依托概率知识，合理科学决策-《中学生数理化》高考数学2026年6月刊

解题篇创新题追根溯源 中学生数理化筒三数学2026年6月 依托概率知识 ■山东省滨州市第 涉及概率知识的综合问题，经常有方案 的决策与判断等方面的应用，此类问题经常 基于均值与方差等数值的求解。本文结合具 体问题场景进行数据分析与数据处理，从而 作出合理化决策与科学性判断。 一、利用数学期望（或均值）的大小来决 策判断 例1数学多选题的得分规则是：每小 题的四个选项中有多项符合题目要求，全部 选对得6分，部分选对按比例得分，有选错得 0分。小明根据大量的多选题统计得到：多 选题正确的选项共有四个的概率为0，正确 选项共有两个的概率为p(0<p<1)。 (1)现有某个多选题，小明完全不会，他 有两种策略： 策略一：在A、B、C、D四个选项中任选 一个选项： 策略二：在A、B、C、D四个选项中任选 两个选项。 求分别采取这两个策略时小明得分的数 学期望。 (2)若有一个多选题，小明发现A选项 正确，B、C、D选项他不会判断，现在他有两 种策略： 策略一：选A和B、C、D中的任意1个： 策略二：选A和B、C、D中的任意2个。 在力=的条件下，判断小明该选择哪 种策略。 解析：(1)设小明采用策略一和策略二的 得分分别为X1,X2。 由题意知，X,的所有可能取值为0,2， 8,则P(X,=0)=力×子+1-p)×寸 1+p:P(X,=2)=1-p)×2=3-32 4 4 4 P(X=3)=力X年=名。故E(X)=0× 20 合理科学决策 中学 牛梅 1+卫+2×3-3p+3×2=3 4 4 2=2。 由题意知，X:的所有可能取值为0,4， 6:则P(X:=0)=p×名+1-b)× ,3= 3+2p,P(X:=4)=1-b)×3=1色 6 6 2； P(X:=6)=b×G=台.故E(X:)=0X 3+22+4×1卫+6×2=2-p。 6 2 6 所以小明采取策略一和策略二的得分的 数学期望分别为号和2一 (2)设小明选择策略一和策略二的得分 分别为Y1,Y:。 由题意知，Y1的所有可能取值为0,4,6， 则p(,=0)=×+×日= 4X3-12:P(Y =)=×号=：P(Y=6)=}× .1 .15 2。故EY)=0×52+4X2十6X2=2 由题意知，Y:的所有可能取值为0,6，则 PY:=0)=子+2×号-号：P(Y:=6)= ×日-子放50Y,)=0x受+6×8 因为E(Y)>E(Y:),所以小明应选择 策略一。 点评：利用随机变量的数学期望（或均 值)的大小来进行决策或判断时，随机变量的 数学期望（或均值）反映了随机变量的平均水 平，究竟是数学期望（或均值）大的好还是数 学期望值（或均值）小的好，也要根据具体问 题而定，如经济收入的数学期望（或均值）是 越大越好，生产中的次品数是数学期望（或均 值)越小越好。 二、利用方差的大小来决策判断 例2随着十一黄金周的到来，各大旅 游景点热闹非凡，为了解A,B两个旅游景点 游客的满意度，某研究性学习小组采用随机 抽样的方法，获得关于A旅游景点的问卷 100份，关于B旅游景点的问卷80份。问卷 中，对景点的满意度等级划分为：非常满意、 满意、一般、不满意，对应分数分别为：4分、3 分、2分、1分，数据统计如表1： 表1 非常满意 满意 一般 不满意 A景点 50 30 5 15 B景点 35 30 7 假设用频率估计概率，且游客对A,B两 个旅游景点的满意度评价相互独立。 (1)从A旅游景点的所有（人数足够多） 游客中随机抽取2人，从B旅游景点的所有 (人数足够多)游客中随机抽取2人，估计这4 人中恰有2人给出“非常满意”的概率。 (2)根据上述数据，你若旅游，会选择A, B哪个旅游景点？请作出决策判断，并说明 理由。 解析：(1)设“这4人中恰有2人给出‘非 常满意’的评价”为事件C。 由表1中的数据可知，游客在A景点给 出“非常满室“详价的概案为品一子： 游客在B景点给出“非常满意”评价的 概率为357 80=16 所以P(c)=(2)(1-16)+c· 2-2)c·6(1-6)+(1-2）(6) 191 512 (2)设一位游客对A景点的满意度评分 为X,一位游客对B景点的满意度评分为Y。 由表1中的数据得X的分布列为表2： 表2 X 4 3 1 1 3 1 3 2 10 20 20 数华新碧黎骨中学生教理化 解题篇创新题追根溯源 Y的分布列为表3： 表3 Y 2 7 3 16 8 80 10 1 1 所以E(X)=4× +3× 3 +2× 10 20 0=8.16 1× 1 D(X)=0.85×2+(-0.15)× 3大 1 （(-1.15)×0+(-2.15)×0=1.1275 E)=4×6+3Xg+2×品+1×品 =3.15: D(0）=085×+(-0.15y×g+ 8 (-1.15X80+(-2.15)X0=0.9025 10 显然E(X)=E(Y),D(X)>D(Y),所 以选择B景点。 ,点评：利用随机变量的方差的大小来进行 决策或判断时，方差反映了随机变量偏离平均 值的程度，方差越大，随机变量的取值越分散； 方差越小，随机变量的取值越集中于均值附近。 其实，依托数据信息与数据分析来作决 策判断时，一般能通过概率进行决策的优先 用概率，不能用概率决策的，再比较数学期望 (或均值)，当数学期望（或均值）相等时，再比 较方差（或标准差）。解决此类决策判断问题 的基本步骤为：①建立模型：②分析数据：③ 求值运算；④作出决策。决策的依托是概率、 数学期望或方差所对应的数据信息的几何意 义，并结合实际场景与应用背景等。特别地， 涉及概率及其综合应用中的决策方案问题，根 据对应的实际应用背景与问题场景，通过统计 与概率中的数据分析与数据处理，利用概率、 均值及方差等数值的分析，用来处理日常生 活、社会活动和经济活动等问题场景下的决策 与判断，真正达到学以致用，用数据说话，用数 据分析，用数据决策，全面提升数据处理与创 新应用能力。 (责任编辑王福华) 21