第3章 一次方程（组）【章末复习】-课件-2026-2027学年湘教版数学七年级上册

该初中数学课件系统梳理了一次方程（组）的核心知识，从一元一次方程的概念、解法到二元（三元）一次方程组的定义、消元策略，再到实际应用的等量关系分析，通过知识框架图串联各节逻辑，构建“概念-解法-应用”的完整知识网络。 其亮点在于创新复习策略，结合新题型（如表格信息法、新定义行列式）和跨学科题（物理热传递），培养学生的抽象能力和模型意识，通过分类讨论（阶梯电价）、数形结合（数轴动点）等分层练习，提升运算与推理能力，助力学生巩固知识，教师精准教学。

湘教版数学七年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 7年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月8日 章末复习 第3章 一次方程（组） 湘教版七年级数学 第3章 一次方程（组）全章复习资料 前言：本章是初中代数核心计算章节，承接小学简易方程，系统学习一元一次方程、二元一次方程组的解法与实际应用。方程思想是初中数学核心思想，本章重点考察方程定义辨析、解方程计算、实际问题列式求解，是后续函数、不等式学习的基础。 3.1 一元一次方程 核心知识点 1. 方程定义：含有未知数的等式叫做方程。方程必须同时满足两个条件：是等式、含有未知数。 2. 一元一次方程定义：只含有一个未知数，未知数的次数都是1，等号两边都是整式的方程。标准形式：\(ax+b=0(a≠0)\)。 3. 方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。 4. 等式的基本性质：性质1，等式两边同时加（或减）同一个数（或整式），等式仍然成立；性质2，等式两边同时乘（或除以）同一个不为0的数，等式仍然成立。 3.2 一元一次方程的解法 核心知识点 1. 解方程核心思想：利用等式性质，逐步化简方程，最终化为\(x=c\)的最简形式。 2. 标准解题五步：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1。 3. 关键注意点：去分母时每一项都要乘最小公倍数，不含分母的项不能漏乘；移项必须变号；系数为负数或分数时，系数化为1注意符号和倒数运算。 3.3—3.6 一元一次方程的实际应用 核心知识点 1. 解题通用步骤：审（找等量关系）→设（设未知数）→列（列方程）→解（解方程）→验（检验实际意义）→答（规范作答）。 2. 常见题型：和差倍分问题、行程问题、工程问题、利润折扣问题、计费问题、调配问题。所有题型核心都是找准题目中不变的等量关系。 3.7 二元一次方程组及实际应用 3.7.1 含 \(x+y=\) 形式的实际问题 1. 二元一次方程组定义：含有两个未知数，含未知数的项次数为1，由两个整式方程组成的方程组。 2. 题型特征：题干存在两个量的总和关系，可直接列\(x+y=\text{定值}\)，搭配差值、倍数关系组成方程组。 3. 解法优选：代入消元法，将\(y=a-x\)代入第二个方程，快速消元求解，计算简单、不易出错。 3.7.2 系数不都为1的实际问题 1. 题型特征：方程中未知数系数不都为1，多为单价数量、组合总量、组合总价问题，无直接简单和差关系。 2. 解法优选：加减消元法，观察系数，找最小公倍数统一未知数系数，消去一个未知数转化为一元一次方程求解。 3. 核心思路：先找两组独立等量关系，列出带系数的方程组，再通过化简、消元逐步求解。 3.8 三元一次方程组 核心知识点 1. 定义：含有三个未知数，各项次数均为1，共三个方程组成的方程组。 2. 核心思想：消元降次，三元→二元→一元，承接二元一次方程组消元思路。 3. 解题技巧：优先消去系数最简单、有0或±1系数的未知数，最大程度简化计算。 全章易错点汇总 1. 去分母漏乘：去分母时常数项容易漏乘最小公倍数，是解方程高频错误。 2. 移项不变号：移项必须变号，同侧移动不用变号，混淆规则易出错。 3. 系数判断错误：一元一次方程要求未知数系数不为0，需注意隐含条件。 4. 应用题漏检验：方程解出的数值需符合实际意义，人数、数量不能为负数、小数。 5. 消元混乱：二元、三元方程组消元时，方程变形不规范，导致整体计算错误。 全章核心公式与解题模板 1. 一元一次方程标准形式：\(ax+b=0(a≠0)\) 2. 代入消元法：适用于有未知数系数为1或-1的二元方程组 3. 加减消元法：适用于未知数系数不都为1的二元方程组 4. 消元核心逻辑：三元\(\xrightarrow{\text{消元}}\)二元\(\xrightarrow{\text{消元}}\)一元 5. 应用题万能模板：找等量关系→设未知数列方程→求解→检验合理性 一、方程的有关概念 1. 方程：含有未知数的表示等量关系的等式叫作方程． 2. 一元一次方程的概念：只含有____个未知数(元)，未知数的次数都是____，这样的方程叫作一元一次方程． 3. 方程的解：使方程左右两边的值相等，这个数 c 就是这个方程的一个解. 习惯上记作 x = c. 4. 解方程：根据等式的性质求方程的解的过程． 一 1 1. 等式的性质1：等式两边都加上 或减去同一个数 (或整式)，等式两边仍然相等． 如果 a＝b，那么 a± ＝b±c. 2. 等式的性质2：等式两边都乘同一个数， 或除以 同一个不为 0 的数，所得结果仍是等式． 如果 a＝b，那么 ac＝ ___ ， ＝ (c ≠ 0). 二、等式的性质 c 3. 如果 a = b，那么 b = a.（对称性） 4. 如果 a = b，b = c，那么 a = c.（传递性） bc ___ 解一元一次方程的一般步骤： (1) 去分母：方程两边都乘各分母的最小公倍数，别漏乘. (2) 去括号：注意括号前的系数与符号． (3) 移项：把含有未知数的项移到方程的左边， 常数项移到方程右边，移项注意要改变符号． (4) 合并同类项：把方程化成 ax＝b(a ≠ 0)的形式． (5) 除以未知数的系数：方程两边同除以 x 的系数， 得 x＝m 的形式. 三、一元一次方程的解法 1. 二元一次方程的概念：含有______未知数，并且含未知数的项的次数都是_____的方程，叫作二元一次方程. 2. 二元一次方程组的概念：只含有______未知数，并且含未知数的项的次数都是_____的方程组. 3. 二元一次方程组的解：使二元一次方程组中每个方程左右两边的值相等，叫作这个方程组的一个解. 四、二（三）元一次方程组的有关概念 两个 1 1 两个 4. 三元一次方程组的概念：含有 未知数，并且含未知数的项的次数都是 的方程组叫作三元一次方程组. 1 三个 1. 列方程 (组) 的应用题的一般步骤： 审：审清题意，分清题中的已知量、未知量． 设：设未知数. 列：根据题意寻找等量关系列方程． 解：解方程（组）． 验：检验方程的解是否符合题意． 答：写出答案 (包括单位)． [注意] 审题是基础，找等量关系是关键. 七、用一次方程与方程组解决实际问题 2. 常见的几种方程类型及等量关系： (1) 行程问题中基本量之间的关系： ① 路程＝速度×时间； ②相遇问题：全路程＝甲走的路程＋乙走的路程； ③追及问题：甲为快者， 被追路程＝甲走路程－乙走路程； ④流水问题：v顺＝v静＋v水，v逆＝v静－v水． （2）等积变形问题中基本量之间的关系： ① 原料面积 = 成品面积； ② 原料体积 = 成品体积. （3）储蓄问题中基本量之间的关系： ① 本金×利率×年数 = 利息； ② 本金 + 利息 = 本息和. （4）销售问题中基本量之间的关系： ① 实际售价 - 进价(成本) = 利润； ② 利润÷进价×100% = 利润率； ③ 进价×(1 + 利润率) = 售价； 标价×折扣数÷10 = 进价. （5）和、差、倍、分问题中基本量之间的关系： ① 增长率 = 原有量×增长率； 现有量 = 原有量 + 增长量. ② 降低量 = 原有量×降低率； 现有量 = 原有量 - 降低量. （6）百分率问题中基本量之间的关系： ① 浓度问题：浓度=溶质质量÷溶液质量； ② 增长率问题：原量×(1+增长率) = 增长后的量； 原量×(1 - 减少率) = 减少后的量. 考点1 方程及方程的解 1. 下列各式：，为已知数 ， ，，， 中，方程有 ( ) C A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 中考考法 13 2. 已知，为常数，整式的值随 的取值不同而不同，下表是当取不同值时整式 对应 的值.则关于的方程的解是 ___. 0 1 2 0 1 中考考法 14 考点2 一元一次方程 3. 有下列方程： ①；②；③；④ ； ⑤ . 其中是一元一次方程的有( ) A A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 1个 中考考法 15 4. 已知关于的方程的解是,其中 ,且 ,则 _______. 2 028 中考考法 16 考点3 等式的性质 5. 下列利用等式的基本性质变形，错误的是( ) D A. 如果，那么 B. 如果，那么 C. 如果，那么 D. 如果，那么 中考考法 17 考点4 一元一次方程的解法 6. 若,是有理数，关于 的方程 至少有两个不同的解，则另一个 关于的方程 的解的情况是( ) D A. 无法确定解的个数 B. 有无限多个解 C. 只有一个解 D. 无解 中考考法 18 【点拨】由方程 ,可得 .因为方程至少有两个不同的解， 所以,即.把 , 代入，得 ,方程 无解.所以方程 无解. 中考考法 19 7. 解下列方程: （1） ； 【解】去分母，得 去括号，得 . 移项、合并同类项，得 . 系数化为1，得 . 中考考法 20 （2） . 原方程可变为 . 去分母，得 . 去括号，得 . 移项、合并同类项，得 . 系数化为1，得 . 中考考法 21 考点5 一元一次方程的应用 8. 如图，在某年11月份的月历表上， 用一个正方形可以圈出9个数（如3，4， 5，10，11，12，17，18，19），若圈 出的9个数中，最大数与最小数的和为 42，则这9个数的和为( ) D A. 69 B. 207 C. 84 D. 189 中考考法 22 【点拨】设中间的数为 ，则另外8个数分 别为，，， ， ，，， ，根据题意得 ，解得，所以 . 中考考法 23 9. [资阳中考] 《九章算术》是我国古代数学名著，书中有这 样一个题目：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税 一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税， 适重一斤.问本持金几何.”大意是：今有人持金出五关，第1关收 税金为所持金的，第2关收税金为此时所持金的 ，第3关收税金 为此时所持金的，第4关收税金为此时所持金的 ，第5关收税金 为此时所持金的 .五关税金之和恰好重1斤，则原本持金 ( ) A A. 斤 B. 斤 C. 斤 D. 斤 中考考法 24 【点拨】设原本持金斤，第1关收税，剩余 ， 第2关收税，剩余 ，第3关收税 剩余，第4关收税 ， 剩余，第5关收税 则五关税金之 和为，解得 ，故原本持 金为 斤. 中考考法 25 10. 如图，某校的饮水机 有温水、开水两个按钮，温水和开水共 用一个出水口.温水的温度为 ，流 速为；开水的温度为 ， 流速为 .某学生先接了一会儿温水，又接了一会儿开 水，得到一杯温度为 的水（不计热损失），求 该学生分别接温水和开水的时间. 中考考法 26 物理常识：开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的 热量等于温水吸收的热量，可以转化为开水的体积×开水降 低的温度=温水的体积×温水升高的温度. 中考考法 27 【解】设该学生接温水的时间为 , 根据题意可得 . 答：该学生接温水的时间为,接开水的时间为 . ,解得 ,所以 所以 中考考法 28 考点6 二元一次方程（组）的相关概念 11. 已知 是二元一次方程，则 ___. 0 中考考法 29 12. 若关于,的二元一次方程组 的解为则多项式 可以是____________________ （写出一个即可）. （答案不唯一） 中考考法 30 考点7 二元一次方程组的解法 13. 对于任意有理数,,, ，我们规定 ，已知，同时满足 ， ，则 ____. 中考考法 31 【点拨】因为， ， 所以 由①②，得 ，解得 ，将代入①，得，解得 .所以 . 中考考法 32 14. 解方程组： 中考考法 33 【解】原方程组整理得 得 ，③ 得，解得 . 把代入,②得，解得 ， 所以原方程组的解为 中考考法 考点8 二元一次方程组的实际应用 15. 近日被市民们称为“背篓专线”的 重庆轻轨四号线受到人们的关注.某天张大爷乘坐“背篓专线” 将自己种植的新鲜水果樱桃和枇杷带去市区售卖，已知2斤樱 桃和3斤枇杷共可卖 95元，3斤樱桃和2斤枇杷共可卖105元. 中考考法 35 （1）请问张大爷售卖的樱桃和枇杷每斤的售价各为多少元? 【解】设张大爷售卖的樱桃每斤元，枇杷每斤 元， 由题意可得解得 答：张大爷售卖的樱桃每斤25元，枇杷每斤15元. 中考考法 36 （2）张大爷这天一共带了20斤樱桃和30斤枇杷，经过一天 的售卖，卖出了樱桃总量的,枇杷总量的 ,由于天气炎热， 在剩下的樱桃中出现了 的损坏不能售卖.张大爷决定对剩 下的樱桃打八折销售，剩下的枇杷直接每斤降价 元，很快 便将所有水果售空，张大爷这天卖水果一共收入了889元， 求 的值. 中考考法 37 由题意可得 , 解得.所以 的值为5. 中考考法 38 思想1 转化思想 16. 已知，，， ，中每个数只能取 ，0， 2中的一个，且满足 则 _____. 627 【点拨】设有个数取, 个数取2, 则解得 所以 . 中考考法 39 思想2 分类讨论思想 17. 为鼓励居民节约用电，某市试行每月阶梯电价收费 制度，具体执行方案如下： 档次 每户每月用电量（度） 执行电价（元/度） 第一档 小于或等于200 0.5 第二档 大于200且小于或等于450 时，超出200的部分 0.7 第三档 大于450时，超出450的部分 1 中考考法 40 （1）一户居民七月份用电300度，则需缴电费_____元. 170 （2）某户居民五、六月份共用电500度，缴电费290元.已知 该户居民六月份用电量大于五月份，且五、六月份的用电量 均小于450度，求该户居民五、六月份分别用电多少度？ 中考考法 41 【解】设该户居民五月份用电为 度，则六月份用电为 度, 当 时，根据题意得 ,解得 ,此时 , 所以该户居民五月份用电100度，六月份用电400度； 当 时, 中考考法 42 根据题意得 ,此时方程无解，舍去. 综上，该户居民五月份用电为100度，六月份用电为400度. 中考考法 思想3 数形结合思想 18. 如图，在 数轴上点表示的数为，点 表 示的数为40，动点从点 出发以每秒5个单位长度的速度沿 正方向运动，动点 从原点出发以每秒4个单位长度的速度沿 正方向运动，动点从点 出发以每秒8个单位长度的速度先 沿负方向运动，到达原点后立即按原速返回，三点同时出发， 当点回到点 时，三点停止运动. 中考考法 44 （1）当运动时间为3秒时， ____. 21 中考考法 45 （2）当 时，三个点的运动时间为_ ______________. 秒或秒或7秒 中考考法 46 【点拨】设三个点的运动时间为 秒.由题易知点到点 的时间为10 秒，点到点的时间为5秒，点返回点的时间为10秒.点 所 表示的数为，当点到点前时，点所表示的数为 . 中考考法 47 ①点， 相遇前，则 ，解得 ； ②点，相遇后，点到前，则 ，解 得 ； 当点，相遇后，点到点后时，点 所表示的数为 ， 则，解得 . 中考考法 48 综上所述，当时，三个点的运动时间为秒或 秒或 7秒. 中考考法 49 （3）尝试借助上面数学问题的解题经验，建立数轴完成下 面的实际问题： 码头位于，两码头之间，且知海里， 海 里，甲船从码头顺流驶向码头，乙船从码头顺流驶向 码头，丙船从码头开往码头，到达 码头后立即调头返回 码头.已知甲船在静水中的航速为5海里/时，乙船在静水中 的航速为4海里/时，丙船在静水中的航速为8海里/时，水流 中考考法 50 速度为2海里/时，三艘船同时出发，每艘船都行驶到 码头 停止.在整个运动过程中，是否存在某一时刻，这三艘船中的 一艘恰好在另外两船之间，且与两船的距离相等？若存在， 请求出此时甲船离 码头的距离；若不存在，请说明理由.#1.4.1 中考考法 【解】存在.建立如图所示的数轴， 码头所表示的数为 ，码头所表示的数为0， 码头所表示的数为40. 易得甲船到码头的时间为时，甲船到码头的时间为 时， 乙船到码头的时间为时，丙船到码头的时间为 时，丙 中考考法 52 船到码头的时间为时，甲船与丙船相遇的时间为 时，乙 船与丙船相遇的时间为 时.假设存在某一时刻,这三艘船中的 一艘恰好在另外两艘之间,且与两船的距离相等.设三艘船的 运动时间为时，丙船到 码头前，甲船所表示的数为 ；乙船所表示的数为 ；丙船所表示的数为 . 中考考法 ①乙船与丙船相遇前： ， 解得，所以甲船离 码头的距离为 （海里）； 中考考法 54 ②乙船与丙船相遇后，甲船与丙船 所以甲船离 码头的距离为 （海里）； 相遇前：，解得 ， 中考考法 55 ③甲船与丙船相遇后，丙船到 码 解得，所以甲船离 码头的距离为 （海里）； 头前： ， 中考考法 56 ④甲船与丙船相遇后，丙船到 码 头后：甲船所表示的数为 ；乙船所表示的数为40，丙船所表示的数为 . ，解得 （舍去）. 中考考法 57 综上所述，在整个运动过程中，分 别在时、4时、 时时，这三艘船 中的一艘恰好在另外两船之间，且与两船的距离相等，此时 甲船离码头的距离分别为 海里、32海里、20海里. 中考考法 58 $