频率分布直方图中特征数估算的常见误区解析-《中学生数理化》高考数学2026年6月刊

中学生数理化 解题篇易错题归类剖析 高三数学2026年6月 频率分布直方图中特征数估算的常见误区解析 ■湖南省长沙市长沙县实验中学 欧鹏飞 频率分布直方图是统计学中的重要工 解析：(1)由A品种小麦的频率分布直 具，也是高考数学考查的重点内容。在涉及 方图知，A品种小麦的极差为52.5一27.5= 颇率分布直方图的试题中，常需根据图表估 25,众数为40十45=42.5。 算数据的特征数（如平均数、中位数、众数、方 2 差等)，而此类估算问题极易出现理解偏差与 由B品种小麦的频率分布直方图知，B 计算错误。针对这一问题，本文系统梳理了 品种小麦的极差为52.5一32.5=20，众数为 颇率分布直方图中特征数估算的常见题型， 40+45=42.5。 2 深入分析各类特征数在估算过程中的常见误 (2)由(1)知，两个品种小麦的重量众数 区，并提出相应的解题策略，以期提升同学们 均为42.5，而A品种小麦的极差为25，B品 对统计图表的阅读理解与数据处理等能力。 种小麦的极差为20，所以B品种小麦的重量 一、估算极差与众数 比较集中，故B品种小麦的长势较A品种小 极差与众数是频率分布直方图中用于描 麦的长势好些。 述数据特征的两个基本指标，分别反映数据 易错提醒：在解答本题的过程中，需注意 的离散程度和集中趋势。在估算过程中，通 两个易错点：其一，频率分布直方图是对数据 常以各组数据的组中值作为该组的代表值： 进行分组处理后的表示形式，无法提供原始 极差通过最后一组的组中值减去第一组的组 具体数值，因此，在计算时通常以各组的组中 中值来近似计算，而众数则取频率最高组的 值代表该组数据；其二，在利用极差和众数等 组中值作为其估计值。 统计量进行分析时，必须准确理解其统计意 例1某高中学校将劳动教育作为办 义与实际作用，避免脱离实际背景的机械比 学特色，为有效融合科学知识与实践应用，在 较，从而作出科学合理的评估。 校内种植基地种植了A、B两个品种的小麦。 二、估算中位数与百分位数 小麦成熟后，为开展研究分析，分别从两个品 在频率分布直方图中，中位数与百分位 种中各随机选取100份样本，每份包含1千 数均用于刻画数据的位置特征，二者作用相 粒小麦，测量其重量，并绘制出两个品种小麦 似，其中中位数可视为第50百分位数，是百 重量的颇率分布直方图，如图1、图2所示。 分位数的一个特殊情形。在估算这类位置特 个须率/组距 ◆频率/组距 0.06 征时，通常从左向右逐项累加频率，当累计频 0.05----- 0.0 率达到m(即总数的100m%)时，所对应的右 0.04 端点值即为第100m百分位数。 0.03 0.011 0.01f-1 例2某校举办了一场航空科技知识竞 B品种小麦 赛（满分100分），参赛 ◆频率/组距 A品种小麦 0.030 图1 图2 人数为2000人。比 0.02 (1)请根据图表估算A、B两个品种小麦 赛结束后，组委会将0.01 0.01 重量的极差和众数： 参赛成绩整理并绘制 0.005 (2)结合极差与众数，对两个品种小麦的 成了频率分布直方 5060708090100成绩/分 长势进行比较分析。 图，如图3所示。 图3 32 解题篇易错题归类剖析 高三数学2026年6月 中学生数埋化 (1)估算所有参赛成绩的中位数（结果精 入社区开展宣传教育活动。现共有500名志 确到0.01)： 愿者报名参与，从中随机抽取100名进入小区 (2)研究决定，在参赛者中，选出8%的 进行宣传。通过数据统 参赛者进行奖励，估算应奖励的最低分； 计与分析，得到了这100 0.0 (3)估算成绩的上四分位数。 名志愿者年龄的频率分 解析：(1)由图3可得，(0.005+0.015+ 布直方图，如图4所示。 0.0 2025303药404书年续/岁 0.020)×10=0.4,又0.5-0.4=0.1,0.1÷ (1)求图中x的值， 图4 0.030≈3.33,70+3.33=73.33，所以所有参 并根据频率分布直方图 赛成绩的中位数为73.33分。 估算这100名志愿者的平均年龄： (2)要对8%的参赛者进行奖励，即要求 (2)估算这100名志愿者年龄的方差； 竞赛成绩的第92百分位数。 (3)若从这100名志愿者中按分层抽样 因为(0.005+0.015十0.020+0.030+ 的方法，从第2组、第4组和第5组中共同抽 0.020)×10=0.9,又0.92一0.9=0.02， 取6名志愿者，前往小区中心广场开展宣传 0.02÷0.010=2,所以90+2=92，故要对8% 活动，再从这6名志愿者中随机选取2名担 的参赛者进行奖励，奖励的最低分为92分。 任主要负责人，求所选2名负责人来自同一 (3)上四分位数其实质就是求第75百分 年龄组的概率。 位数。 解析：(1)由图4可得，(0.01+0.02十 因为(0.005+0.015+0.020+0.030)× 0.04十x+0.07)×5=1,解得x=0.06。 10=0.7,又0.75-0.7=0.05,0.05÷0.020 这100名志愿者的平均年龄为(22.5× =2.5,所以成绩的上四分位数为80十2.5= 0.01+27.5×0.04+32.5×0.07+37.5× 82.5分。 0.06+42.5×0.02)×5=(0.225+1.1+ 易错提醒：在解答本题的过程中，需注意 2.275+2.25+0.85)×5=33.5(岁)。 三个易错点：其一，应根据频率分布直方图的 (2)由(1)知，这100名志愿者的平均年 特点，从第一组开始逐组累加频率，直至累计 龄为33.5岁，则这100名志愿者年龄的方差 频率接近所求百分位数对应的位置：其二，在 为s2=5×[0.01×(22.5-33.5)2+0.04× 确定百分位数所在组后，若累计频率未达到 (27.5-33.5)2+0.07×(32.5-33.5)2+ 目标百分位，需采用“差多少补多少”的思路， 0.06×(37.5一33.5)+0.02×(42.5 通过下一组的数据进行补充，并结合小长方 33.5)]=5×(1.21+1.44+0.07+0.96+ 形面积等于频率的原理，反推出所需补充的 1.62)=26.5。 组距长度；其三，计算百分位数的具体数值 (3)由图4知，第2组、第4组和第5组 时，应以最后一组的左端点为基础，加上所补 的频率之比为0.040.06：0.02=2：3： 部分对应的组段长度，从而准确得出结果。 1,要从中抽取6名，则第2组应抽2名，第4 三、估算平均数与方差 组应抽3名，第5组应抽1名。再从6名志 平均数和方差是分析数据的两个重要指 愿者中抽取2名，共有C种抽法。 标，分别用于反映数据的集中趋势和离散程 这2名志愿者的年龄在同一组有两种情 度。在计算过程中，通常以每组数据的组中 况：一是均来自第2组，有C号种：二是均来自 值作为代表值，先根据平均数的计算公式求 第4组，有C种。 得数据的平均水平，再以此为基础，代入方差 所以所选2名负责人来自同一年龄组的 的计算公式，得出数据的波动情况，从而全面 概率为P= C2+C4 刻画数据的分布特征。 C159 例3为了增强小区居民的防诈骗意 易错提醒：在解答本题的过程中，需注意 三个易错点：其一，计算时应以各组区间的中 识，相关部门决定招募反诈骗宣传志愿者，深 33 中学生数理化 解题篇经典题突破方法 高三数学2026年6月 探析概率背景下的合理决策问题 ■江苏省怀仁中学 王志英 伴随着数字化时代的到来，概率与统计 限)，试问：买方丙应该如何使用方案三，才能 知识显得越来越重要，它是理解随机世界的 获得最多的优惠？请说明你的理由。 一把钥匙。如何对现实生活中随机事件作出 解析：(1)买方甲要在该厂购买200箱这 合理决策是高考压轴题的一类重点题型，它 种零件，并选择方案二。 能综合考查数学抽象、逻辑推理、数学建模、 若买方甲以每箱优惠8%的价格成交， 数据分析等核心素养。本文尝试从数学的角 则成交的金额为500×(1一8%)×200 度对概率背景下的决策问题进行分析，为同 10 学们积累“依托数据探索规律，从而作出判 9.2(万元)； 断”的学习经验。 若买方甲以每箱优惠6%的价格成交， 一、参照期望高低，择优选定方案 500×(1-6%)×200 则成交的金额为 10 例1某零件厂销售部以箱为单位销 9.4(万元)： 售某种零件，每箱零件的定价为500元，低于 若买方甲以每箱优惠5%的价格成交， 200箱按原价销售，不低于200箱有两种优 则成交的金额为500×(1-5%)×20 10 、 惠方案。 方案一：以200箱为基准，每多100箱免 9.5(万元)。 12箱的金额。 故买方甲以低于9.5万元的金额购买这 方案二：通过双方议价，买方能以每箱优 200箱零件的概率为0.3十0.4=0.7。 惠8%的价格成交的概率为0.3，以每箱优惠 (2)买方乙在该厂购买400箱这种零件。 6%的价格成交的概率为0.4，以每箱优惠 若买方乙选择方案一，则成交的金额为 5%的价格成交的概率为0.3。 500×400 100c0×12×50)×0 (1)买方甲要在该厂购买200箱这种零 100 件，并选择方案二，求甲以低于9.5万元的金 18.8(万元)。 额购买这200箱零件的概率。 若买方乙选择方案二，设成交的金额为 (2)买方乙要在该厂购买400箱这种零 X万元，则P(X=500×(1-8%)×400 、 10 件，以购买总价的数学期望为决策依据，试 P(X=18.4)=0.3: 问：买方乙选择哪种优惠方案更划算？请说 P(X- 500×(1一66)×400 明你的理由。 =P(X= 10 (3)买方丙要在该厂购买960箱这种零 18.8)=0.4: 件，由于购买的箱数超过500箱，该厂的销售 500×(1-5%)×400 P(X= P(X- 部让买方丙综合使用这两种方案作为第三种 10 方案，即一部分用方案一（箱数必须是100的 19)=0.3。 正整数倍)，另一部分使用方案二（箱数不 所以买方乙按方案二在该厂购买400箱 公公公含馆保点螺高公瓷公公点线点燃盒公心公点保益。公公公益公气g公今公公高g益露除常含点保益然瓷螺馆点体点然含公馆益线点公气 点值代表该组数据，这是近似处理的关键；其 三，在求频率时，应注意频率等于频率分布直 二，计算平均数不能简单地将各组中点值相 方图中对应小长方形的高乘以组距，这一关 加后除以组数，而应采用加权平均的方法，即 系容易被忽视或误用，是解题中常见的错误 用每组中点值乘以其对应的频率，再求和；其 来源。 (责任编辑王福华) 34