概率统计专题复习备考新指向-《中学生数理化》高考数学2026年6月刊

中学生表理化贺篮学州颗响 概率统计专题复习备考新指向 ■郑州市第一中学 田顺利 2024年高考数学全国卷完成19题结构 (1)依据a=0.05的独立性检验，能否认 调整后，概率统计模块的考查重心发生本质 为购买M与推出“玩游戏，送礼券”活动有关 偏移一递推思想不再是隐蔽的解题技巧， 联？ 而是串联多个知识点、承载素养考查的核心 (2)求P1,P:的值，并在以下两个数列： 载体。这种变化并非偶然，而是新课标要求 ①{P.- .-1-2} 1 1 (n≥2，且n∈N'), “用数学模型刻画动态规律”的直接落地，使 61 得原本分散的概率、数列、统计等知识，通过 ②{P.+3P1- 1 41 递推逻辑形成有机整体，也让该题型成为检 5/ (n≥2，且n∈N*)中任 验同学们数学思维深度的“试金石”。2026 选一个，证明其为等比数列。 届各地高三模拟题精准捕捉这一导向，涌现 (3)设在n(n≥2，且n∈N")次操作后， 出大批以递推为核心的概率统计题，既复刻 消费者获得Y元消费券，求Y的数学期望 了全国卷的命题神韵，又在情境设计、知识融 E(Y)(用n表示)。 合上有所创新。本文以两道优质模拟题为样 附：X2= n(ad-bc)2 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d)1 本，穿透题目情境表象，深度拆解递推思想在 a+b+c+d。 概率统计中的应用逻辑与解题范式，提炼可 表2 迁移的复习方法，并结合命题演进脉络，对全 国卷中概率统计解答题的考查方向作出针对 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 性预判，为备考提供靶向指引。 2.7063.841 6.635 7.879 10.828 例1(2025年贵阳市高三摸底)某连 【试题立意】本题以超市促销为生活化情 锁超市为吸引消费者购买产品M,针对性地 境，体现“统计推断十概率模型”的融合考查 推出“玩游戏，送礼券”活动，游戏规则如下： 模式，涵盖独立性检验、递推概率、等比数列 在装有2个红球的A盒子与装有3个白球的 证明与数学期望四项考点。题目呼应教育部 B盒子中各随机取一球交换放入另一个盒 “强化现实情境应用”的命题要求，将统计决 子，记为1次操作，重复进行n(n∈N")次操 策与概率计算有机结合，既考查基础公式应 作后，记A盒子中恰有1个红球的概率为 用，又强调模型构建能力。 P。,若A盒子中的红球个数为X,则可对应 解析：(1)零假设为H,:购买M与推出 获得100元的消费券用于购买M。为研究推 “玩游戏，送礼券”活动没有关联。 出该活动对购买M是否有促销作用，特在推 根据表1中的数据，计算可得X= 出活动的前后随机收集部分消费者的数据， 500×(100×120-100×180)_375 ≈4.870 得到表1中的统计结果。（单位：人） 280×220×200×300 77 表1 >3.841=x0.05。 产品M 根据小概率值α=0.05的独立性检验， 活动 购买 不购买 合计 我们推断H。不成立，即认为购买M与推出 推出前 100 100 200 “玩游戏，送礼券”活动有关联，此推断犯错误 推出后 180 120 300 的概率不大于0.05。 合计 280 220 500 (2)因为A盒子中有红球2个，B盒子 12 知识篇科学备考新指向 高三数学2026年6月 中学生数埋化 中有白球3个，所以1次操作后A盒子中恰 好有1个红球和1个白球，所以P,=1。 由以上两式可得P,=名×（君）》十 第1次操作后，A盒子中恰好有1个红 ×()+是m≥2，且n∈N). 球和1个白球，B盒子中有1个红球和2个 白球，所以若第2次操作后A盒子中仍有1 所以Q.=6P.=-君×(-3)十 个红球和1个白球，则交换的2个球的颜色 相同P,一×+宁×号 ×(信)+0 由题意知，随机变量Y的所有可能取值 记重复进行n(n∈N')次这样的操作 为0,100,200，且P(Y=0)=1-P.-Qm, 后，A盒子中恰有2个红球的概率为Qm,A P(Y=100)=Pm,P(Y=200)=Qm。 盒子中球的情况有三种：一是恰好有1个红 所以数学期望E(Y)=100P+200Q.= 球和1个白球；二是2个球都是红球；三是2 个球都是白球，则A盒子中恰有0个红球的 20[()+4 概率为1一P一Qm。 例2(2025年南宁市毕业班摸底测 由全概率公式可得，当n≥3，且n∈N 试)流行病学调查表明，某种疾病S是由致病 时，P,=P×(货×号+安×)+Q× 菌α和致病菌B共同引起的，且至少杀灭其 2 中一种致病菌即可痊愈。 1+1-P.-1-Q。-1)×1×3· 1)现有某种治疗方案M,有号的概率 因为Qn-1=P。-:X 能杀灭致病菌α。若这种治疗方案能杀灭 1 39 致病菌。，侧它有是的概率能杀灭致病菌 若选择①进行证明：可得P, 6P.-1 B:若这种治疗方案不能杀灭致病菌α，则 它有的概率能杀灭致病菌B。求在使用 治疗方案M痊愈的条件下，能杀灭致病菌 P.-号}(n≥2，且n∈N)是首项为 1 α的概率。 (2)若市面上仅有两款药物A和药物B ，公比为一吉的等比数列。 1 对疾病S有疗效，且这两种药物的疗程均为 3天（假定药物使用时，均按疗程服用3天）， 1 若选择②进行证明：可得P。十3P。 超过3天无效时需换药进行治疗。若使用完 =(+P-)所以{P+ 两种药物仍不见效，依靠自身的免疫能力再 经过3天也能痊愈。已知药物A杀灭致病 君P,-}m≥2，且∈N)是首项为 1 菌。和致病菌B的概率分别为4，品 5'10:药物B 公比为。的等比数列。 杀灭致病菌。和致病菌B的概率均为10°试 9 (3)由(2)知，P。一 -P-1 问：应先使用哪种药物可使得痊愈的平均天 6 数更短？ (-3)(n≥2，且n∈N: 一2 (3)已知某种药物C能治愈疾病S的概 率为P。(0<P。<1)。设针对药物C的n(n (n≥2， ≥3)次临床试验中有连续3次或连续3次以 且n∈N")。 上治愈疾病S的概率为P,且每次治疗结果 13 中学生表理化智皱学幸新向 相互独立。求证：Pm+1>Pm≥1一（1一P)· 方法二：设P(A)表示药物A能治愈疾 [1-P8(1-P)]"-3。 病S的概率，P(B)表示药物B能治愈疾病S 【试题立意】本题以疾病治疗为健康领域 的概率，则P(A)=1-1-专)×1-6）) 情境，聚焦“条件概率+决策型问题十递推 证明”的高阶考查方向，融合贝叶斯定理、期 47 ,P(B)=1-（1-10) 91 99 50 1009 望比较、数列递推证明等知识点。题目体现 设先用药物A再用药物B来治愈疾病 “高观点下考初等化”的命题趋势，要求同学 S所需的天数为X1,先用药物B再用药物A 们从复杂的治疗流程中提炼概率关系，通过 来治愈疾病S所需的天数为X,则X,X 期望计算实现决策分析，充分考查逻辑推理 的所有可能取值均为3,6,9。 与数学应用的核心素养。 因为P(X1=3)=P(A),P(X1=6)= 解析：(1)设使用治疗方案M治愈疾病 [1-P(A)]×P(B),P(X,=9)=[1- S为事件D,使用治疗方案M能杀灭致病菌 P(A)]×[1-P(B)],P(X2=3)=P(B), 。为事件E,则P(D)=号+号×-品 P(X:=6)=[1-P(B)]×P(A),P(X:= 3 9)=[1-P(B)]×[1-P(A)],所以E(X,) 4。 -E(X2)=3P(A)+6[1-P(A)]×P(B) 因为事件E发生时事件D必发生，所以 -3P(B)一6[1-P(B)]×P(A)=3[P(B) P(ED)=P(E)=3。 2 -P(A)]>0。 所以E(X)>E(X:),故先使用药物B 故P(EID)=PED)=8 可使得痊愈的平均天数更短。 P(D) 9。 (3)先证：当n≥3时，Pw+1>Pm。 (2)方法一：设P(A)表示药物A能治愈 当n≥6时，Pw+1=Pm+P(1-P。)(1 疾病S的概率，P(B)表示药物B能治愈疾 P-3)。() 病s的概率，则P(A)=1-(1-)× 事实上，我们可以约定，针对药物C的0 次、1次、2次临床试险中有连续3次或连续3 (1-)-6pB)=1-(1-0)°-器 次以上治愈疾病S的概率分别为g,P,,P。, 设先用药物A再用药物B来治愈疾病 且q=P1=P:=0。 S所需的天数为X1,先用药物B再用药物A 由题意可得，P3=P,P,=2P8(1一P。) 来治愈疾病S所需的天数为X,则X1,X。 +P。=P8(2-P。),P,=P,+P8(1-P。)= 的所有可能取值均为3,6,9。 P(3-2P。),P。=P,+P8(1-P。)=P8(4 因为P(X,=3)=P(A),P(X1=6)= -3P。)。 [1-P(A)]×P(B),P(X1=9)=[1 在(*)式中，令n=3,得P,=P3+ P(A)]×[1-P(B)],所以E(X)=3P(A) P8(1-P。)(1-q)=P8(2-P。),表明n=3 +6[1-P(A)]×P(B)+9[1-P(A)]× 对()式成立，同理可验证n=4,n=5对 [1-P(B)]=3.1818≈3.18。 ()式也成立。 又因为P(X:=3)=P(B),P(X:=6) 综上可得，当n≥3时，P+1=P。十 =[1-P(B)]×P(A),P(X,=9)=[1 P(1-P。)(1-Pm-a)。 P(B)]×[1-P(A)],所以E(X:)=3P(B) 因为0<P。<1,0≤Pw-3<1,所以当n≥ +6[1-P(B)]×P(A)+9[1-P(B)]× 3时，Pm+1>P。o [1-P(A)]=3.0318≈3.03。 再证：当n≥3时，P,≥1-(1-P)[1 因为E(X1)>E(X2),所以先使用药物 P(1-P,)]"-3。 B可使得痊愈的平均天数更短。 设针对药物C的n次临床试验中未出现 14 阳学学备费月中学生凝理化 连续3次或连续3次以上治愈疾病S的概率 率模拟、智能设备故障迭代分析、生态种群数 为Qm,则Qn=1一Pm。 量变化预测等。同时，递推形式可能从单 因为当n≥3时，P。+1>Pm,所以当n≥3 等比递推，升级为“分段递推”“多状态递推”， 时，P。随n的增大而增大，则当n≥3时，Q 要求同学们能根据情境变化自主构建递推关 随n的增大而减小，且0<Q<1。 系，而非套用固定公式，凸显模型构建的核心 又当n=0,1,2时，Q,=1,所以当n≥3 能力。 时，Qm+1-Qm=-P。(1-P。)Qm-3<-P8(1 3.递推设问的层次性更强，强化思维过 -P。)Qm,可得Qm+1<[1-P8(1-P。)]Qn, 程考查 即Q。<1-P(1-P)。 设问将延续“基础计算一模型构建一进 Q 阶探究”的层级，但会加重对递推逻辑本身的 因为Q,=1一P,=1一P>0,所以当 追问，如“证明递推关系式的合理性”“分析递 4时8-品×8×…×会×8 推公比对结果的影响”等，而非仅停留在求解 层面。同时，可能增设开放性设问，允许同学 [1-P(1-P。)]3,即当n≥4时，Q。< 们基于递推模型提出优化方案，评分标准将 (1-P8)[1-P8(1-P。)]"-3,所以当n≥4 更侧重递推逻辑的完整性与表达的规范性， 时，P.>1-(1-P8)[1-P8(1-P。)]=3。 过程性得分占比进一步提升。 然而，我们观察P.≥1一(1一P8)[1 此外，贝叶斯定理与递推的结合可能成 P8(1一P。)]3发现，当n=3时，不等号左 为新的命题增长点。如条件概率与递推证明 侧为P,=P,不等号右侧等于P,所以当 的融合，未来可能进一步深化，要求同学们通 n≥3时，Pm≥1-(1-P8)[1-P8(1- 过递推推导多轮试验后的条件概率，实现“进 P。)]-3。 阶概率模型十递推逻辑”的高阶融合，考查思 综上可得，Pm+1>P.≥1-(1-P8)[1- 维的严谨性与连贯性。 P8(1-P。)]"-3。 针对2026年命题趋势，概率统计专题复 基于2024~2025年真题的递推考查逻 习需以递推思想为核心考点，摒弃“题海刷 辑与2025年模拟题的创新趋势，2026年全 题”的低效模式，聚焦三大实操方向：一是拆 国卷中概率与统计模块的解答题可能会沿着 解递推逻辑本源，分类总结“概率状态递推” “递推主线不变、融合维度升级”的路径推进， “统计决策递推”等题型的构建方法，明确递 具体呈现三大方向： 推关系式的推导依据（如全概率公式、分类讨 1.递推与统计的融合更趋紧密，形成“双 论思想)，做到“知其然更知其所以然”；二是 逻辑闭环” 强化跨模块融合训练，重点突破“递推十数列 2026年命题可能进一步打破概率与统 通项”“递推十条件概率”“递推十统计检验” 计的模块壁垒，以递推为概率核心，以独立性 的复合题型，刻意练习从复杂情境中剥离递 检验或回归分析为统计支撑，构建“动态概率 推主线的能力，形成解题敏感度；三是规范递 递推十静态统计推断”的复合题型。如结合 推表达流程，按照“情境分析定状态一分类讨 例2的命题思路，增设基于递推慨率结果的 论建递推一推导求解验结果”的步骤书写，尤 决策分析，要求同学们既会推导递推关系式， 其注重递推关系式的推导过程与逻辑说明， 又能通过统计数据验证模型合理性，强化“数 适配过程性评分标准。新高考对概率统计的 感十数据分析”的双重素养考查。 考查，本质是对“动态数学思维”的检验，唯有 2.递推模型的应用场景更具创新性，规 牢牢抓住递推这一核心，以思想带方法、以方 避模板化套路 法破题型，才能对概率统计解答题实现精准 命题将跳出传统抽球、比赛等场景，转向 突破，斩获高分。 更贴近民生科技的动态情境，如疫情传播概 (责任编辑王福华) 15