深度认知数学问题情境，破解圆锥曲线的离心率问题-《中学生数理化》高考数学2026年3月刊

解题管效创新题追提测酒中学生教理化 高三数学2026年3月 ● 深度认知数学问题情境，破解圆锥曲线的离心率问题 ■江苏省常州市龙城高级中学 庄心璇 解析几何作为高中数学的核心知识模 AF,即 =(2c)2+ 块，历来是高考命题的重点考查内容，其中圆 ,整理可得6 锥曲线的离心率问题因其综合性强、计算复 =4c2。又因为椭圆C的长轴长为4√，所以 杂度高成为同学们普遍反映的难点。通过系 统梳理近几年高考命题特征，将离心率问题 a=23。将a=25代人 a" =4c2,得b1= 归纳为三大核心题型：基于定义公式的直接 16c2,即b2=4c。再将a=2√5和b2=4c代 计算型、需要构建线性方程的转化型，以及问 入a2一b2=c2,整理得c2十4c一12=0，解得 题条件求解取值范围的综合型。下面结合典 c=2或c=一6（舍去），以椭圆C的离心率 型例题，深人剖析各类题型的命题特征与解 题策略，为同学们提供可操作的应试指导。 a 3 一、直接运用定义公式的基础计算型 ,点评：本题属于椭圆离心率的基础计算题 这类题型属于基础计算型，其典型特征 型，具体考查了椭圆的定义、通径及相关性质。 在于题目条件可直接求出椭圆或双曲线中的 解答这类问题的一般步骤为：首先，根据题目 a,b,c三个关键参数。具体表现为：根据已 条件建立关于a,b,c的方程（通常需至少两个 知条件，至少能建立三个关于a,b,c的方程， 方程)；其次，结合椭圆的基本性质a2一b2=c 从而通过代数运算确定这些参数值。这类题 联立求解，通过代数运算确定参数值；最后，直 目主要考查同学们对圆锥曲线基本定义的掌 握程度和基础计算能力。 接套用离心率公式e=二或e= 进行 a 例1已知FR是椭圆C:号+若 计算。解题的关键在于准确构建方程组，并灵 活选择参数求解路径，这类题目主要考查同学 =1(a>b>0)的左焦点和右焦点，且椭圆C 们对椭圆的定义与基本公式的掌握程度。 的长轴长为4√3。过F,且与椭圆C的对称 二、建立线性方程组的转化求解型 轴垂直的直线与椭圆C交于A,B两点，若 这类题型相较于基础计算型，难度显著 △F1AB为等边三角形，求椭圆C的离心率。 提升。其典型特征在于题目通常仅提供一个 解析：因为过F,且与椭圆C的对称轴 方程，难以满足a,b,c三个参数的求解需求。 垂直的直线与椭圆C交于A,B两点，所以 解题时需采用整体思想，通过建立参数间的 AB为椭圆C的通径，即AB=2b 。又因为 关联关系，将离心率表达式转化为待求变量 △F,AB为等边三角形，所以AF1=AB= 的等式关系，从而避免直接求解a,b,c。这 种方法既体现了数形结合的数学思想，又符 。在△AFF中，因为AB⊥FF,所以 2b2 合高考对思维灵活性的考查要求。 △AF,F1为直角三角形，故AF1=F1F十 例2设F1,F2分别是双曲线M: ******来***********************米*米*******************米**********华*********华************ 三大实际应用场景：优化问题：通过坐标系转 优化参数（如半径）。解题的核心策略：立足 换目标函数，结合三角函数或不等式求极值； 数形结合，强化“坐标系构建一数学建模一方 航海安全问题：将方位、距离转化为坐标系中 程求解”的解题路径，突出转化思想与数学建 直线与圆的方程，通过距离比较判断风险；测 模素养的应用价值。 量问题：综合直线与圆的方程，通过约束条件 (责任编辑王福华) 15 中学生表理化学新摩程猜 a一方=1(a>0,b>0)的左焦点和右焦点。 离心率的范围，其解题思路与求具体值类似： 已知双曲线M的右支上存在一点N,使得 第二类是通过建立二或么的函数关系，借助 NF1⊥NF2,且△NF1F,的面积为2a,求双 求函数最值的方法来确定离心率的取值范 曲线M的离心率。 围。两类题型都体现了从具体到抽象的思维 解析：已知双曲线M上存在一点N,使 提升，需要同学们在掌握基础计算的同时，具 得NF1⊥NF2,所以△NF1F,为直角三角 备更强的函数分析和参数控制能力。 形。因为NF1⊥NF,且△NF1F,的面积为 例3已知F1,F,分别是椭圆C:+方 x2,y2 a 2a,所以2NF·NF,=2a2,即NF·NF =1(a>b>0)的左焦点和右焦点，A是椭圆C上 =4a2。已知点N在双曲线M的右支上，由 任意一点，点B与点A关于原点O对称。若 双曲线的定义知NF,一NF2=2a。在 Rt△NF,F2中，有NF+NF=F1F,即 AF:BF设∠ABE=e,且a∈[5]，求 NF+NF号=4c2。由NF1-NF2=2a两边 椭圆C的离心率的取值范围。 平方，得NF十NF-2NF1·NF2=4a。 解析：由椭圆的定义及其特征，知四边形 将NF1·NF2=4a”,NF+NF=4c2,代入 F1AF2B为平行四边形。又AF2⊥BF2,所 以四边形F1AF,B为矩形，则OA=OB= 得c28a=4a,即4c12a2,则有3 OF1=OF2=c,因此AB=F1F2=2c。因为 AF2⊥BF2,∠ABF,=a,所以在Rt△ABF, 所以双曲线M的离心率e=C=√3。 中，有AF,=2 csin a,BF2=2 ccos a。又因为 或由4c2-8a2=4a2,得c2=3a2,即a2+ BF,=AF1,由椭圆定义知AF1十AF2=2a, 6二3a,则有6=2，所以双曲线M的离心 所以有2 esin a+2 ccos a=2a,即c(sina十 cosa)=a,则e= b a sin a+cos a 率e= √1+ =√1+2=√3。 1 点评：本题属于参数关联型离心率问题， na+号osa】 v2sin(a+天) 具体考查了双曲线的定义及其相关性质，其 典型特征在于通过已知条件建立的三个方程 又a∈[臣，]，则a+至∈[行，]所以 并非仅关于a,b,c三个参数，最终只能得到 一个约束方程，因此无法直接求出具体数值。 <sma+)≤1，即5∈Ena+) 解答这类问题的一般步骤为：首先，根据条件 建立关于a,b,c的约束方程；其次，结合圆锥 √6 ,所以椭圆 3 曲线的性质（椭圆a2一b2=c2或双曲线a2十b2 sim(e+) =c2)进行消掉b或c;最后，通过整体代换求 C的离心率的取值范围为 得二或。，进而得到离心率。解题核心在于灵 ,点评：本题聚焦椭圆离心率取值范围的 活构建参数间的约束关系，由于这类问题的方 求解，在给定约束条件下综合考查椭圆的定 程形式多样，需要具体分析题目情境，体现了 义、几何特性（如形状特征）及三角函数应用。 对数学建模能力和代数变形技巧的综合考查。 解答这类问题的一般步骤为：首先，解析条 三、涉及离心率范围分析的综合探究型 这类题型在求离心率值的基础上进一步 件，梳理等式关系：其次，枸建以二或么为变 a 拓展为求取值范围，主要分为两种类型：第一 量的函数模型；最后，通过极值分析确定离心 类是通过确定a,b,c参数的取值范围来推导 率的取值范围。 (责任编辑王福华) 16