，在中，和的平分线相交于点O，过点O作交于点E，交于点F，过点O作于点D，下列四个结论：①；②点O到各边的距离相等；③；④设，，则．正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．如图，在中，，是的角平分线，，，垂足分别为，．则下列四个结论：①上任意一点到点，的距离相等；②上任意一点到边，的距离相等；③，；④；⑤．其中，正确的个数为（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【题型2 全等三角形最值问题】 11．如图，在中，，的平分线交于点，为上一动点，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D．2.5 12．如图，正的边长为4，过点的直线，且与关于直线对称，为线段上一动点，则的最小值是（   ） A．6 B．12 C．8 D．10 13．如图，在中，以点为圆心，适当长度为半径作弧，分别交，于点，，分别以，为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点；作射线交于点．，点是上的动点，则的最小值为 ． 14．如图，，和分别平分和，过点，且与互相垂直，点为线段上一动点，连接．若，则的最小值为 ． 15．如图，中，，，，D为上的一动点，把沿翻折得到，连，当取最小值时，的面积是 ．    16．如图，平分，点P在上，于D，，点E是射线上的动点，则的最小值为 ． 17．如图，直角中，斜边，为直线上的动点，将绕点逆时针旋转得到，则的最小值是 ． 18．如图，在纸片中，，，且，P为BC上一点，将纸片沿AP剪开，并将、分别沿AB、AC向外翻折至、，连接DE，则面积的最小值为 ． 19．如图，在锐角△ABC中，∠BAC 40°，∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD和AB上的动点，当BM MN有最小值时， °． 20．如图，将△ABC沿AD折叠使得顶点C恰好落在AB边上的点M处，D在BC上，点P在线段AD上移动，若AC＝6，CD＝3，BD＝7，则△PMB周长的最小值为 ． 【题型3 全等三角形动点问题】 21．如图，于点，射线于点B，一动点E从A点出发以2个单位/秒的速度沿射线运动，点D为射线上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持，若点E经过t秒与全等，则t的值为 秒． 22．如图，在中，，，为射线上一动点，连结，将绕点顺时针旋转至交直线于点，若，则 ． 23．如图，，，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动，点Q在线段上由点B向点D运动，两个动点同时出发，设运动时间为，则当点Q的运动速度为 时，与有可能全等．    24．如图，中，，，，，，，动点以的速度从点出发沿路径向终点运动；动点以的速度从点沿向终点点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为，则当 秒时，与全等． 25．如图，在中，，，，一直线经过点，动点从点出发沿路径向终点运动，动点从点出发沿路径向终点运动，点，分别以和的速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过点，作，作于点，于点那么点运动 秒时，． 26．如图，在中，，直线经过点且与边相交，动点从点出发沿路径向终点运动；动点从点出发沿路径向终点运动，点和点的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点到达终点时计时结束，在某时刻分别过点和点作于点，于点，设运动时间为，则与全等时，的值为 ． 27．如图，OP平分∠AOB，PD⊥OA于点D，点Q是射线OB上一个动点，若PD＝2，则PQ的取值范围为 ． 28．如图，在矩形中，，，点从点出发，以的速度沿边向点运动，到达点停止，同时，点从点出发，以的速度沿边向点运动，到达点停止，规定其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动．当为 时，与全等． 29．如图①，在中，，，，，现有一动点从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为． (1)如图①，当时，________cm，当时，________cm． (2)如图①，求当为何值时，的面积等于面积的一半； (3)如图②，在中，，，，，．在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发．沿着边运动，回到点停止，在两点运动过程中的某一时刻，恰好，直接写出点的运动速度． 30．如图①，在中，，，，，现有一动点，从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为． (1)如图①，当____时，的面积等于面积的一半； (2)如图②，在中，，，，．在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好，求点的运动速度． 【题型4 全等三角形几何证明压轴题】 31．如图1，在中，点、在边上，连接、，满足，且，点在上，连接交于点． (1)①线段与的位置关系是______； ②若平分，，求的度数； (2)如图2，若，连接，过点作交于点．证明：； (3)在（2）的条件下，如图3，于点，点，在边上，且，连接，，已知，，，，请直接写出的最小值． 32．如图1，在中，，，直线经过点，过作，垂足为，过作，垂足为． (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)如图2，延长至，连接，过点作，且，连接交直线于点，若，，求的长． 33．在中，，，D为直线上一动点，连接，在直线右侧作，且． (1)如图1，当点D在线段上时，过点E作于点．求证：； (2)如图2，当点D在线段的延长线上时，连接交的延长线于点M，求证：； (3)当点D在直线上时，连接交直线于M，若，请直接写出的值． 34．（1）如图①，在四边形中，，E，F分别是边上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系：________； （2）如图②，在四边形中，，E，F分别是边上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； （3）在四边形中，，E、F分别是边延长线上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系：________． 35．在中，，点是边上一点，过作垂直，垂足为点． (1)如图1，点是的中点，，如果，求的长； (2)已知， ①如图2，连接，求证：平分； ②如图3，延长至点，连接交线段于点，当，且点是中点时，求的值． 36．【材料阅读】小明在学习完全等三角形后，为了进一步探究，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板（在中，，；中，，），并提出了相应的问题 (1)【发现】如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点B摆放在线段上时，过点A作，垂足为点M，过点C作，垂足为点N，易证，若，，则______； (2)【类比】如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点B在线段上且顶点A在线段上时，过点C作，垂足为点P，猜想，，的数量关系，并说明理由； (3)【拓展】如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段上且顶点B在线段上时，若，，连接，则的面积为______． 37．如图，在中，是边上的高，是边上的高，相交于点，且．    (1)求证：． (2)动点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，两点同时出发，当点到达点时，两点同时停止运动．设点的运动时间为秒 ①点是线段上的一点（不与点重合），当时，__________（用含的代数式表示）；设，则__________（用含的代数式表示） ②点是直线上的一点且．是否存在值，使以点为顶点的三角形与以点为顶点的三角形全等？若存在，请求出符合条件的值；若不存在，请说明理由． 38．已知．． (1)如图1，平分，求证：四边形对角线垂直平分； (2)如图2．将（1）中的绕点逆时针旋转（旋转角小于），，的延长线相交于点，用等式表示与之间的数量关系，并证明； (3)如图3，将（1）中的绕点顺时针旋转（旋转角小于），若．求的度数． 39．在△ABC和△DEC中，AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠ECD＝90°． (1)如图1，当点A、C、D在同一条直线上时，求证：AF⊥BD； (2)如图2，当点A、C、D不在同一条直线上时．（1）中的结论是否仍然成立，请说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，连接CF并延长CF交AD于点G，∠AFG是一个固定的值吗？若是，直接写出∠AFG的度数，若不是，请说明理由． 40．已知：在四边形中，于E，且． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，平分交于F，点G在上，连接，且．求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，，过点F作，且，若，求线段的长． 学科网（北京）股份有限公司 $$