第1章 有理数【章末复习】-课件-2026-2027学年湘教版数学七年级上册

该初中数学单元复习课件系统梳理了有理数的核心知识，涵盖相反意义的量、数轴、相反数、绝对值及有理数的加减乘除乘方运算，通过知识结构框架图将概念、运算、应用串联，构建从基础概念到混合运算的逻辑体系。 其亮点在于融合易错点诊断与分层例题设计，如“电子蚂蚁在数轴上运动”问题培养几何直观，“完美指标”新定义题发展创新意识，结合核心公式模板提升运算能力，助力学生巩固知识，教师精准把握学情。

湘教版数学七年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 7年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月8日 章末复习 第1章 有理数 湘教版七年级数学 第1章 有理数 全章复习资料 前言：本章是初中数学开篇基础章节，数的范围从小学正数扩充到有理数，首次引入负数、数轴、相反数、绝对值、有理数运算。是初中所有计算的基础，贯穿整个初中代数、几何计算，核心考察概念辨析、有理数混合运算、数形结合思想，是期末考试必考基础重点章节。 1.1 具有相反意义的量 核心知识点 1. 相反意义的量：生活中意义相反、数值对应平衡的两种量，如上升与下降、收入与支出、盈利与亏损、向东与向西。 2. 正数与负数定义：大于0的数叫做正数；在正数前面加上负号“-”的数叫做负数，负数小于0。 3. 0的特殊性：0既不是正数，也不是负数，0是正负数的分界点，是最小的自然数。 4. 有理数分类：整数和分数统称为有理数。整数包括正整数、0、负整数；分数包括正分数、负分数。有限小数和无限循环小数都可以化为分数，属于有理数。 1.2 数轴、相反数与绝对值 核心知识点 1. 数轴三要素：原点、正方向、单位长度，三者缺一不可。所有有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数。 2. 数轴性质：右边的数总比左边的数大；正数在原点右侧，负数在原点左侧，0在原点。 3. 相反数：只有符号不同的两个数互为相反数。0的相反数是0。若a、b互为相反数，则\(a+b=0\)。互为相反数的两个数在数轴上关于原点对称。 4. 绝对值：数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作\(|a|\)。 5. 绝对值性质（必考）：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。即\(|a|\ge0\)，绝对值具有非负性。 6. 有理数大小比较：正数＞0＞负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小。 1.3 有理数的加减法 核心知识点 1. 有理数加法法则：同号两数相加，取相同符号，绝对值相加；异号两数相加，取绝对值较大数的符号，用大绝对值减小绝对值；互为相反数的两数和为0；一个数加0仍得原数。 2. 加法运算律：加法交换律\(a+b=b+a\)；加法结合律\((a+b)+c=a+(b+c)\)，可用于凑整、简化运算。 3. 有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数，即\(a-b=a+(-b)\)。所有减法均可统一转化为加法运算。 1.4 有理数的乘除法 核心知识点 1. 有理数乘法法则：同号得正，异号得负，绝对值相乘；任何数乘0都得0。 2. 倒数定义：乘积为1的两个数互为倒数。0没有倒数，1和-1的倒数是本身。 3. 多个有理数相乘：负因数个数为偶数时，积为正；负因数个数为奇数时，积为负；只要有一个因数为0，积为0。 4. 乘法运算律：交换律、结合律、分配律，可简化复杂乘法计算。 5. 有理数除法法则：除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数；同号得正，异号得负，绝对值相除。 1.5 有理数的乘方 核心知识点 1. 乘方定义：求n个相同因数的积的运算，结果叫做幂。\(a^n\)中，a是底数，n是指数，读作a的n次方。 2. 乘方符号规律：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂为负，偶次幂为正；0的任何正整数次幂都是0；1的任何次幂为1，-1的奇次幂为-1、偶次幂为1。 3. 易错区分：\(-a^n\)与\((-a)^n\)意义不同，底数不同，结果不一定相等。 1.6 有理数的混合运算 核心知识点 1. 运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；同级运算从左到右依次计算；有括号先算括号内（小括号→中括号→大括号）。 2. 简便运算技巧：凑整、结合相反数、拆分分数、活用运算律，减少计算失误。 1.7 近似数与有效数字 核心知识点 1. 准确数与近似数：真实数值为准确数，通过测量、估算得到的数为近似数。 2. 精确度：常见保留方式为保留整数、保留一位小数、精确到十分位、百分位等。 3. 科学记数法：把大数写成\(a×10^n\)（\(1\le|a|＜10\)，n为整数）的形式，用于简化大数书写。 全章易错点汇总 1. 0的概念误区：0不是正数也不是负数，0有相反数、有绝对值，无倒数。 2. 绝对值易错：绝对值等于一个正数的数有两个，互为相反数，容易漏解。 3. 乘方底数混淆：区分\(-2^2=-4\)和\((-2)^2=4\)，是高频计算错题。 4. 符号判断错误：多个负因数乘除、负数乘方时，符号判断失误。 5. 运算顺序混乱：忽略先乘方、后乘除、最后加减的顺序，盲目从左计算。 6. 科学记数法出错：a的取值范围不符合\(1\le a＜10\)，指数n数错位数。 全章核心公式与解题模板 1. 相反数关系：a、b互为相反数 \(\Leftrightarrow a+b=0\) 2. 倒数关系：a、b互为倒数 \(\Leftrightarrow ab=1(a≠0,b≠0)\) 3. 绝对值公式：\(|a|=\begin{cases}a & (a＞0) \\ 0 & (a=0) \\ -a & (a＜0)\end{cases}\) 4. 减法转加法：\(a-b=a+(-b)\) 5. 除法转乘法：\(a÷b=a×\frac{1}{b}(b≠0)\) 6. 混合运算模板：看符号→定顺序→用定律→细计算 知识结构 负数的引入， 有理数的分类 相关概念 乘方的意义 数轴 有理数 有理数的大小比较 加、减运算 有理数的运算 相反数 绝对值 乘、除运算 乘方运算 混合运算 科学记数法 思考回顾 1.为什么要引入负数？有理数可以如何分类？ 为了表示某一问题中具有相反意义的两种量. 有理数 整数 分数 正整数 负整数 0 正分数 负分数 有理数 正有理数 负有理数 正整数 负整数 0 正分数 负分数 2.怎样画一条数轴？怎样用数轴上的点来表示一个有理数？ ①画：即画一条水平直线； ②取：即在直线的适当位置取一点作为原点，并在这点处标上 O； ③定：即确定向右的方向为正方向，用箭头表示出来； ④标：即选取适当的长度作为单位长度. 数轴的画法: 在数轴上，原点右边的数是_____，原点左边的数是_____，原点表示的数是_____. O 0 1 2 3 -1 -2 -3 正数 负数 0 3.如何求一个数的相反数？如何求一个数的绝对值？ 任意一个数前面添上“－”号，新的数就表示原数的相反数. |a|= a，a为非负数， －a，a为负数. 4.怎样比较有理数的大小？ 正数大于负数，0大于负数 两个负数，绝对值大的反而____ 在以向右为正方向的数轴上，右边的点表示的数比左边的点表示的数大. 小 ① 利用正负性比较大小 ② 利用绝对值比较大小 ③ 利用数轴比较大小 5.怎样进行有理数的加、减、乘、除、乘方运算及混合运算? 加法法则： 两个负数相加，结果是____，并且把它们的绝对值_____. 异号两数相加，当它们的绝对值不相等时，取绝对值____的加数的符号，并且用较大的绝对值_____较小的绝对值. 互为相反数的两个数相加得__；一个数与0相加，仍得______. 减法法则： 减去一个数，等于____这个数的相反数. 负数 相加 较大 减去 0 这个数 加上 乘法法则： 异号两数相乘得____，并且把绝对值____.同号两数相乘得_____，并且把绝对值_____.任何数与0相乘，仍得____ . 除法法则： 同号两数相除得____，异号两数相除得____，并把它们的绝对值相除； 0 除以任何一个不等于0的数都得____ . 除以一个不为0的数，等于乘这个数的_____ . 负数 相乘 正数 相乘 0 正数 负数 0 倒数 求 n 个相同因数的乘积的运算，叫做乘方. 在 an 中， a 叫做底数，n 叫做指数. an 幂 底数 指数 含有有理数的加、减、乘、除、乘方多种运算，称为有理数的混合运算. 有理数的混合运算顺序是:先算乘方,再算乘除,最后算加减;如果有括号,就先进行括号里面的运算(先小括号,再中括号，最后大括号). 6.有理数的运算满足哪些运算律? 加法交换律：a+b =b+a 加法结合律：a+b+c =(a+b)+c=a+(b + c) 乘法交换律：a × b = b × a 乘法结合律：(a × b)× c = a ×( b × c ) 乘法对加法的分配律：a ×(b + c) = a × b + a× c 有理数加法： 有理数乘法： 1.0既不是正数也不是负数.如绝对值等于本身的数有正数和0,绝对值等于相反数的数有负数和0. 2.数轴是一条直线,由原点、正方向、单位长度三要素确定,三者缺一不可. 3.把一个大于10(小于-10)的数用科学记数法表示成a×10n的形式时，一定要注意a的取值范围,其中n为正整数. 4. 有理数的减法可以转化为加法，除法可以转化为乘法,乘方实质是求几个相同因数的乘积. 注意事项 考点1 正、负数 1. [长沙雨花区模拟] 在,,,,0,, , 中，负数有( ) B A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 中考考法 14 2. 下列说法正确的是( ) D A. “向东”与“向西 ”不是相反意义的量 B. 若气球上升记作，则 的意义就是下降 C. 若气温下降记作，则 的意义就是气温下降 D. 若将高设为标准，高记作 ，则 所表示的高是 中考考法 15 考点2 有理数的概念与分类 3. 下列说法中，不正确的有______________.（填序号） ①是有理数；②是分数；③ 是有理数； ④整数可以分为素数和合数；⑤分数可以分为真分数和假分 数；⑥有理数可以分为自然数、负数和分数；⑦ 是正数； ⑧一个数可以同时是正数和负数；⑨分数一定可以写成有限 小数或循环小数；⑩任何一个数都是有理数. ②④⑥⑦⑧⑩ 中考考法 16 【点拨】①是有理数，正确；② 不是有理数，所以不是分 数，错误；③是有理数，正确；④ 不是素 数也不是合数，错误；⑤分数可以分为真分数和假分数，正 确；⑥负数和分数都包含负分数，错误；⑦ 不是正数，错 误；⑧一个数不可以同时既是正数又是负数，错误；⑨分数 一定可以写成有限小数或循环小数，正确；⑩ 不是有理数， 错误. 中考考法 17 4. 把下列各数填在相应的集合内： ，，0，， ，，， , （相邻两个1之间依次多1个0）， . （1）负整数集合：{________________…}； （2）正有理数集合：{_______________________________ …}； 中考考法 18 （3）负有理数集合：{_ _____________________…}； （4）非负数集合：{__________________________________ ____________________________________________________ _____________________________ …}. （相邻两个 1之间依次多1个0），， 中考考法 19 考点3 数轴 5. 如图，四个有理数在数轴上的对应点分别为，，， . 若点， 表示的有理数互为相反数，则图中表示绝对值最小 的数的点是( ) B A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 中考考法 20 6. 如图，，分别为数轴上的两个点，点 表示的数为 ，点 表示的数为90. 中考考法 21 （1）请直接写出到，两点距离相等的点 对应的数. 【解】点 对应的数为40. 【点拨】点在原点左侧，距离原点10个单位长度，点 在原 点右侧，距离原点90个单位长度，故， 两点之间的距离为 （个）单位长度， （个）单位长 度.由题图可知，到，两点距离都等于50个单位长度的点 对应的数为40. 中考考法 22 （2）一只电子蚂蚁从点 出发，以3个单位长度/秒的速度 向左运动，同时另一只电子蚂蚁从点 出发，以2个单位长 度/秒的速度向右运动，经过多长时间这两只电子蚂蚁在数轴 上相距35个单位长度？ 中考考法 23 相遇前，两只电子蚂蚁在数轴上相距35个单位长度时， （秒）；相遇后，两只电子蚂蚁在 数轴上相距35个单位长度时，秒 . 综上，经过13秒或27秒这两只电子蚂蚁在数轴上相距35个单位 长度. 中考考法 24 考点4 相反数、绝对值、倒数 7. 2026澳门乒乓球世界杯于3月30日至 4月5日在中国澳门银河综艺馆举行，比赛用的乒乓球质量有 严格的规定，但实际生产的乒乓球的质量可能会有一些偏差. 从一批乒乓球中挑选4个进行称重检测，超过标准质量的记 为正数，低于标准质量的记为负数.那么，最接近标准质量的 是( ) B A. B. C. D. 中考考法 25 8. [华师一附中自主招生] 已知 ，则 的最小 值为___. -3 中考考法 26 【点拨】因为 ,所以根 据绝对值的几何意义可知 表示数轴上一 点到与2的距离之和,所以 ,同理 .又因为 ,所以 ,,所以 , ,所以当,时, 有最小值,且最小 值为 . 中考考法 27 9. 已知，互为相反数，，互为倒数， 是绝对值最 小的负整数，数轴上数 表示的点到原点的距离为2.5个单位 长度，求 的值. 中考考法 28 【解】因为,互为相反数，所以 . 因为,互为倒数，所以 . 因为是绝对值最小的负整数，所以 . 因为数轴上数 表示的点到原点的距离为2.5个单位长度，所 以或 . 中考考法 29 当 时， ; 当 时， . 综上，的值为 或0.5. 中考考法 30 考点5 有理数的大小比较 10. 立冬是冬季的第一个节气，通常标志 着气温逐渐下降，进入冬季.如图记录了某地连续5天的日最 低气温，则这5天中日最低气温最低的一天是星期____. 二 中考考法 31 11. [天津期中] 有四张卡片，卡片正面分别写有四个数，背 面分别写有四个字母，如下表： 正面 背面 中考考法 32 （1）在数轴（如图）上表示出卡片正面的数； 【解】 ，卡片正面的 数在数轴上的表示如图. 中考考法 33 （2）将卡片正面的数由小到大排列，然后按顺序写出卡片 背面的字母组成的单词. , 故单词为 . 中考考法 34 考点6 科学记数法 12. 2026年1月7日《2026年中国“人工智能+” 应用趋势报告（精华版）》显示:超过1 500万知识工作者将 使用工具辅助创作与编程，个人生产力提升 以上， 文创应用成为常态.其中数字1 500万用科学记数法表示 为( ) D A. B. C. D. 中考考法 35 考点7 有理数的运算 13. 如图，数轴上有①②③④四部分，数轴 上的三个点分别表示数，，，且， ，则原 点落在( ) C A. 段① B. 段② C. 段③ D. 段④ 中考考法 36 14. 已知有理数，，满足，则 的 值为( ) D A. 3 B. C. 1 D. 或3 中考考法 37 【点拨】因为，所以，所以，， 都是正 数或，，中有一正两负.当，， 都是正数时， ;当，， 中有一正两负时，设 ，，，则 .所 以的值为3或 . 中考考法 38 15. 计算： ___. 中考考法 39 【点拨】原式 . 中考考法 40 16. 将一个自然数的所有正奇数因数之和 减去所有正偶数因数之和，再除以这个自然数所得的商叫作 这个自然数的“完美指标”.若一个自然数的“完美指标”的绝对 值越小，这个数就越“完美”,则18,19,20,21这四个自然数中最 “完美”的数是____. 18 中考考法 41 【点拨】18的正因数有1,2,3,6,9,18,正奇数因数有1,3,9,正偶数 因数有2,6,18,则18的“完美指标”是 .19的正因数有1,19, 正奇数因数有1,19,无正偶数因数，则19的“完美指标”是 .20的正因数有1,2,4,5,10,20,正奇数因数有 1,5,正偶数因数有2,4,10,20,则20的“完美指标”是 中考考法 42 .21的正因数有 1,3,7,21,正奇数因数有1,3,7,21,无正偶数因数，则21的“完美指 标”是 .因为 ,所以18是这四个自然数中最“完美” 的数. 中考考法 17. 计算： （1） ； 【解】原式 . 中考考法 44 （2） ； 原式 . 中考考法 45 （3） ； 中考考法 46 原式 . 中考考法 47 （4） . 原式 . 中考考法 48 18. [长沙雨花区期中] 小明家购置了一辆续航（能行驶的最 大路程）为 的新能源纯电汽车，他将汽车充满电后连 续7天每天行车电脑上显示的行驶路程记录如下表 （单位：,以 为标准，超过部分记为“+”,不足部分记 为“-”）.已知该汽车第三天行驶了,第六天行驶了 . 中考考法 49 （1）“ ”处的数为____,“ ”处的数为____; 【点拨】因为第三天行驶了,第六天行驶了 , 所以第三天记录的数为 ,第六天记录的数为 , 所以“ ”处的数为,“ ”处的数为 . 中考考法 50 （2）已知小明家这款汽车在行驶结束时，若剩余电量不足 续航的 ,行车电脑就会发出充电提示.请通过计算说明该 汽车第七天行驶结束时，行车电脑会不会发出充电提示. 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 中考考法 51 【解】由题意得 , , .因为 ,所以行车电脑不会发出充电提示. 中考考法 52 思想1 数形结合思想 19. 在数轴上，有理数 ， 其中所有正确结论的序号是______. ①④ 的位置如图，将与 的对应点间的距离六等分，这五个等 分点所对应的数依次为，，，，，且 ， 下列结论：①；② ；③ ；④ . 中考考法 53 【点拨】因为 ， ，所以 ， 且距离原点比较远， ，且距离原点比较近，所以中点所 表示的数在原点的左侧，所以 ，所以①正确；由数 轴所表示的数可知， 可能大于0，也可能小于0，所 以的符号不确定，所以②不正确；因为 可能大于0， 也可能小于0，所以与 不一定相等，所以③ 不正确；因为在原点的左侧，而 在原点右侧，所以表示 数的点到表示数的点的距离为，所以到 的距 离为，即 ，所以④正确. 中考考法 54 思想2 分类讨论思想 20. [金华模拟] 我们知道，可以理解为 ，它表 示：数轴上表示数 的点到原点的距离，这是绝对值的几何 意义.进一步地，数轴上的两个点，，分别用数， 表示， 那么，两点之间的距离为 ，反过来，式子 的几何意义是：数轴上表示数的点和表示数 的点之 间的距离.利用此结论，回答以下问题： 中考考法 55 （1）数轴上表示数 的点和表示数2的点之间的距离是___. 4 （2）数轴上点用数 表示， ①若，那么 的值是_______________. ② 的最小值是_______. 或 2 031 【点拨】表示数轴上表示 的点与表示 ,3的点的距离之和，所以当 时， 有最小值，最小值是2031. 中考考法 56 ③ 的最小值是________. 【点拨】当 时， ；当 时， ， 易得当时，取最小值，最小值为 ； 当 时， ，综上 所述，的最小值为 . 中考考法 57 ④当为何值时， 有 最小值，最小值为多少？ 【解】 中考考法 58 当时， 有 最小值， 中考考法 59 当时， 有最小值， 所以当 时，原式有最小值， 最小值为 . 综上，为时， 有最小值,最小值为 . 中考考法 60 $