强化问题根本，破解概率与统计的综合问题-《中学生数理化》高考数学2026年6月刊

中学生表理化然皱学创新摩视猜题 强化问题龈本，破解概率与统计的综合问题 ■江苏省梅村高级中学 许润玲 随着新高考改革的稳步推进，高考愈加 景点纪念品)，且X的分布列如表2： 突出问题情境创设，注重数学的实际应用及 表2 逻辑性。而有关概率与统计的命题方向也更 X 2 3 4 加贴近现实生活，注重考查同学们的创新思 1 维能力。本文基于概率与统计的综合，强化 问题的根本，实现问题的突破与解决，引领并 现从某份团体票中随机抽取2张，恰有1 指导同学们的复习与备考。 张为有奖门票，求该份团体票中共有3张有 一、过“阅读理解关”一抓住关键语句， 奖门票的概率。 理清问题实质 解析：(1)设y关于t的经验回归方程为 阅读理解关，就是依托问题情境，从中剖析 y=à十t,则：=1+2+…+9 9 =5,y= 对应的场景应用与关键语句，理解问题表述的 内容与相关信息，进而加以理解相关问题的实 91 :-0.5)= 91.85×10 =1 质，初步形成数学概念、知识等条件，为进一步 的数学符号化处理，特别是相关函数、方程、 0.5)=2,∑t=2t-102=385-100=285, =1 =1 不等式等的正确构建创造条件。 例1杭州是国家历史文化名城，为了 :-2y-10×0.5=06-5=91.所 给来杭州的客人提供最好的旅游服务，某景 ∑t,y-9ty 点推出了预订优惠活动，该景点在某App平 以B= = 91-9×5×2= ∑ 285-9×52 -9t2 60 台10天预订票销售情况如表1所示： 表1 =y-=2- 品×5器 1 日期t 1 2 3 5 6 8 9 10 销售量 所以y关于t的经验回归方程是y= 1.931.951.971.98 2.012.022.022.052.070.5 y(万张) 231 1260 经计算得：y= 10 y:=1.85, (2)记“从某份团体票中随机抽取2张， 96,=385 恰有1张为有奖门票”为事件A,“该份团体 票中共有i张有奖门票”为事件B:,则 (1)因为该景点今年预订票购买火爆程 3,P(A1B,)= 1 度远超预期，该App平台在第10天时系统 P(B3)= CiC 1 C 2 异常，现剔除第10天数据，求y关于t的经 验回归方程：（结果中的数值用分数表示） 所以P(AB)=P(B,)P(AIB)= 6, (2)该景点推出团体票，每份团体票包含 CC:2 4张门票，其中X张为有奖门票（可凭票兑换 P(AB,)= C F3,P(A1B)=0. 人人，人人人，人人人人人人人人人，人人人人人人人人人人，人人人人，人人人，人人人人人，人人人人，人人人 及条件概率公式即可解决问题。 核心概念、主干知识和重要数学思想方法的 近几年高考中，涉及概率与统计模块的 考查，并在通性、通法的基础上，渗透原理论 高考试题，注重考查知识的基础性，依托统计 证，进行了适度的综合与创新。 与概率的交汇与融合，突出对概率统计中的 (责任编辑王福华) 18 解题篇创新题追根溯源 高三数学2026年6月 中学生教理化 所以P(A)=P(AB,)+P(AB3)+ 了变化？请说明理由。 P(AB)=P(B.)P(A B,)+P(AB)+ 解析：(1)设事件A为“某一一天此款甜品 PB)PA1B)=×号+日+0= 销售量不超过60个”，则P(A)=(0.01十 0.03)×10=0.4。 所以P(B,|A)= ”子即所求 (2)根据题意知，X一B(3,0.6),所以 P(X=0)=0.43=0.064,P(X=1)=C× 概率是3· 1 0.6×0.4=0.288,P(X=2)=C×0.62× 点评：过好“阅读理解关”，关键在于把握 0.4=0.432,P(X=3)=0.63=0.216。 回归分析与概率综合问题的解题思路：(1)此 故X的分布列为表3： 类问题的特，点为同一生活实践情境下设计两 表3 类问题：①求经验回归方程（预测）；②求某随 X 0 2 3 机变量的概率、均值、方差等。(2)充分利用 P 0.064 0.288 0.432 0.216 题目中提供的成对样本数据（或散，点图）作出 所以E(X)=0×0.064+1×0.288十 判断，确定是线性问题还是非线性问题。求 2×0.432+3×0.216=1.8。 解时要充分利用已知数据，合理利用变形公 (3)可以认为此款甜品的销售情况发生 式，以达到快速准确运算的目的。(3)明确所 求问题的事件类型，准确构建概率模型。 了变化。理由如下： 二、过“图形表格关”一获取相关信息， 设事件C表示“日销售量大于70个”，用 Y表示“30天内日销售量大于70个的天数”。 数学符号转化 由直方图知，P(C)=0.2。 图形表格关，就是从综合问题中给出的 又因为Y一B(30,0.2),所以E(Y)= 图表信息加以辨析，有时以图形形式出现，如 30×0.2=6<20。 折线图、频率分布直方图等：有时以表格形式 所以可以认为此款甜品的销售情况发生 出现，如分布列、2×2列联表等。从图表中 了变化。 的数据获取相关信息，并将其加以数学符号 ,点评：过好“图形表格关”，关键在于把握 化处理，为进一步的数学模型构建创造条件。 统计图表与概率综合问题的求解策略：(1)正 例2某甜品店为了解某款甜品的销 确识读统计图表，从图表中提取有效信息及 售情况，进而改变制作工艺，根据以往的销售 样本数据；(2)根据统计原理即用样本数字特 记录，绘制了日销售量 组距 征估计总体的思想，结合样本中各统计量之 的频率分布直方图，如 0.04 0.03 间的关系构造数学模型（函数模型、不等式模 图1所示。假设每天的0.02 型、二项分布模型、超几何分布模型或正态分 0.01 销售量相互独立，用频 04050607080 布模型等)；(3)正确进行运算，求出样本数据 率估计概率。 日销售量/个 中能句够说明问题的特征值，从而用此数据估 (1)估计某一天此 图1 计总体或作出科学的决策与判断。 款甜品销售量不超过60个的概率。 总之，概率与统计的综合问题是命制生 (2)用X表示在未来3天里，此款甜品 活实践情境类试题的最佳切入点，所涉内容 日销售量多于60个的天数，求随机变量X 考查数据分析、数学建模、数学运算、逻辑推 的分布列和数学期望。 理等核心素养，是近几年高考追逐的热点之 (3)该店改变了制作工艺以后，抽取了连 一。处理此类问题的关键是把握概率、统计 续30天的销售记录，发现其中有20天的销 的本质，合理构造模型，正确进行数学运算和 售量都大于70个，试问：根据抽查结果，能否 必要的逻辑推理，最终实现问题的突破与解 认为改变工艺后，此款甜品的销售情况发生 决。 (责任编辑王福华) 19