立足高考改革，探寻概率与统计的综合应用-《中学生数理化》高考数学2026年6月刊

中学生表理化然皱学创新摩视猜题 立足高考改革，探寻概率与统计的综合应用 ■江苏省南通市海门实验学校 黄 梓 概率与统计及其综合应用，是高考中全 (2)数学成绩位于[50,70)，[70,90)内的 面考查数学建模、数据分析等素养的一个重 人数之比为0.0075：0.0150=1：2，所以 要载体。概率与统计的命题方向主要有以下 抽取的9人中，数学成绩位于[50,70)内的人 两类：一是概率计算问题；二是统计案例问 数为9×号=3，数学成绩位于[70,90)内的 题。近年来新高考加大了相互独立事件和条 3 件概率的考查力度，由于该部分知识也恰是 人数为9×2 3 =6。 新教材中扩充的内容，因此，同学们在后续的 由题意知，随机变量X的所有可能取值 备考中要关注教材改版前后内容的变化，同 C 时兼顾知识间的渗透与融合。 为0,1,2,3，则P(X=0) C⊙=84：P(X= 一、立足统计本质，注重知识交融 例1图1是 须率 1)-Cic_3 组距 C=:P(X=2）= CC_15 0.0150 C28:P(X 某校高三年级1000 3) C 5 名学生的高考适应 0.0075 C21 0.0025 性演练数学成绩频 所以随机变量X的分布列为表1： 数学成绩/分 率分布直方图，其中 表1 图1 成绩分组区间是 0 1 2 [30,50),[50,70),[70,90),[90,110),[110, 1 3 15 130),[130,150] 84 14 28 21 (1)求图中实数a的值，并结合相应的频 1 3 故E(X)=0× +1×+2 28+3× 1 率分布直方图，估计这1000名学生数学成 84 绩的第85百分位数： 5 =2。 (2)从数学成绩位于[50,70)，[70,90)的 21 学生中采用比例分配的分层随机抽样的方法 点评：本题将频率分布直方图与分位数、 抽取9人，再从这9人中随机抽取3人，这3 函数建模巧妙地融为一体，给出了新的命题 人中成绩在区间「70,90)内的人数记为X,求 动向。因此，同学们应关注知识间的内在联 随机变量X的分布列及数学期望。 系，研习高考命题思路，提升备考技能。 解析：(1)由图1知(0.0025+0.0075+ 二、考查数据分析，渗透原理论证 0.0150×2+2a)×20=1,解得a=0.0050。 例2某果园产苹果，其中一堆苹果中 前四个矩形的面积之和为(0.0025+ 大果与小果的比例为4：1。 0.0075+2×0.0150)×20=0.8,前五个矩 (1)若选择分层随机抽样，抽出100个苹 形的面积之和为0.8+0.0050×20=0.9。 果，其中大果的单果平均质量为240克，方差 设这1000名学生的数学成绩的第85 为300，小果的单果平均质量为190克，方差 百分位数为m,则0.8+(m一110)×0.0050 为320，试估计果园苹果的单果平均质量和 =0.85,解得m=120。 方差。 所以这1000名学生的这次考试数学成 (2)利用分选机对大果与小果进行筛选， 绩的第85百分位数为120。 根据统计数据知分选机将大果筛选为小果的 16 解数新愿提酒骨中学生表理化 概率为10%，而将小果筛选为大果的概率为 例3 一个口袋中装有3个红球和4 5%。由此筛选后，现从“大果”里随机抽取一 个蓝球，从中每次不放回随机摸出1个球，记 个，求这个“大果”是真的大果的概率。 A；表示事件“第主次摸到红球”，其中i=1, 参考公式：样本划分为2层，各层的容 2,…,7。 量、平均数和方差分别为：m,x,s;n,y,s。 (1)求在第一次摸到蓝球的条件下，第二 记样本平均数为w,样本方差为s2,则s2= 次摸到红球的概率。 +(红-门十n4[+ (2)记P(A1AA,)表示A1,A2,A,同时 发生的概率，P(A:|A1A,)表示已知A1与 w)2门。 A。都发生时A3发生的概率。 解析：(1)因为大果与小果的比例为4： ①证明：P(A1A2A)=P(A1)P(A2 1,所以抽出的100个苹果中，大果的个数为 A1)P(A3A1A2): 4 ×100三80，小果的个数为5×100=20 ②求P(A)。 设大果的单果平均质量为x:克，方差为 解析：(1)由题意及条件概率公式可得 s,小果的单果平均质量为x2克，方差为s, 4、3 p(A,A)=P(AA:2_7X81 则x1=240,s=300,x2=190,s=320。 P(A,) =2 7 设100个苹果的单果平均质量为心克， 所以在第一次摸到蓝球的条件下，第二 1 方差为，则w=100(80×240+20×190)= 次摸到红球的概率为2 80 230(克)，=100[300+(240-230)]+ (2)①由P(AAA)=PCA,A,A) P(AA2) 10320+(190-230)]=704 可得P(A1A2A3)=P(A1A:)P(AA1A:)。 所以估计果园苹果的单果平均质量为 P(AA2) 又因为P(A。A1)= 230克，方差为704。 P(A,),所以 (2)设事件A,=“进入分选机的苹果为 P(A1A2)=P(A1)P(A2A1)。 大果”，事件A:=“进入分选机的苹果为小 所以P(A1A。A3)=P(A1)P(A2A)· 果”，事件B=“分选机筛选的苹果为大果”， P(A3A1A2)。 则由题意知，P(A1)=4 ②由①可得P(A)=P(A1AA:)+ 、5,P(A2)=、 P(AA:A:)+P(AA:A:)+P(AA:A:) P(BA)=10%=0,PBA:)=5%=0 1 =P(A1)P(A2A1)P(A,|A1A)+P(A1)· P(A:A)P(A;AA2)+P(A)P(A:A). 所以P(BA)=1-P(BA)=0 P(A:AA:)+P(A)P(A:A)P(A:AA2) 由全概率公式可得P(B)=P(AB)+ 3. P(A:B)=P(A)P(BA)+P(A:)P(B ×品+×0-品PAB) A)三号×9工 4333 P4,)P(B1A)=吉×品器 ,点评：新教材与老教材相比，对核心概 念、重要公式等都做了必要的拓展、补充或证 P(AB)18.7372 故P(A1B)=P(B)-25÷100-73· 明，平时备考需进一步加强对核心概念的认 所以从“大果”里随机抽取一个，这个“大 知和基本理论体系的建立。例2和例3看似 麻烦，实则容易，由已知条件进行合理的数据 果”是真的大果的概率为73 72 分析与数据处理，并结合均值公式、方差公式 17 中学生表理化然皱学创新摩视猜题 强化问题龈本，破解概率与统计的综合问题 ■江苏省梅村高级中学 许润玲 随着新高考改革的稳步推进，高考愈加 景点纪念品)，且X的分布列如表2： 突出问题情境创设，注重数学的实际应用及 表2 逻辑性。而有关概率与统计的命题方向也更 X 2 3 4 加贴近现实生活，注重考查同学们的创新思 1 维能力。本文基于概率与统计的综合，强化 问题的根本，实现问题的突破与解决，引领并 现从某份团体票中随机抽取2张，恰有1 指导同学们的复习与备考。 张为有奖门票，求该份团体票中共有3张有 一、过“阅读理解关”一抓住关键语句， 奖门票的概率。 理清问题实质 解析：(1)设y关于t的经验回归方程为 阅读理解关，就是依托问题情境，从中剖析 y=à十t,则：=1+2+…+9 9 =5,y= 对应的场景应用与关键语句，理解问题表述的 内容与相关信息，进而加以理解相关问题的实 91 :-0.5)= 91.85×10 =1 质，初步形成数学概念、知识等条件，为进一步 的数学符号化处理，特别是相关函数、方程、 0.5)=2,∑t=2t-102=385-100=285, =1 =1 不等式等的正确构建创造条件。 例1杭州是国家历史文化名城，为了 :-2y-10×0.5=06-5=91.所 给来杭州的客人提供最好的旅游服务，某景 ∑t,y-9ty 点推出了预订优惠活动，该景点在某App平 以B= = 91-9×5×2= ∑ 285-9×52 -9t2 60 台10天预订票销售情况如表1所示： 表1 =y-=2- 品×5器 1 日期t 1 2 3 5 6 8 9 10 销售量 所以y关于t的经验回归方程是y= 1.931.951.971.98 2.012.022.022.052.070.5 y(万张) 231 1260 经计算得：y= 10 y:=1.85, (2)记“从某份团体票中随机抽取2张， 96,=385 恰有1张为有奖门票”为事件A,“该份团体 票中共有i张有奖门票”为事件B:,则 (1)因为该景点今年预订票购买火爆程 3,P(A1B,)= 1 度远超预期，该App平台在第10天时系统 P(B3)= CiC 1 C 2 异常，现剔除第10天数据，求y关于t的经 验回归方程：（结果中的数值用分数表示） 所以P(AB)=P(B,)P(AIB)= 6, (2)该景点推出团体票，每份团体票包含 CC:2 4张门票，其中X张为有奖门票（可凭票兑换 P(AB,)= C F3,P(A1B)=0. 人人，人人人，人人人人人人人人人，人人人人人人人人人人，人人人人，人人人，人人人人人，人人人人，人人人 及条件概率公式即可解决问题。 核心概念、主干知识和重要数学思想方法的 近几年高考中，涉及概率与统计模块的 考查，并在通性、通法的基础上，渗透原理论 高考试题，注重考查知识的基础性，依托统计 证，进行了适度的综合与创新。 与概率的交汇与融合，突出对概率统计中的 (责任编辑王福华) 18