剖析破解三角形最值问题的基本思维策略-《中学生数理化》高考数学2026年2月刊

中学生数理化 解题篇创新题追根溯源 高三数学2026年2月 剖析破解三角形最值问题的基本思维策略 ■江苏省泰州市姜堰区蒋垛中学 赵阳 作为高考命题中的主干知识之一的解三 √5 sin Csin Bcos A。 角形及其综合应用，其中相关目标对象，诸如 因为sinC>0,sinB>0,所以sinA= 对应元素（边长的大小、内角的三角函数值） √3cosA,故tanA=√3。 或代数式的最值（或取值范围）等的设置与考 查，是命题中最为常见的一类综合问题，也是 因为A∈(0，π)，所以A= 39 高考中的一个热点与重点问题。此类问题的 (2由正弦定理mA一sin Bsin C b 求解方法多样，选取合适的技巧与方法，成为 突破与解决问题的关键。 2R=2√5，得b=2√5sinB,c=2√3sinC,故 一、三角函数思维 2c-b=4√5sinC-2√5sinB=2√3(2sinC 利用三角函数思维处理解三角形及其综 -sinB)。 合问题的关键是构建所求目标对象的三角函 数表达式，结合题设条件中角参的取值限制 因为A十B十C=元，所以B=-C, 及三角函数的有界性等来确定目标对象的最 C∈(o,2）,所以2c-b=23[2sinC 值或取值范围。 例1已知△ABC中，角A,B,C的 sin(悟-c门=25（侵sinc-复osc)- 对边分别为a,b,c,且满足acos(B一C)+ acos A-23csin B cos A=0. 6sin(c-8)。 (1)求角A的大小： (2)若△ABC的外接圆的直径为2√3， 又因为ce(o,),所以c-吾∈ 求2c一b的取值范围。 (-若，)，所以2c-b=6sin(c-)∈ 解析：(1)由A十B+C=π，得A=π (一3,6)，即2c一b的取值范围为(-3,6)。 (B十C),所以cosA=-cos(B+C)。 ,点评：在利用三角函数思维处理解三角 所以acos(B-C)-acos(B+C)= 形及其综合问题时，需将所求的目标对象转 2√5 csin Bcos A,即acos Bcos C+asin B· 化为含有一个角参的三角函数问题，通过对 sinC-a cos Bcos C+asin Bsin C=2√3c· 应角参的取值范围及其限制条件，借助三角 sin Bcos A,即asin Bsin C=√3 csin B· 函数的图像与性质（特别是三角函数的有界 cosA。 性)进行合理放编与转化，进而确定目标对象 由正弦定理可得sin Asin Bsin C= 的最值或取值范围。 以合理深入探究，猎助数列的递推关系式及 还可以以更加创新、新颜的形式来展示，关键 新得到的关系式加以推理分析，进而利用数 在于把握问题的本质，以不变应万变，合理剖 列的定义与结构特征来分析其相关的变化规 析问题的内涵，将对应问题转化为涉及通项 律。特别是涉及奇偶项分别满足不同数列特 公式或求和问题的分奇数项与偶数项的表达 征的形式及应用。 式。在此基础上，合理考查同学们的“四基”， 其实，此类数列中的奇偶项混合及其综 以及数学思想方法、数学能力等，从而实现 合应用问题，除以上几种比较常见的类型外， “四能”的提升与应用。（责任编辑王福华） 22 解数型新题碧捏整滑中学生表理化 二、函数与导数思维 所以△ABC的周长的取值范围是 利用函数与导数思维处理解三角形及其 综合问题的关键是构建所求目标对象的函数 表达式，通过角参或边参等变量构建相应的 ,点评：在利用函数与导数思维处理解三 函数，利用函数的图像与性质，或借助导数思 角形及其综合问题时，需将所求的目标对象 维来确定函数的单调性，进而确定目标对象 转化为含有一个参数的函数表达式，直接利 的最值或取值范围。 用相关函数的图像与性质来确定目标对象的 例2已知△ABC的内角A,B,C的 最值或取值范围。有时利用复杂函数进行求 导处理，借助函数的单调性及其应用来转化， 对边分别为a,b,c,且cosC=一ccos A a 进而确定目标对象的最值或取值范围。 (1)证明：△ABC为等腰三角形； 三、不等式思维 (2)若△ABC的外接圆的直径为1，试求 利用不等式思维处理解三角形及其综合 △ABC的周长的取值范围。 问题的关键是构建所求目标对象的关系式， 解析：(1)已知cosC=一ccos A ,由正 结合变量的合理配凑与转化，借助重要不等 a 式（如基本不等式、均值不等式、柯西不等式 弦定理得sin Acos C十sin Ccos A=sinC, 等)加以合理放缩与转化，进而确定目标对象 即sin(A+C)=sinC。 的最值或取值范围。 在△ABC中，因为sin(A+C)=sinB, 例3在△ABC中，角A,B,C的对 所以sinB=sinC。 边分别为a,b,c,其中a=1,cosA= 又因为B,C均为△ABC的内角，所以 2c-1 B=C,即△ABC为等腰三角形。 2b9 (2)由1)可得C=B∈(0，受) (1)求角B的大小： (2)如图1所示，D为△ABC 结合正弦定理。a。 sinA=sinB=sin云 外一点，AB=BD,∠ABC= 2R=1,可得a=sinA=sin(π一2B)= ∠ABD,求sin∠CAB `sin∠CDB的最大值。 sin 2B,b=sin B,c=sin C=sin B. 解析：(1)因为a=1,所以 图1 所以a+b+c=sin2B+2sinB。 设函数f(x)=sin2x十2sinx,x∈（0， cos A=2c-a 2b 2sin C-sin A ）:则f'(x)-2cos2x+2cosx- 由正弦定理得cosA= 2sin B (2cosx-1)(2cosx+2)。 所以2 sin Bcos A=2sinC-sinA。 因为sinC=sin[π-(A十B)]=sin(A 当x∈(o,)时，f'(x)>0,f(x)单调 +B)=sin Acos B+sin Bcos A,所以 递增：当x∈(，)时，(x)<0,f(x)单 2sin Bcos A=2(sin Acos B+sin Bcos A) -sinA,化简得sinA=2 sin Acos B。 调递减 所以fx=f()-3 因为sinA≠0，所以c0sB= 因为f(0)=0,f()=2,所以f(x)∈ 又因为B∈(0，元)，所以B=3· (2)在△BCD中，由正弦定理 o,] BC CD sin∠CDB sin∠CBD,可得sin∠CDB= 23 中学生数理化 解题篇创新题追根溯源 高三数学2026年2月 π 因为C∈(0，x),所以sinC>0。 sin 3 CD· 所以sinA=√5cosA,即tanA=√3。 BC 在△ABC中，由正弦定理sin∠CAB 又因为A∈(0，x),所以A=吾。 (2)设△ABC的外接圆的半径为R,由 AC sin 3 sin ZABC,可得sin∠CAB=AC。 正弦定理得2R= a 43 ,则R=2E sin A 3 3 所以sin∠CAB_CD 如图2所示，△ABC的 sin∠CDB AC 外接圆为圆O,在圆O中， 设AB=BD=t(t>0),在△BCD和 △ABC中，由余弦定理得CD'=BD+BC ∠BAC=∠BA'C= 3， 则 -2BD·BC·cos∠CBD,AC2=BA+ 2元 ∠BOC= BC-2BA·BC·cos∠CBA。 3 图2 所以CD2=t2+1+t,AC2=t2+1-t。 数形结合得S△ABc= 2 由基本不等式得CD-+1+:=1十 AC2+1-t 2XhA=hAB≤hAx=R十 2√3 =√5。 2t 2 t2+1-t =1十 2一≤1十 1 故△ABC面积的最大值为√3。 t+ -1 t ,点评：在利用平面几何思维处理解三角 =3,当且仅当t= ,即t=1时，等号成立。 形及其综合问题时，需将所求的目标对象转 化为与三角形中的几何特征相关的几何要 所以sin∠CAB sin ZCDB的最大值为5，此时 素，借助平面几何图形的构建，剖析动点变化 AB=BD=1。 及运动规律，综合利用平面几何图形的直观 ,点评：在利用不等式思维处理解三角形 想象与动，点的变化规律，进而确定目标对象 及其综合问题时，需将所求的目标对象转化 的最值或取值范围。 为满足某些参数（或边参，或边参对应的整体 其实，解决此类涉及解三角形中对应目 表达式等)的表达式，通过关系式的合理配凑 标对象的最值（或取值范围）及其综合问题， 与巧妙转化，借助重要不等式（如基本不等 关键在于合理寻觅并挖掘题设条件，以及所 式、均值不等式及柯西不等式等)加以合理放 求对应要素或关系式的结构特征，在此基础 缩，进而确定目标对象的最值或取值范围。 上进行必要的恒等变形与转化，或借助三角 四、平面几何思维 函数思维（比较常见的是有界性）加以变形， 或回归函数与导数思维（比较常见的是函数 利用平面几何思维处理解三角形及其综 合问题的关键是构建所求目标对象的“动态” 的图像与性质，或函数与导数的应用等)加以 变化场景与平面几何图形，利用动点的变化 运算，或利用不等式思维（比较常见的是基本 与趋势，借助平面几何图形的直观想象与数 不等式、柯西不等式等)加以放缩，或结合平 形结合来确定目标对象的最值或取值范围。 面几何思维（比较常见的是平面几何图形的 数形结合)加以直观等，借助解题经验的积累 例4设△ABC的内角A,B,C的对 与技巧方法的应用，选取行之有效的数学思 边分别为a,b,c,已知asin C=√3 ccos A。 维方法与对应的技巧策略，实现最值（或取值 (1)求角A: 范围)问题的求解，从而有效养成良好的数学 (2)若a=2,求△ABC面积的最大值。 思维品质，提升数学解题能力，拓展数学应用 解析：(1)已知asin C=√3 ccos A,由正 与创新思维。 弦定理得sin Asin C=√3 sin Ccos A。 (责任编辑王福华) 24