深入问题本质，破解二项分布和超几何分布问题-《中学生数理化》高考数学2026年6月刊

中学生数理化 解题篇创新题追根溯源 高三数学2026年6月 深入问题本质，破解二项分布和超几何分布问题 ■湖南省长沙市南雅中学 刘龙潭 分布列作为概率考查的核心形式之一， 涵盖了众多类型，其中二项分布与超几何分 (-)·(层)广=+品+”-。 布以常见性和重要性而备受瞩目。研究显 (2)由(1)知，要使该药通过试验，则治好 示，在这两种分布列的考核中，同学们的平均 的人数X的所有可能取值为3,4,5。 得分率并不理想，主要原因是对其理解不够 则在该药痊愈率P= 子的情况下，该药 深入，有时甚至出现误用的现象。为了有效 通过实验，能推广使用的概率为P(X>2)= 解决这一问题，本文将围绕二项分布模型的 P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)= 概率问题、统计中的二项分布描绘及统计中 的超几何分布呈现等维度展开详尽的探讨。 c0-).(）)'+c(-)广.()'+ 一、二项分布模型的概率问题 此类问题通常出现在n重伯努利试验的 c-》·()-翠++-器 环境中，目的是计算概率或分布列。一般地， 点评：本题涉及5个病人的治疗试验，每 在n重伯努利试验（也称为独立重复试验）中， 个病人被治愈的概率是固定的，所以整个试 问题往往遵循二项分布的概率模型，因此解决 验可以被视为独立重复试验，满足二项分布 问题应当依据二项分布的概率原理来处理。 的概率模型。在解决此类问题时，要先识别 例1某医疗科研团队研发了一种新 题目中的关键特征，即独立重复试验。一旦 药，临床试验治疗对患者痊愈率为P。该药 识别出这一点，就可以依据二项分布的概率 品能否推广，需要进行有效试验，即5个病人 模型来计算各种可能性的概率。 中，至少有3人被治好，则认为这种药有效， 二、统计中的二项分布描绘 可以推广使用；反之，则认为无效，不能推广 在统计学领域，尤其是直方图的上下文 使用。 中，二项分布与超几何分布常常容易引起混 1)若该药痊愈率达到P-号，求该药不 淆。通过对比二项分布和超几何分布的特点 可以发现，二项分布描述的是一系列独立重 能推广的概率； 复的试验，每次试验成功的概率都是相同的， (2)若该药痊愈率P=1 ,求该药通过试 或者是在有放回抽取的情况下进行。 例2某工厂生产一批空心圆柱形零 验，能推广使用的概率。 件，为了检验产品的质量，现对一批产品的内 解析：(1)记5人中治好的人数为X。 由已知，该药不能推广，则试验为无效， 径（单位：mm)进 组距 即试验的5个病人中，治好的人数X的所有 行测量和统计， 可能取值为0,1,2。 得到如图1所示 则该药不能推广的概率为P(X<3)= 的频率分布直方1。 P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)= 图。以频率估计 352.452.552.652.752.85内径/ 概率，若从这批 图1 c(1-)·(子)广+c0-子)·()）+ 零件中随机抽取 24 解题篇创新题追根溯源 高三数学2026年6月 中学生数理化 4个，记内径在区间[2.45,2.55)内的零件个 中随机抽取3人，记专 ◆频率/组距 88贤 数为X,求X的分布列和数学期望。 为3人中成绩在[80， 0.02 解析：由已知得，(1.0十a十3.5十3.0+ 90)内的人数，求的 0.5)×0.1=1,解得a=2.0。 分布列和数学期望。 0.004 ☐成绩/分 内径在区间[2.45,2.55)内的频率为 解析：由频率分布 405060708090100产 2.0×0.1=0.2,则由题意知，随机变量X服 直方图，得(0.004× 图2 从二项分布，即X~B(4,0.2)。 2+m+0.022+0.028 由题意知，X的所有可能取值为0,1,2， +0.30)×10=1,解得=0.012。 3,4,则P(X=0)=C9(0.8)‘·(0.2)°= 已知成绩在[70,80)，「80,90)，[90,100]内 0.4096;P(X=1)=C(0.8)3·(0.2)1= 的人数比为0.28：0.12：0.04=7：3：1。 0.4096:P(X=2)=C(0.8)2·(0.2)2= 又从70,80)，[80,90)，[90,100]的三组 0.1536:P(X=3)=C(0.8)1·(0.2)3= 中抽取11人，所以从[70,80)，[80,90)，[90， 0.0256；P(X=4)=C(0.8)°·(0.2)= 100]的三组中分别抽取7人，3人，1人。 0.0016。 再从这11人中随机抽取3人，记为3 所以随机变量X的分布列为表1： 人中成绩在[80,90)内的人数，则随机变量 表1 的所有可能取值为0,1,2,3，则P(=0)= CC956 CC 28 0 1 2 3 4 C165P(g=1)= C 55P(5=2) 0.40960.40960.15360.02560.0016 cic -8 C 5P(g=3)= CC 1 C1659 故数学期望E(X)=4×0.2=0.8。 所以随机变量的分布列为表2： 点评：本题聚焦于频率分布直方图中二 表2 项分布概率模型的应用。有些同学在面对这 类问题时，会误用超几何分布进行求解，原因 0 1 2 是能明显看出数据在区间[2.45,2.55)内和 56 28 8 165 55 55 165 区间[2.45,2.55)外是分层的。然而，题目明 确要求“以频率估计概率”，这是二项分布模型 故数学期望E()=0×165 56 +1×28 5 的主要特征。因此，在解决该问题时，应该选 1 9 择二项分布模型，而不是超几何分布模型。 2 55+3 16511° 三、统计中的超几何分布呈现 点评：本题旨在通过频率分布直方图考 此类问题通常出现在频率分布直方图 查超几何分布的模型，解题时需细致区分二 中，与二项分布相似，但关键区别在于抽取对 项分布和超几何分布的特征，避免混淆。解 象的分层非常明确，且不会涉及“以频率估计 答过程与常规分布列问题的步骤相同，此处 概率”的情况。因此，在解决这类问题时，需 不再赘述。 要运用超几何分布模型来进行计算。 针对二项分布与超几何分布的难点，本 例3为了从学校选派学生参加省数 文通过对比分析两类题型，明确了两种分布 学联赛，学校组织了一次校内数学竞赛，成绩 列的结构特征，深入揭示了其问题本质。同 按照百分制，现有50名学生报名，通过统计 时，从两类分布的常见题型中总结易混题型， 这50名学生这次校内数学竞赛成绩绘制如 详细剖析了每种题型的答题策略与技巧，并 图2所示的频率分布直方图。现按照分层抽 进一步探究问题本质，明确提出了关键识别 样的方法从50名学生中成绩在[70,80)， 方法，旨在为同学们解决此类问题提供系统 [80,90),[90,100]内抽取11人，再从这11人 的思维路径。 (责任编辑王福华) 25