第3章 一次方程(组)（复习课件）数学湘教版七年级上册

该初中数学单元复习课件系统梳理了一次方程（组）的核心知识，涵盖一元一次方程、二元一次方程及方程组的概念、解法与应用，拓展三元一次方程组，通过知识图谱构建“概念-解法-应用”逻辑网络，结合15个考点串讲明确知识内在联系。 其亮点在于采用“题型剖析-针对训练-课堂总结”分层复习策略，如通过错解复原问题培养推理意识，结合工程、销售等实际应用题型强化模型意识，变式训练设计（如题型八购物方案问题）兼顾不同水平学生，助力知识巩固，便于教师精准把握复习重点。

单元复习课件 第三章 一次方程（组） 湘教版·七年级上册 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1.深入理解方程的核心概念（等式、一元一次方程、二元一次方程/组），明确方程解的意义，能从实际情境中提取等量关系并列出方程，通过估计方程解的过程建立代数思维，为后续方程求解奠定基础。 3.透彻理解一次方程（组）在实际场景（如资源分配、成本利润、生活规划）中的应用，能结合模型分析数量变化，判断方案合理性并提出优化建议，体会方程作为数学工具的实用价值。 2. 精准掌握方程的求解方法（等式基本性质、移项/去括号/去分母步骤、代入/加减消元法），能根据方程（组）的特征灵活选择解法；熟练运用“审、设、列、解、验、答”步骤解决实际问题（如行程、工程、销售），从情境中提取数量关系并求解。 单元学习目标 等式的性质 一次方程组 一次一次方程及应用 解一元一次方程步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1 性质2：等式两边同时乘（或除以）同一个不为0的数或式子，等式仍然成立 实际应用问题 方程：含有未知数的等式叫做方程 一元一次方程：只含有一个未知数且未知数的次数为1的方程 增长率问题：增长量=原有量×增幅 行程问题：S = Vt 工程问题：总量=效率×工时 销售盈亏问题：利润=售价-进价 银行存贷款问题：利息=本金×利率×期数 基本概念 方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解 性质1：等式两边同时加（或减）同一个数或式子，等式仍然成立 解方程：求方程的解的过程叫做解方程 单元知识图谱 一次方程组 二次一次方程（组）及应用 三元一次方程组 加减消元法 概念：含有3个未知数的方程组，且所有方程未知数次数都为1 二元一次方程：含有2个未知数，且未知数次数都为1的整式 二元一次方程组：由2个方程组成，形如 解法：化2个1个地解（→一元一次方程），解出一个，其他3个都可以求 基本概念 解：使方程左右两边相等（无数）；二元一次方程组的解形如 ，有且仅有一组解 代入消元法 解的个数：唯一解、无数组解、无解 解二元一次方程组 三元一次方程组的解：有几个未知数就有几组解（拓展了解） 单元知识图谱 考点一、方程的概念 1．_____________________叫方程． 注意：方程中的未知数可以用x表示，也可以用其他字母表示，方程中的未知数的个数不一定是一个，可以是两个或两个以上。 含有未知数的等式 考点串讲 1．解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值就是___________。 解方程是一个过程，方程的解是一个结果。 检验一个数是不是方程的解，只需要将这个数代入原方程即可。若方程两边_________，则这个数是方程的解，反之则不是。 考点二、解方程和方程的解 方程的解 相等 考点串讲 只含有______未知数，未知数的次数都是______的方程是一元一次方程． 特点： a．只有一个未知数； b．未知数的次数是1； c．可带分母，但分母不能带有未知数。 考点三、一元一次方程的定义 一个 1 考点串讲 解一元一次方程的步骤是：_________，_______，_______，____________，__________。 注意：这些步骤不是固定不变的，有时可以省略某个步骤，主要是根据方程的特点灵活选用。 考点四、解一元一次方程的一般步骤 去分母 去括号 移项 合并同类项 系数化为1 考点串讲 1．等式的性质1：____________________________________________ _________. 如果a=b，那么a±c=b±c。 2．等式的性质2：____________________________________________ ______________。 如果a=b，那么ac=bc；如果a=b（c≠0），那么 。 考点五、等式的性质 等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍 相等 等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数， 结果仍相等 考点串讲 把所得的未知数的值分别代入原方程的左、右两边，看左、右两边是否相等，如果相等，那么就是原方程的解，否则就不是。 注意：一定要把未知数的值代入原方程，不要代入变形后的方程，因为变形过程有可能出错。 考点六、方程解的检验方法 考点串讲 考点七、理解方程ax=b在不同条件下解的各种情况 (1)a≠0时，方程有唯一解________； (2)a=0，b=0时，方程有________个解； (3)a=0，b≠0时，方程________。 无数 无解 考点串讲 考点八、列方程解应用题的一般步骤 (1) 审：审题，明确已知和所求，分析题目，找出等量关系； (2) 设：设出未知数，用字母表示题目中的一个未知量，并注明单位； (3) 列：根据题目中的等量关系列出方程； (4) 解：解所列的方程，求出未知数的值； (5) 验：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，是否符合实际题意； (6) 答：写出答语（注意带上单位）。 考点串讲 考点九、二元一次方程 1．含有_____个未知数，并且含有未知数的项的次数为_____的方程，叫二元一次方程。 2．条件： (1) _______________；(2) __________________________； (3) ___________________。 3．一般形式为：________________________________________. 两 1 含有两个未知数 含有未知数的项的次数是1 整式方程 ax+by=c（a、b、c为常数，且a、b均不为0） 考点串讲 考点十、二元一次方程组概念 两个二元一次方程（或一个是一元一次方程，另一个是二元一次方程；或两个都是一元一次方程；但未知数个数仍为两个）合在一起，就组成了二元一次方程组。 注意：只要两个方程一共含有两个未知数，也是二元一次方程组。 考点串讲 考点十一、二元一次方程和二元一次方程组的解 1．能够使二元一次方程的左右两边都相等的两个未知数的值，叫做________________________。 2．使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做______________________。（即是两个方程的__________） 注意：①写二元一次方程或二元一次方程组的解时要用“联立”符号“ ”把方程中两个未知数的值连接起来写。二元方程解的写法的标准形式是： （其中a、b为常数）； 二元一次方程的解 二元一次方程组的解 公共解 考点串讲 考点十一、二元一次方程和二元一次方程组的解 ②一个二元一次方程的解往往不是唯一的，而是有许多组； ③而二元一次方程组的解是其中两个二元一次方程的公共解，一般地，只有唯一的一组，但也可能有无数组或无解（即无公共解）。 考点串讲 考点十二、二元一次方程组的解的讨论 已知二元一次方程组 ①当 时，有________解； ②当 时，_____； ③当 时，有_____解。 唯一 无解 无数 考点串讲 考点十三、二元一次方程组的解法——消元 1．由二元一次方程组中的一个方程，将一个未知数用含另一未知数的式子表示出来，再代入另一方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做_____________，简称_________。 2．代入法解二元一次方程组的一般步骤为： ①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来； ②将变形后的关系式代入另一个方程（不能代入原来的方程哦！），消去一个未知数，得到一个一元一次方程； 代入消元法 代入法 考点串讲 考点十三、二元一次方程组的解法——消元 ③解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； ④将求得的未知数的值代入变形后的关系式（或原来的方程组中任一个方程）中，求出另一个未知数的值； ⑤把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，就是方程组的解。 考点串讲 考点十三、二元一次方程组的解法——消元 3．两个二元一次方程中同一未知数前的系数相反或相等（或利用等式的性质可变为相反或相等）时，将两个方程的左右两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫___________，简称________。 4．加减法解二元一次方程组的一般步骤为： ①方程组的两个方程中，如果同一个未知数前的系数既不相反又不相等时，就根据等式的性质，用适当的数乘以方程的两边（注意，左右两边每一项都要乘以这个数），使同一未知数前的系数相反或相等； 加减消元法 加减法 考点串讲 考点十三、二元一次方程组的解法——消元 ②把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求得一个未知数的值； ④将这个求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中，求出另一个未知数的值，并把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，就是方程组的解。 考点串讲 考点十四、实际问题与二元一次方程组 1．利用二元一次方程组解实际应用问题的一般过程为：审题并找出数量关系式 → 设元（设未知数） → 根据数量关系式列出方程组 → 解方程组 → 检验并作答（注意：此步骤不要忘记） 2．列方程组解应用题的常见题型： ①和差倍分问题：解这类问题的基本等量关系式是： 较大量 - 较小量 = 相差量，总量 = 倍数 × 倍量； ②产品配套问题：解这类题的基本等量关系式是： 加工总量成比例； 考点串讲 考点十四、实际问题与二元一次方程组 ③速度问题：解这类问题的基本关系式是： 路程 = 速度 × 时间，包括相遇问题、追及问题等； ④航速问题：顺流（风）：航速 = 静水（无风）时的速度 + 水（风）速； 逆流（风）：航速 = 静水（无风）时的速度 - 水（风）速； 考点串讲 考点十五、三元一次方程（组 1．含有_____个未知数，并且含未知数的项的次数都是____的方程，叫作三元一次方程. 含有三个未知数，并且含未知数的项的次数都是1的方程组叫作三元一次方程组. 一般地，三元一次方程组含有三个方程. 2．对于未知数为 x、y、z 的三元一次方程组，若 x、y、z 分别用 a，b，c 代入，使得每一个方程左右两边的值相等，则把 (a，b，c) 叫作这个三元一次方程组的一个解. 习惯上记作 三 1 考点串讲 考点十五、三元一次方程（组 3．解三元一次方程组思路 三元一次方程组 二元一次方程组 一元一次方程. 消元方法仍是利用代入消元法和加减消元法. 考点串讲 题型一、判断是否是一元一次方程 例1：下列各式：① 2x-3y=6 ；② x² - 4x - 3 = 0 ；③ 2(x + 3) = 5 - 3x ；④ + 1 = 0 ；⑤ 3x - 4(2 - 5x) ．其中，一元一次方程有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 A 题型剖析 解析：①含有两个未知数，故不是一元一次方程； ②未知数的次数是2而不是1，故不是一元一次方程； ③符合一元一次方程的定义； ④不是整式方程； ⑤不是等式，不是方程. 综上可知：只有1个正确， 故选A. 题型一、判断是否是一元一次方程 题型剖析 1. 明确定义步骤——判断一元一次方程遵循“三看” 看未知数个数（仅1个），看未知数次数（最高为1），看是否为整式方程（分母不含未知数）。 2. 掌握核心思路——先查未知数数量，再验次数与整式属性，最后判定是否符合“一元一次”特征 题型一、判断是否是一元一次方程 题型剖析 变式：下列各式中，属于一元一次方程的是（ ） A． 6x - 5y = 18 B． x² + 4x - 27 = 15 C． 3x + = 8 D． x - 9 = 4x D 题型一、判断是否是一元一次方程 解析：选项A： 6x - 5y = 18 含 x、y 两个未知数，不符合“一元”，排除； 选项B： x² +4x - 27 = 15 中未知数 x 的次数是2，不符合“一次”，排除； 选项C： 3x + = 8 分母含未知数 x ，不是整式方程，排除； 选项D： x - 9 = 4x 只含1个未知数 x 、未知数次数为1、是整式方程，符合一元一次方程的定义。故选D. 题型剖析 解析：根据题意得： m - 1 = 1 ， 解得： m = 2 ， 故答案为： 2 . 例2：已知 xᵐ⁻¹ - 32 = 0 是关于 x 的一元一次方程，则 m 的值是________． 2 题型二、根据一元一次方程的定义求参数的值 题型剖析 1. 明确定义步骤——求参数遵循“定、列、解” 定一元一次方程的条件（未知数次数为1、只含1个未知数），列关于参数的等式，解等式得参数值。 2. 掌握核心思路——先依据“未知数次数为1”确定参数的方程，再求解方程，最后验证是否符合一元一次方程的其他条件 题型二、根据一元一次方程的定义求参数的值 题型剖析 变式： 是一元一次方程，则m的值为____． 1 题型二、根据一元一次方程的定义求参数的值 解析：由题意可得 m - 3 ≠ 0 且 |m - 2| = 1 ， 由 m - 3≠ 0 可得 m≠ 3 ， 由 |m - 2| = 1 可得 m = 1 或 m = 3 ， 综上： m = 1 ， 故答案为：1. 题型剖析 例3：关于x的一元一次方程2mx - 1 = 3 - x有解，则m的值为____． 题型三、已知一元一次方程的解求参数的值 解析：把方程整理成(2m+1)x=4， 一元一次方程有解的条件是“x的系数≠0”， 所以2m+1≠0，得m≠ 。 题型剖析 1. 明确定义步骤——求参数遵循“代、列、解” 代（将方程的解代入原方程），列（列出关于参数的新方程），解（求解新方程得参数值）。 2. 掌握核心思路——先代入解消去未知数，再建立只含参数的方程，最后求解参数并验证 题型三、已知一元一次方程的解求参数的值 题型剖析 解析： 将 x = 3 代入原方程得 3a - 2 = -a + 6 ， 解得： a = 2 ， ∴ a 的值为2. 故答案为：2. 变式：已知x = 3是方程ax - 2 = -a + 6的解，则a = ____． 2 题型三、已知一元一次方程的解求参数的值 题型剖析 例4： 设某数为x，如果某数的2倍比它的相反数大1，那么列方程是__________________． 3x = 1 解析：1. 分析数量关系 某数为x，它的2倍是2x，它的相反数是-x。 2. 根据题意列等式 “2倍比相反数大1”，即2x - (-x) = 1，化简得3x = 1． 题型四、列一元一次方程 题型剖析 1. 明确定义步骤——列方程遵循“设、找、列” 设（设出未知数，用字母表示题目中的未知量），找（找出题目中的等量关系），列（根据等量关系列出一元一次方程）。 2. 掌握核心思路——先设未知数表示相关量，再分析数量关系确定等量关系，最后将等量关系转化为方程 题型四、列一元一次方程 题型剖析 变式：《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人车几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，刚好每车坐满后还剩余2辆车没人坐；若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘只能步行，问共有多少人，多少辆车？设共有x辆车，则可列方程________________． 解析： 根据等量关系“第一种乘车方式的人数 = 第二种乘车方式的人数”，可列方程： 3(x - 2) = 2x + 9。 题型四、列一元一次方程 3(x - 2) = 2x + 9 题型剖析 题型五、等式的基本性质 例5：下列说法错误的是（ ） A．若-2x = -2y，则x = y B．若x²= 5x，则x = 5 C．若a = b，则a - 6 = b - 6 D．若 ，则a = b B 题型剖析 解析： 将-2x = -2y的两边同时除以-2，得x = y，∴A正确，不符合题意； 当x ≠ 0时，将x² = 5x的两边同时除以x，得x = 5， 当x = 0，0 = 0，等式成立， ∴x = 0或5， ∴B错误，符合题意； 将a = b的两边同时减6，得a - 6 = b - 6， ∴C正确，不符合题意； 若将 的两边同时乘以c^2 + 1，得a = b，∴D正确，不符合题意.故选：B. 题型五、等式的基本性质 题型剖析 1. 明确定义内容——等式的基本性质包含“同加同减”“同乘同除”两类 性质1：等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），等式仍然成立；性质2：等式两边同时乘同一个数（或除以同一个不为0的数），等式仍然成立，核心关联：变形时需保证两边操作“一致且合法”（除式不为0）。 2. 掌握核心思路——解题抓“变、等、验” 依据性质对等式进行变形，确保变形后等式两边仍相等，同时验证除式是否为0（若涉及除法），避免错误变形。 题型五、等式的基本性质 题型剖析 变式：下列是根据等式的性质进行变形，正确的是（ ） A．若x = y，则x - 3 = y + 3 B．若a = b，则3a = 2b C．若 ，则x = y D．若ax = ay，则x = y C 题型五、等式的基本性质 题型剖析 解析:A. 若x = y，根据等式的性质，两边都减3得，x - 3 = y - 3，因此选项A不符合题意； B. 若a = b，根据等式的性质，两边都乘以3或2得，3a = 3b或2a = 2b，因此选项B不符合题意； C. 若 ，根据等式的性质，两边都乘以2得，x = y，因此选项C符合题意； D. 若ax = ay，在a≠0时，根据等式的性质，两边都除以a得x = y，当a = 0就不成立，因此选项D不符合题意；故选：C. 题型五、等式的基本性质 题型剖析 例6： 题型六、解一元一次方程 解：移项，得-4x + x = 3 - 5. 合并同类项，得 x = -2. 系数化为1，得x = . 题型剖析 1. 明确解题步骤——解一元一次方程遵循“移、合、化”（无括号分母时）或“去、移、合、化”（有括号分母时） （无括号分母）移项（把含未知数的项移到一边，常数项移到另一边），合并同类项（将同类项合并简化），系数化为1（把未知数系数化为1得解）； （有括号分母）先去分母（等式两边乘各分母最小公倍数）、去括号（去掉括号化简式子），再依次移项、合并同类项、系数化为1。 2. 掌握核心思路——先通过去分母、去括号简化方程形式，再通过移项、合并同类项将方程化为“ax = b”的标准形式，最后系数化为1得到未知数的值，注意每一步变形都要遵循等式的基本性质． 题型六、解一元一次方程 题型剖析 变式： 题型六、解一元一次方程 解： 12(x + 3) = 45x - 20(x - 7) 12x + 36 = 45x - 20x + 140 12x - 45x + 20x = 140 - 36 -13x = 104 x = -8 题型剖析 题型七、解一元一次方程中的错解复原问题 例7：关于方程 ，嘉嘉的解法如下． 解：去分母，得18x - 3(5x + 4) = x - 4，……① 去括号，得18x - 15x - 12 = x - 4，……② 合并同类项，得3x - 12 = x - 4， 3(x - 4) = x - 4，……③ 两边同时除以(x - 4)，得3 = 0．……④ 所以方程无解． (1)嘉嘉从第______步开始出错（填序号），理由是__________； (2)请正确求解该方程． 题型剖析 (1)嘉嘉从第④步开始出错（填序号），理由是两边同时除以(x - 4)时，未考虑x - 4 = 0的情况. 故答案为：④，两边同时除以(x - 4)时，未考虑x - 4 = 0的情况； (2) ， 去分母，得18x - 3(5x + 4) = x - 4， 去括号，得18x - 15x - 12 = x - 4， 移项，得18x - 15x - x = -4 + 12， 合并同类项，得2x = 8， 系数化成1，得x = 4. 题型七、解一元一次方程中的错解复原问题 题型剖析 1. 明确解题步骤——错解复原遵循“找、析、正” 找（定位错误步骤），析（分析错误原因，结合等式性质/运算法则说明错因），正（按照正确步骤重新求解方程）。 2. 掌握核心思路——先锁定错解中的错误步骤，再依据等式基本性质、去括号/移项等规则分析错误根源，最后按照解一元一次方程的规范流程重新计算，同时注意避免同类错误（如漏乘分母、移项忘变号、除式为0等） 题型七、解一元一次方程中的错解复原问题 题型剖析 变式：下面是小董同学解一元一次方程 的过程，请认真阅读并回答问题． 解：18x + 3(x - 1) = 18 - 2(2x - 1)，……第一步 18x + 3x - 3 = 18 - 4x - 2，……第二步 18x + 3x + 4x = 18 - 2 + 3，……第三步 x = ，……第四步 (1)①以上求解过程中，第______步进行的是移项，移项的依据是_______； ②第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______； 题型七、解一元一次方程中的错解复原问题 题型剖析 解：(1)①以上求解过程中，第三步进行的是移项，移项的依据是等式的性质1. ②第二步开始出现错误，这一步错误的原因是去括号后，等式右边括号里的第二项没有变号. 故答案为：三，等式的性质1，二；去括号后，等式右边括号里的第二项没有变号. 题型七、解一元一次方程中的错解复原问题 题型剖析 (2)求该一元一次方程的解； 题型七、解一元一次方程中的错解复原问题 18x + 3(x - 1) = 18 - 2(2x - 1)， 18x + 3x - 3 = 18 - 4x + 2， 18x + 3x + 4x = 18 + 2 + 3， 25x = 23， x = . 题型剖析 (3)除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就解一元一次方程时还需要注意的事项给其他同学提一条建议（一条即可）． 题型七、解一元一次方程中的错解复原问题 建议：移项要变号；去括号时别漏乘项；括号前是“-”时要把该变号的项的符号都变过来，不能漏项；去分母时须注意不要漏乘没有分母的项；去掉分母后，若分子是多项式，要加括号视多项式为一个整体；求出方程的解后，要代入原方程检验（答案不唯一）. 题型剖析 题型八、用一元一次方程解决实际问题 例8：某车间生产一批螺钉和螺母，由一个人操作机器做需要200h完成．现计划由一部分人先做4h，然后增加5人与他们一起做6h，完成这项工作．假设这些人的工作效率相同． (1)求具体应先安排多少人工作？ 解：(1)设应先安排 x 人工作，则 所以x = 17. 答：应先安排17人工作. 题型剖析 (2)在增加5人一起工作后，若每人每天使用机器可以生产1200个螺钉或2000个螺母，1个螺钉需要配2个螺母成为一个完整的产品，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？ 题型八、用一元一次方程解决实际问题 (2)由题意可知，总共有 17 + 5 = 22 （人）参加生产. 设安排生产螺钉的工人是 a 名，则生产螺母的工人是(22 - a)名， ∴ 2×1200a = 2000(22 - a)， 解得 a = 10 . ∴22 - a = 22 - 10 = 12. 答：应安排生产螺钉的工人是10名，生产螺母的工人是12名. 题型剖析 (3)若该车间有10台A型和11台B型机器可以生产这种产品，每台A型机器比B型机器一天多生产1个产品．已知5台A型机器一天的产品装满8箱后还剩4个，7台B型机器一天的产品装满11箱后还剩1个，且每箱装的产品数相同．某天有6台A型机器和m台B型机器同时开工，请问一天生产的产品能否恰好装满29箱．若能，请计算出m的值；若不能，请说明理由． 题型八、用一元一次方程解决实际问题 题型剖析 题型八、用一元一次方程解决实际问题 (3)由题意，设每台B型机器一天生产 y 个产品，则每台A型机器一天生产(y + 1)个产品， . ∴ y = 19. ∴y + 1 = 20， . ∴每台A型机器一天生产20个产品，每台B型机器一天生产19个产品，每箱装的产品数是12个. ∴ 6 ×20 + 19m = 29 × 12. ∴m = 12. ∵ m = 12 > 11，∴不符合题意. 答：一天生产的产品不能恰好装满29箱. 题型剖析 遇实际应用问题，先判求解核心（找等量关系）； 明确设元方式（直接设元或间接设元），梳理已知未知量是关键； 根据等量关系列方程，按步骤解方程得结果； 结果回代验合理性，实际问题求解无偏差。 题型八、用一元一次方程解决实际问题 题型剖析 变式：合肥庐阳区实验学校七（6）班为迎接学校秋季运动会计划购买30支签字笔，若干本笔记本（笔记本数量超过签字笔数量），用来奖励运动会中表现出色的运动员和志愿者，甲、乙两家文具店的标价都是签字笔8元/支、笔记本2元/本，甲店的优惠方式是签字笔打九折，笔记本打八折；乙店的优惠方式是每买5支签字笔送1本笔记本，签字笔不打折，购买的笔记本打七五折． (1)请用含x的代数式分别表示学校在甲、乙两家店购物所付的费用； 题型八、用一元一次方程解决实际问题 解：甲店总费用： =216 + 1.6x =240 + 1.5(x - 6) = 231 + 1.5x 题型剖析 (2)如果购买笔记本数量为60本，并且只在一家店购买的话，请通过计算说明，到哪家店购买更合算？ 题型八、用一元一次方程解决实际问题 当x = 60时： =216 + 1.6×60 = 216 + 96 = 312（元） =231 + 1.5×60 = 231 + 90 = 321（元） 因为312 < 321，所以到甲店购买更合算。 题型剖析 (3)若都在同一家店购买签字笔和笔记本，试问购买笔记本数量是多少时，两家店的费用一样？ 题型八、用一元一次方程解决实际问题 设两家店费用相等时，笔记本数量为x，则： = 216 + 1.6x = 231 + 1.5x 1.6x - 1.5x = 231 - 216 0.1x = 15 x = 150 题型剖析 题型九、二元一次方程（组）的解与整数解 例9：关于x和y的二元一次方程，2x + 3y = 20的正整数解有（ ）组． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 C 解析：对于方程2x + 3y = 20，将x用y表示为 。 因为x，y为正整数，所以20 - 3y需为偶数且大于0。 由20 - 3y > 0得 ，y为正整数，可能取值为1，2，3，4，5，6。 又因20 - 3y为偶数，y需为偶数，故y = 2, 4, 6。 当y = 2时，x = = 7；当y = 4时，x = = 4； 当y = 6时，x = = 1。 所以方程的正整数解有3组，故选C。 题型剖析 1. 明确定义 二元一次方程组的解：能同时满足方程组所有方程的一对x、y值。 整数解：解中x、y均为整数的那组（或几组）值。 2. 核心思路 求普通解：用代入/加减消元法转一元一次方程，解出一个未知数后代入求另一个，联立得解。 求整数解：先得含参数的解，根据整数条件定参数的整数值，代入得整数解。 题型九、二元一次方程（组）的解与整数解 题型剖析 变式： 是下面哪个二元一次方程的解（ ） A. y = -x + 2 B. 2x - y = 7 C. x = -y - 2 D. 2x - 3y = -1 题型九、二元一次方程（组）的解与整数解 解析：A.把 代入y=-x+2得3≠-5+2,方程不成立,不是该方程的解; B.把 代入2x-y=7得2×5-3=7,方程成立,是该方程的解; C.把 代入x=-y-2得5≠-3-2,方程不成立,不是该方程的解; D.把 代入2x-3y=-1得2×5-3×3=1≠-1,方程不成立,不是该方程的解. 故答案为B. B 题型剖析 题型十、已知二元一次方程的解，求字母或代数式的值 例10：已知 是关于x,y的方程mx - ny = 15的一组解，则7 - (m - 2n) =______. 解析：将已知解代入方程： m×1 - n×2 = 15 m - 2n = 15 代入目标表达式： 7 - (m - 2n) = 7 - 15 = -8 -8 题型剖析 1. 核心定义 已知二元一次方程的解求字母或代数式的值，是将解代入方程，求出未知字母，或整体代入求代数式结果。 2. 解题思路 求字母：代入解→得关于字母的一元一次方程→解方程。 求代数式：代入解→得字母关系式→整体代入计算。 题型十、已知二元一次方程的解，求字母或代数式的值 题型剖析 变式：若 是关于x、y的方程mx - y = 14的一个解，则m的值是（ ） A. 4 B. -4 C. 8 D. -8 题型十、已知二元一次方程的解，求字母或代数式的值 A 解析:要确定m的值，只需将方程的解 代入方程mx - y = 14： 把x=3，y=-2代入方程，得： m×3 - (-2) = 14 化简计算：3m + 2 = 14 m = 4．故答案为A. 题型剖析 题型十一、二元一次方程的应用 例11：盒子里有三种球，分别标有数字5、9和2，贝贝从中摸出9个球，它们的数字之和是40，贝贝摸出了______个标有数字2的球. 3 解析：设摸出x个2，y个5，(9 - x - y)个9， 由题意得，2x + 5y + 9(9 - x - y) = 40, 整理得，7x + 4y = 41, ∴ , ∴摸出3个2， 故答案为：3. 题型剖析 遇二元一次方程应用，先抓解题核心（找两个等量关系）； 明确设元策略（设两个未知数），理清已知未知量是基础； 依据等量关系列二元一次方程（组），用消元法求解得初步结果； 结合实际意义验解（如正整数、非负数），确保解符合问题情境。 题型十一、二元一次方程的应用 题型剖析 变式：足球赛，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，一足球队共赛了15场，共得33分，则该队得胜、负、平场数情况共有______种不同的可能性. 3 题型十一、二元一次方程的应用 解析:设该球队胜x场，平y场，则负(15 - x - y)场， 由题意得：3x + y = 33, 整理得：x = 11 - y, ∵ x、y均为非负整数，且x + y \leq 15, ∴ 或 或 , ∴ 15 - x - y = 2或0或4,即该队得胜、负、平场数情况共有3种不同的可能性，故答案为：3. 题型剖析 题型十二、消元法 例12：用代入法解方程组： ① ② 解：由②得：y = 2x - 5③， 把③代入①得：3x + 4(2x - 5) = 2， 解得：x = 2， 把x = 2代入③得：y = -1， 则方程组的解为 题型剖析 遇二元一次方程组消元法，先抓解题核心（消去一个未知数）； 明确消元策略（代入消元或加减消元），观察方程特点是关键； 代入消元：选系数简单的方程表未知数，代入另一方程转一元方程； 加减消元：使同一未知数系数成相反数/相等，加减消元转一元方程； 解出一元方程后回代求另一未知数，联立得方程组的解。 题型十二、消元法 题型剖析 变式：用加减消元法解方程组： 题型十二、消元法 解:方程组整理得： ， ①+②×2得：13x = 13, 解得：x = 1, 把x = 1代入②得：y = 2, 则方程组的解为 。 ① ② 题型剖析 题型十三、整体代入法与换元法 例13：先阅读材料，然后解方程组. 材料：解方程组： ，由①，得x + y = 2③，把③代入②，得3×2 - y = 4，解得y = 2. 把y = 2代入③，得x = 0. ∴原方程组的解为 ；这种方法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答，请用这种方法解方程组： ① ② ① ② 题型剖析 题型十三、整体代入法与换元法 解： 由①，得3x - 2y = 1. ③ ②可化为 + y = 2. ④ 把③代入④，得 + y = 2， 解得y = . 把y = 代入③，得x = . ∴原方程组的解为 ① ② 题型剖析 遇二元一次方程组消元法，先抓解题核心（消去一个未知数）； 明确消元策略（代入消元或加减消元），观察方程特点是关键； 代入消元：选系数简单的方程表未知数，代入另一方程转一元方程； 加减消元：使同一未知数系数成相反数/相等，加减消元转一元方程； 解出一元方程后回代求另一未知数，联立得方程组的解。 要不要我帮你整理一份消元法的典型解题步骤对比表？ 题型十三、整体代入法与换元法 题型剖析 变式：用解方程组： ，若设2x + y = m，x - 2y = n，则原方程组可化为 ，解方程组得 ，所以 ，解方程组得 ，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程组的方法叫做换元法. （1）直接填空：已知关于x，y的二元一次方程组 的解为 ，那么关于m、n的二元一次方程组 的解为：______. 题型十三、整体代入法与换元法 题型剖析 （2）知识迁移：请用这种方法解方程组 ． 题型十三、整体代入法与换元法 解：(1) (2)设 则原方程组可化为 解得 即有 解得 ∴方程组的解为 题型剖析 题型十四、二元一次方程组的错解复原问题 例14：张亮在解方程组 时，因看错了b，结果解得 ，那么下列结论中正确的是（ ） A. b≠6，c=-15 B. b=6，c=-15 C. b≠6，c≠-15 D. b=6，c≠-15 A 解： , , 故选：A. 题型剖析 遇二元一次方程组错解复原问题，先抓解题核心（区分“看错”与“没看错”的方程）； 明确数据用途（用错解代入没看错的方程，求正确参数），理清错误条件是关键； 代入错解：将看错后的解代入未看错的方程，列方程求对应字母的值； 整理参数：结合正确解或其他条件，确定所有字母的正确值； 回代求解：用正确参数组成原方程组，解出原方程组的正确解。 题型十四、二元一次方程组的错解复原问题 题型剖析 变式：小李和小张共同解关于x，y的二元一次方程组 由于粗心，小李看错了方程①中的a，得到方程组的解为 ，小张看错了方程②中的b，得到方程组的解为 ，求原方程组的解． 题型十四、二元一次方程组的错解复原问题 ① ② 题型剖析 解：依题意，把 代入②， 得2×5 - 3b = 1.解得b = 3. 把 代入①， 得3a - 2 = 7.解得a = 3. 则原方程为 解得 题型十四、二元一次方程组的错解复原问题 题型剖析 题型十五、方程组同解问题 例15：若二元一次方程组 和 同解，则可通过解方程组__________求得这个解. 解析：因为两方程组有相同的解，所以可通过解方程组 ，求得这个解. 题型剖析 遇二元一次方程组错解复原问题，先抓解题核心（区分“看错”与“没看错”的方程）； 明确数据用途（用错解代入没看错的方程，求正确参数），理清错误条件是关键； 代入错解：将看错后的解代入未看错的方程，列方程求对应字母的值； 整理参数：结合正确解或其他条件，确定所有字母的正确值； 回代求解：用正确参数组成原方程组，解出原方程组的正确解。 题型十五、方程组同解问题 题型剖析 变式：已知关于x，y的方程组 与 的解相同，试求a，b的值. 题型十五、方程组同解问题 解：由题意可得 解得 将 代入 得 解得 题型剖析 1. 若(x - 2y + 9)²与|x - y - 3|互为相反数，则x + y的值为( ) A. 3 B. 9 C. 12 D. 27 D 解：∵ (x - 2y + 9)²与|x - y - 3|互为相反数， ∴ (x - 2y + 9)² + |x - y - 3| = 0， 而(x - 2y + 9)² ≥0，|x - y - 3|≥0， ∴ ， 解得 ， ∴ x + y = 15 + 12 = 27. 故选：D. 针对训练 2．2025年4月24日，神舟二十号载人飞船发射取得圆满成功，为进一步激发青少年热爱科学的热情，某班开展“航空航天”知识竞赛并花费48元为表现突出的同学购买了甲、乙两种奖品，每种奖品至少购买1件，其中甲种奖品每件4元，乙种奖品每件3元，则有（ ）种购买方案. A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 B 针对训练 解：设甲种奖品购买x件，乙种奖品购买y件， 由题意得：4x + 3y = 48(x≥1, y≥1) 将方程变形为：y = 要求y为正整数，即48 - 4x必须能被3整除且结果大于等于1. 依次代入x的正整数值验证： 当x = 3时，y = ，符合条件；当x = 6时，y = ，符合条件； 当x = 9时，y = ，符合条件. 其他x值代入后y均不为整数或小于1. 因此共有3种购买方案.故选B. 针对训练 3．解下列方程. (1) ； 解： ， 去分母，得2x - 3(30 - x) = 60， 去括号，得2x - 90 + 3x = 60， 移项、合并同类项，得5x = 150， 系数化为1，得x = 30； 针对训练 3．解下列方程. (2) 解： ②-①×3得，2n + 25 = -21 解得：n = -23 将n = -23代入①得，3m + 4×23 = 7， 解得：m = ， ∴原方程组的解为： ① ② 针对训练 4．为开展好校园足球活动，某些学校计划联合购买一批足球运动装备，经市场调查，甲，乙两商场分别以同样的价格出售同种品牌的足球队服和足球. 已知每套队服比每个足球贵20元，购买一套队服和一个足球共需花费180元. (1)求每套队服和每个足球的售价分别是多少？ （1）解：设每个足球的售价x元，则每套队服的售价是(x + 20)元， 由题意得：x + x + 20 = 180，解得：x = 80， 则x + 20 = 80 + 20 = 100， 答：每个足球的售价80元，每套队服的售价是100元； 针对训练 (2)甲商场推出的优惠方案是：每购买10套队服，送一个足球；乙商场推出的优惠方案是：若购买队服超过90套，则队服原价，但购买足球打八折. 若计划一共购买100套队服和m（m > 10）个足球. ①请用含m的代数式分别表示出到甲商场和乙商场购买装备所花的费用； ②若学校的预算是12000元，选择在哪家商场购买的足球更多？ ③请你说明m为何值时，两家商场费用相同？ 针对训练 （2）解：①100×100 + 80(m - 10) = 80m + 9200（元）， 即甲商场买装备所花的费用为(80m + 9200)元； 100×100 + 0.8×80m = 64m + 10000（元）， 即乙商场买装备所花的费用为(64m + 10000)元； ②当80m + 9200 = 12000， 解得：m = 35； 当64m + 10000 = 12000， 解得：m = 31.25， 则选择在甲商场购买的足球更多； 针对训练 ③80m + 9200 = 64m + 1000， 解得：m = 50， 即当m = 50时，选择甲、乙两商场所花费用相同； 80m + 9200 > 64m + 10000， 解得：m > 50， 当m > 50时，选择乙商场购买比较合算； 80m + 9200 < 64m + 10000， 解得：m < 50， 当10 < m < 50时，选择甲商场购买比较合算. 针对训练 ✅ 知识构建：一次方程（组） 方程的分类（一元一次方程、二元一次方程、二元一次方程组）→方程组的定义（含两个未知数、两个一次方程的组合）→方程组的解法：代入消元法、加减消元法→方程组的应用（从实际问题中找等量关系，列方程组求解）→错解复原问题（区分“看错”与“未看错”的方程，用错解求正确参数）→同解问题（联立不含参数的方程求公共解，再代入求参数） 今天，我们都有哪些收获？快来说说吧. 课堂总结 今天，我们都有哪些收获？快来说说吧. ✅ 思想方法： 消元思想（通过代入或加减消元，将二元一次方程组转化为一元一次方程求解，如把“多未知数问题”简化为单未知数计算） 转化与化归（将实际问题中的等量关系转化为方程组模型，如把“价格、数量问题”转化为二元一次方程组合，简化实际问题求解） 整体代入（在方程组同解或错解问题中，将公共解整体代入方程求参数，如用错解代入未看错的方程，快速确定系数） 分类讨论（解决含参数的方程组问题时，对参数的不同取值分类分析，如讨论方程组解的情况或购买方案的合理性） 课堂总结 感谢聆听! $