合理场景创设，剖析概率与统计知识的交汇融合-《中学生数理化》高考数学2026年6月刊

中学生表理化然皱学创新摩视猜题 合理场景创设，剖析概率与统计知识的交汇融合 ■甘肃省张掖市实验中学 杨兆星 统计与概率的综合应用问题，是立足情 -x)(y-y) 境创设与知识交汇的一个重要场景，成为高 xy:-nx·y 考中比较常见的考查类型。本文基于统计与 ∑(:-x) -nx: 概率的综合，从回归分析、独立性检验与概率 的交汇入手，结合典型实例剖析，归纳总结解 √322≈17.9。 题技巧，引领并指导同学们的复习与备考。 解析：1)油表1得x=6(20+30+40+ 一、回归分析与概率的综合问题 例1电影《哪吒2》上映以来，引起了 50+60+70)=45,y=1(60+65+70+78 6 全社会甚至全世界的关注，全球票房突破百 +80+85)=73。 亿。“跟着吒儿去旅游”成为热门出游方式， 某景点宜传投入金额（单位：万元）与游客满 而2a.-x)2=25+15+5+5+ =1 意度评分（满分：100分）之间可能存在一定 152+252=1750,∑(y-y)2=132+82+ 的关系，表1是随机抽取的6个不同线上宣 =1 传投入金额和游客满意度评分的数据： 32+52+72+122=460, ∑(x:-x)(y-y) 表1 =1 =25×13+15×8+5×3+5×5+15× 线上宣传 投人金额x万元)20 30 40 50 60 70 7+25×12=890,代入公式可得r= 890 89 89 游客满意度 评分y(分) 6065 70 7880 85 √/1750×√460 5√322 5×17.9≈ 0.99。 (1)根据表中所给数据，用相关系数r加 以判断，是否可用线性回归模型拟合y与x 因为r|≈0.99∈[0.75,1]，可以推断y 的关系？若可以，求出y关于x之间的线性 与x两个变量正线性相关，且相关程度很强， 可用线性回归模型拟合y与x的关系。 回归方程；若不可以，请说明理由。（精确到 890 小数点后两位) 因为6=1750≈0.51，a=y-6=73- (2)《哪吒2》中更是蕴含着丰富的中国 0.51×45=50.05,所以y关于x的线性回归 传统文化，某校举办中国传统文化比赛，甲、乙 方程为y=0.51x+50.05。 两人进入决赛，决赛采用“五局三胜制”，已知 (2)①若甲以3：2获胜，则前四局中甲、 在每局比赛中，甲获胜的概率为p,0<p<1。 乙各胜两局，且第五局甲获胜，所以f(p)= ①若甲以3：2获胜的概率为f(p),求 C号·p(1-p)2·p=6p3(1-p)2,0<p<1, f(p)的最大值； 则f'(p)=18p2(1-p)-12p3(1一p)= ②在①中，若f(p)mx=f(p,),以p。作 6p(p-1)(5p-3)。 为p的值，设甲、乙比赛的局数为，求的 分布列和期望。 令f'(p)=0,得p= 。则当p∈ 参考数据：y=a+bx,相关系数r= (x,-)(1-y) (0,)时f(p)>0:当b∈(，1)时. f'(p)<0。 (x (y:-y) 所以f(p)在(0，)上单调递增，在 22 解题篇创新题追根溯源 高三数学2026年6月 中学生数理化 (.1)上单调递减，则当p=会时，(p)取 (1)根据个频率 060 组罪 身高的频率分 得最大值/（停）-g12 648 103 布直方图，求 列联表中m,n 80185 ②由①知，p= 5,=3,4,5,则P(=3) 的值。 身高（单位：cm) (2)依据 图1 =(层）°+(1-)广=名P(=0=C× 小概率值&= (g)×(1-)×是+C×号×(1-)广× 0.05的独立性检验，能否认为高三年级学生 的性别与身高是否低于170cm有关联？ 1-）-P(=5)=c×(层) (3)用样本频率估计总体的概率，在全市不 低于170cm的学生中随机抽取2人，其中不低 0-是)×1=26 625 于175cm的人数记为X,求X的数学期望。 所以专的分布列为表2： n(ad-bc)' 附：X:=(a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 表2 P(X2≥3.841)≈0.05。 3 4 5 解析：(1)由图知，低于170cm的学生有 7 234 P 216 200×5×(0.005+0.015+0.030+0.060)= 25 625 625 110(名)，故不低于170cm的学生有90名。 234 216 所以m=110-50=60,n=90-20=70。 故E()=3× 十4× +5× 25 625 625 (2)易知X:=200×(60×70-20×50) 2541 80×110×120×90 6259 ≈21.5>3.841。 点评：依托合理的问题场景与实际应用， 所以依据小概率值α=0.05的独立性检 巧妙地将统计中的线性回归分析问题与概率 验，能够认为高三年级学生的性别与身高是 中的相关知识加以交汇，由此构建数据信息 否低于170cm有关联。 的综合应用。解决此类问题时，要对题设场 (3)由于不低于175cm的人数记为X,易 景中的文字加以全面阅读与理解，并对数据 知X的所有可能取值为0,1,2，又抽中不低于 信息加以系统分析与数学运算，合理构建数 175cm的概率p=200×5×(0.032+0,008) 学模型进行求解。 90 二、独立性检验与概率的综合问题 -号，所以P(X=0)=C×p1-b)- 81 例2为了研究某市高三年级学生的 性别和身高的关联性，抽取了200名高三年 P(X=1)=C×p'1-b)'-:p(X=2》 级的学生，统计数据，整理得到如表3所示的 16 =C2×p2(1-p)°= 列联表，并画出身高的频率分布直方图，如图 81 1所示。 放r(X)=0×+1×智+2×-8 8199 表3 ,点评：此类问题以生活题材为背景，涉及 身高 性别 合计 独立性检验与概率知识之间的综合与应用。 低于170cm 不低于170cm 解决此类问题时，首先，合理收集并处理对应 女 m 20 的数据信息；其次，列出2×2列联表，并按照 男 50 公式求得X的值后进行比较；最后，按照随 合计 200 机变量满足的概率模型求解。 (责任编辑王福华) 23