例析与统计有关的综合问题-《中学生数理化》高考数学2026年6月刊

中学生数理化解题篇经典题突破方法 )高三数学2026年6月 例析与统计有关的综合问题 ■江苏省天一中学 孙承辉 与统计相关的难题主要以数据的分析与 现有模型y=clnx十d作为年销售量y 处理为背景，与数列、函数等知识结合在一 关于年广告费x的回归分析模型，其中c,d 起，综合考查同学们的阅读理解、数据分析及 均为常数。 数学运算等能力。本文精选一些典型例题， (1)求xm。 供同学们复习时参考。 (2)求出y关于x的回归方程，并预测年 题型一、非线性回归模型及其应用 广告费为6百万元时，产品的年销售量是多 非线性回归模型是基于幂函数、指数函 少？ 数、对数函数等基本初等函数，先通过换元将 (3)该公司生产的电动车毛利润为每辆 非线性模型转化为线性模型，再根据样本数 200元（不含广告费、研发经费）。该公司在 据，用最小二乘法估计出模型的参数，最后还 加大广告投入的同时也加大研发经费的投 原得到非线性回归模型。 入，年研发经费为年广告费的199倍。电动 例1某电动车公司为了抢占更多的 车的年净利润除受年广告费和年研发经费影 市场份额，计划加大广告投入。该公司第i 响外，还受随机变量专影响，设随机变量专服 从正态分布N(600,。),且满足P(E>800) 年的年广告费x:(单位：百万元)满足递推关 =0.3,求该公司年净利润的最大值大于 系+1二2+，乙=2(m≥2)，且x1= x一xw-1 X+1一x 1000百万元的概率。（年净利润=毛利润× 1,x2=2,年销售量y:(单位：百万辆)与年广 年销售量一年广告费一年研发经费一随机变 告费相关。令o:=1nx:(i=1,2,…,5),经过 量) 数据处理得到表1中统计量的值： 参考公式：回归直线方程y=bx十a中， 表1 (x:-x)y:-y b= =1 2 44 (x-x) 1 参考数据：√40.3×1.612=8.06，√/403 4.8 ≈20.1,1n5≈1.6,1n6≈1.8。 2- 10 解析：(1)因为1一工十飞。一x三 xm一xw-1xn+1一x -少 40.3 2(n≥2)，所以(xm+1-x)+(x。-xm-1) 2(x+1-x.)(x,-xm-1),即[(x+1-x） - 1.612 （x。一xm-1)]=0,即(xm+1+x-1一2xn)2= 0,所以xm+1十x。-1=2xn(n≥2)，故{xm}为等 x)( 差数列。 19.5 =1 又因为x1=1,x2=2,所以xm=1十(n一 ∑(w:-)(y-y) 8.06 1)×1=n。 (2)令1nx=v,则y=co十d,由公式可 40 解数学息恩突方清中学生表理化 2(u-)(y:-y) 量a=(a1,a2,…,am),b=(b1,b2,…,bm),我 得c= 8.06 =5。 们定义：两点间的距离公式为d= 2- 1.612 √(b1一a1)+(b2一a2)十…十(b一an)。利 由=1 1、 用n维向量的运算可以解决许多统计学问 0:=0.96,y= 5-1 y:=8.8, 5:=1 题。其中，依据“距离”分类是一种常用的分 得d=y-50=8.8-5×0.96=4。 类方法：计算向量与每个标准点的距离d。, 所以y=5v十4，即回归方程为y= 与哪个标准点的距离d。最近就归为哪类。 5lnx+4。 某公司对应聘员工的不同方面能力进行测 令x=6,得y=5ln6+4≈13。 试，得到业务能力分值(a1)、管理能力分值 所以当年广告费为6百万元时，产品的 (a,)、计算机能力分值(a3)、沟通能力分值 销售量大概是13百万辆。 (a4)(分值a:∈N",i∈{1,2,3,4}代表要求 (3)由题意知，年净利润为200×(5lnx 度，1分最低，5分最高)，并形成测试报告。 +4)-200x-5,x0。 不同岗位的具体要求见表2： 令g(x)=200×(5lnx+4)-200x-, 表2 则g'(x)=1000-200=200(5-x) 业务能力 管理能力 计算机能力 沟通能力 合计 岗位 分值(a,) 分值(a.) 分值(a4) 分值(4.) 分值 所以当x∈(0,5)时，g(x)>0,g(x)单 会计(1) 4 e 调递增；当x∈(5，+∞)时，g′(x)<0,g(x) 业务员(2 5 2 3 5 15 单调递减。 后勤(3) 3 3 所以g（x)m=g(5)=200×(5ln5+ 管理员(4) 4 5 4 4 17 4-5)-ξ≈1400-ξ。 对应聘者的能力报告进行四维距离计 由题意得，1400一>1000，即<400， 算，可得到其最适合的岗位。设四种能力分 所以P(400)=P(≥>800)=0.3。 值分别对应四维向量B=(a1,a,ag,a,)的四 故该公司年净利润大于1000百万元的 个坐标。 概率为0.3。 (1)将这四个岗位合计分值从小到大排 点评：本题的回归模型是对数函数型 列得到一组数据，直接写出这组数据的第三 y=clnx+d。第(I)问是根据数列{xn}的递 四分位数。 推关系判断{xm}为等差数列；第(2)问是利用 (2)小刚与小明到该公司应聘，已知：只 最小二乘法并结合所给数据，求出回归模型 有四个岗位的拟合距离的平方d:均小于20 中的参数c和d;第(3)问解答的关键是正确 的应聘者才能被招录。 写出年净利润的函数解析式，利用导数求其 (1)小刚测试报告上的四种能力分值为 最大值。本题融合了统计、数列、函数和导数 B。=(4,3,2,5),将这组数据看成四维向量中 等多个知识模块，体现了较强的综合性。 的一个点，将四种职业1、2、3、4的分值要求 题型二、用新定义统计量进行数据分析 看成样本点，分析小刚最适合哪个岗位： 与统计有关的综合题会出现新定义题， (ⅱ)小明已经被该公司招录，其测试报 即用新定义统计量进行数据分析与处理。解 告经公司计算得到四种职业1、2、3、4的推荐 题时要仔细阅读题目，捕捉关键的文本信息， 率。分为若器品后其巾么 通过实例理解新统计量的含义，并运用所学 d 知识进行求解。 d+d:+d:+,试求小明的各项能力分 例2 一般地，n元有序实数对(a1, 值。 a,…,am)称为n维向量。对于两个n维向 解析：(1)将四个岗位合计分值从小到大 41 中学生表理化餐皱学经鼻翠破方法 排列得到数据12,13,15,17。 计算机能力分值，沟通能力分值分别为a,b, 又因为i=np=4×0.75=3,所以这组 c,d,且a,b,c,d∈N',1≤a,b,c,d≤5。 数据的第三四分位数为15十17-16 依题有(a-2)2+(b-1)+(c-5)2+ 2 (d-4)2=d=14；① (2)(ⅰ)由表2知，会计岗位的样本点为 (a-5)2+(b-2)2+(c-3)2+(d-5)2 B1=(2,1,5,4),则d=(2-4)+(1-3)2+ =d=13；② (5-2)2+(4-5)2=18: (a-2)+(b-3)2+(c-5)2+(d-3) 业务员岗位的样本点为B2=(5,2,3,5), =d=9；③ 则d=(5一4)2+(2一3)2+(3一2)2+(5 (a-4)°+(b-5)2+(c-4)2+(d-4) 5)2=3； =d=7。④ 后勤岗位的样本点为B:=(2,3,5,3),则 由①-③可得，[(a-2)2+(b-1)+ d=(2-4)2+(3-3)2+(5-2)2+(3-5)2 (c-5)2+(d-4)2门-[(a-2)2+(b-3)2+ =17: (c一5)+(d-3)2]=14一9=5，整理得2b一 管理员岗位的样本点为B.=(4,5,4,4), d=3。 则d=(4一4)2+(5-3)2+(4-2)2+(4 b=2,b=3,b=4, 5)2=9。 故有 三组正整数解。 d=1,d=3,d=5 所以d,d,dd,故小刚最适合业 将b=2,d=1,代入④式有(a一4)2+ 务员岗位。 9十(c一4)+9≠7，故不成立： (ⅱ)已知四种职业1、2、3、4的推荐率p 将b=3,d=3,代入①式有(a一2)2+ 分别为 141397 43、4343、43,且p。= (c-5)2=9,解得 a=5, c=5 1a=2,代入②式 或 c=2, d d+d+d+d。 不成立： d 将b=4,d=5,代入②式有(a一5)2十 14 di+d:+dj+d:43' (a=2, (c一3)2=9，解得 代入①③④式均成立。 d c=3, 3 d+d+d号+d43 a=2, 所以 从而 d 9 b=4, 综上可得， dj+d;+dj+di 43 c=3, di d=5。 d+d+d+d=43' 所以小明的业务能力分值，管理能力分 ai=岩di+a+di+d 值，计算机能力分值，沟通能力分值分别为 2,4,3,5。 -di+di+di+i). 点评：本题的第(2)问具有一定的难度， 前一小问要先求出各个岗位的样本点，再根 d=是d+d+a+d 据题设定义即可求出结果；后一小问需根据 di-(di+di+di+di). 7 题设定义列出d∈N"(n∈{1,2,3,4})的相 关方程组，利用d+d+d+d<80,d∈ 又因为d(n∈{1,2,3,4})均小于20，所 N"(n∈{1,2,3,4})，分析得到d=14,d= 以d+d+d+d<80,且d∈N'(n∈{1， 13,d=9,d=7,进而选择合适的式子得出 2,3,4}),可得d=14,d=13,d=9,d= 2b一d=3,从而分析求出结果。本题体现了 7。 方程组思想在解决实际问题中的应用。 设小明的业务能力分值，管理能力分值， (责任编辑王福华) 42