概率统计中的期望与递推问题研究——基于两道典型例题的分析-《中学生数理化》高考数学2026年6月刊

知识篇科学备考新指向 高三数学2026年6月 中学生数理化 概率统计中的期望与递推问题研究 基于两道典型例题的分析 ■郑州市第一中学 宋润锋 自2024年起，河南省高考数学正式启用 (i)求G(1),G(2)的值，以及G(n)的 新高考卷，概率统计模块的命题呈现出显著 表达式； 的变化特征。数据显示，2024年新高考卷中 (i)求G(n)的最大值及对应n的值。 概率统计题目占据3道（第9题、第14题、第 【试题立意】本题以智力答题为载体，考 19题)，2025年延续高频考查态势（第14题、 查条件概率、相互独立事件及概率乘法公式 第15题)，相较于此前全国乙卷，不仅出现频 的计算、离散型随机变量的分布列和数学期 次提升，难度更是实现跨越式增长—一2024 望、数列通项和数列单调性问题，属于生活实 年第19题首次以压轴题身份亮相，打破了传 践情境问题。符合课程标准中的要求：“结合 统导数、圆锥曲线垄断压轴位置的格局，成为 古典概型，会利用乘法公式计算概率：探索并 新高考命题创新的标志性突破。这一变革迅 掌握等比数列的研究，感悟数列是可以刻画 速引发连锁反应，近两年各地二模、联考等模 现实世界中一类具有递推规律事物的数学模 拟试题中，模仿2024年第19题风格的综合 型；能运用数列解决实际问题。” 型概率题频频出现，充分印证了该题型的命 解析：(1)两轮游戏后总得分X的所有 题导向价值。本文以两道典型概率统计例题 可能取值为0,1,2,3,4。 为研究对象，深入探讨离散型随机变量的分 由题意知，每轮回答A类问题且正确的 布列、数学期望的求解，以及递推数列在概率 111 概率为2×2=4，回答A类问题且不正确 问题中的应用。 例1甲参加了一场智力问答游戏，每 的概率为宁×子 1 轮游戏均有两类问题（难度系数较低的A类 每轮回答B类问题且正确的概率为2 问题及难度系数较高的B类问题)供选择，且 每轮游戏只回答两类问题中的一个问题。甲 4一8，回答B类问题且不正确的概率为 遇到每类问题的概率均为？，甲遇到A类同 1、33 2×4=8 题时回答正确的概率为分，回答正确记1分， 所以P(X=0)=1》 4大3 十3 +2X 否则记0分：甲遇到B类问题时回答正确的 1 .325 概率为子，回答正确记2分，否则记0分。现 4×8=64 总得分记为X分，且甲回答每轮问题是相互 P(X=1)=1X 十3 4×2+1 2 独立的。 16 (1)当进行完两轮游戏后，求甲的总得分 X的分布列与数学期望。 8×2+ 4 (2)设甲在每轮游戏中均回答正确且累 7 计得分为n分的概率为G(n)。 8×2=32 9 中学生教理化智数幸种幸新指向 11 1 P(X=3)= 经检验，当n=1,n=2时均满足上式，故 4×8×2=16 P(X=4)= 111 cm)=3×[(-)广+（合）] 8×8=64· 故X的分布列为表1： (1)由(i)知G(m)=3×[(-)广+ 表1 ()]≤×[)》'+()]· 0 1 2 4 P 25 5 1 1 因为×[)广+()]显然随若 64 32 16 64 所以E(X)=0× 25 64 +1×16 2×32 的增大而减小，所以G(m)≤号×[（日）广十 3X1 6+4×64=1. ]-音-c2m≥2 又因为G(1)>G(2),所以当n=1时， 1 (2)(i)G(1)= 4。 G(m)取到最大值为子· G(2)= +× 1 例2某珍稀植物保育点设有4个独 由题意知，甲累计得分为n分的前一轮 立苗床。初始时，1个苗床定植成功，3个为 得分只能为(n一1)分或(n一2)分。 空置。每季度，保育员随机巡查1个苗床(4 所以当n≥3时，G(n)=1G(n-1）十 个等概率)，若该苗床为空置，则补种，成活概 4 率为50%；若该苗床已成功，则仅进行养护 名m-2》.因tG(m)-名G(m-1) 1 (状态不变)。记第n季度后成功苗床数为随 机变量Xn,E(Xn)为X。的期望。 1G(-1)+G(-2)--1G(-1) 1 (1)求P(X2=2)。 1 Gn-2)],即{G(m+1)-2G(n)是 1 (2)①对n∈N,请用P(X。=k),P(X。 =k一1)和k(k=1,2,3,4)这三个量表示 以为首项，一青为公比的等比数列，所以 P(X+1=k): ②证明点(E(X.),E(Xm+1)在一条直 G(n+1)-2G(n)=6×(-)。① 线上，并求出该直线的方程。 【试题立意】本题第(1)问的试题立意与 又G()+子G(n-1)-2G(n-1D+ 例1一样。第(2)问的第①小问是利用全概 gG(m-2)=2[cm-D+7cm-2)], 率公式求出表达式；第②小问是利用数学期 望公式，结合第①小问的结论计算得证，进而 故G(n+1)+子G(m)是以是为首项，号为 求得直线方程。 公比的等比数列，所以G(n十1)+寻G(n)= 解标：1)依题意，P(X,=1）-}+子× 子×(2）)。@ 由②-①，得是G()=子×（分） P(X=2》=×号-8P(X:=21X=2) ×(-）,所以G)=3×(合)+ =+× 3×(←) 由全概率公式得P(X。=2)=P(X =1)P(X2=2|X1=1)+P(X1=2)P(X2= 10 高数学普指月中学生教理化 知识篇科学备考新指向 2X,=0)=音×骨+受×-品+-。 记忆。 2.考查内容综合化：跨模块融合与模型 (2)①P(X。=0)=0,所以P(Xm+1=k) 创新 年P(X.=)+分×P(X.=)+ 命题将突破“单一知识点考查”的传统模 4 式，呈现两大融合特征：一是跨模块知识交 4 X2P(X。=k-1)=6+4, 4-(k-1)、1 8P(X, 汇，如概率与数列递推（投篮、比赛得分问题） =)+5P(X.=k-1)(k=1,2,3,4)。 的结合、概率与函数最值（利润最大化、风险 控制)的结合、统计与回归分析（数据预测）的 5 结合，2025年真题中递推模型的考查正是这 ②由①得，E(X)=1×名+2×8=8， 一趋势的体现；二是模型应用创新，除古典概 E(Xm)=P(X,=1)+2P(X.=2)+3P(X 型、二项分布等基础模型外，贝叶斯定理等进 =3)+4P(X.=4)。 阶模型的基础应用将逐步渗透，同时强调“模 所以E(X+1)=P(Xm+1=1)+2P(Xw+i 型构建一求解一检验”的完整流程。 =2)+3P(X.+1=3)+4P(Xm+1=4)= 3.情境设计多元化：现实导向与素养落地 8P(X,-1+2[8P(X.-2)+号PX. 题目情境将更加贴近生活实际、经济发 展与科技应用，如社区养老满意度调查、疫苗 1】+3[p(X.=3+P(x.=2]十 临床试验数据统计、电商优惠券发放策略、极 端天气概率预测等场景将频繁出现。情境设 4[P(x.=4+gP(X.=】]=gp(X, 计不仅是背景装饰，更将承载“信息提取一模 1D+是P(X,=2+要P(X.=3)+竖P(x 型简化一问题解决”的考查功能，要求同学们 从复杂文本中提炼核心变量，构建数学模型， =4)=2[P(X.=1)+P(X.=2)+P(X, 真正实现“用数学思维解决实际问题”的素养 落地。 =3)+P(X,=4]+名[P(X.=1D+ 4.设问方式开放化：强化决策与探究性 借鉴2024年压轴题的开放特征，未来设 2P(Xm=2)+3P(Xm=3)+4P(X.=4)]= 问将减少单纯的计算类题目，增加决策型、探 究型设问，如结合统计结果给出合理建议、分 所以点(E(Xm),E(X+1)在直线y= 析模型的适用边界、比较不同建模方法的优 7 劣等。这类设问无唯一标准答案，重点考查 +号上 同学们的逻辑表达能力与数据分析素养，呼 结合新高考真题特征、模拟题命题走向 应新高考“选拔拔尖创新人才”的核心目标。 及新课标要求，未来几年河南省高考概率统 总之，新高考的推行推动了概率统计模 计模块将呈现以下四大趋势： 块的命题革新，从“基础考查”到“压轴攻坚” 1.命题地位常态化：压轴题成为重要考 的转变，本质是高考对核心素养考查的深化 查形式 在复习备考过程中，同学们需跳出“题海战 从真题数据看，概率统计已从全国乙卷 术”，回归教材本源（如全概率公式、递推问题 的“基础配角”转变为新高考的“核心主角”， 原型)，强化“情境解构一模型构建一逻辑推 占分比例从7%提升至18%，压轴题出现频 理”的能力链条，重点关注跨模块融合题型与 率显著增加。未来命题中，概率统计将与导 现实情境题。唯有精准把握命题趋势，才能 数、圆锥曲线形成“三足鼎立”的压轴格局，且 在概率统计这一“新压轴战场”上占据主动， 更倾向于以解答题压轴形式出现，重点考查 实现分数突破。 同学们的综合应用能力，而并非单纯的公式 (责任编辑王福华) 11