依托三角形场景，巧妙应用特殊线-《中学生数理化》高考数学2026年2月刊

0000南000 依托三角形场景， ■江苏省南通市通州区 在解三角形的高考试题中，往往涉及三 角形的高线、中线与角平分线等，可以是小题 (选择题或填空题)形式，也可以是解答题形 式。在解决此类问题时，除了应用解三角形 中的相关定理，如正弦定理、余弦定理等，还 要恰当地使用三角形中相关特殊线（高线、中 线与角平分线等)的几何性质。由于该类试 题能巧妙融合其他一些数学基础知识，实现 知识之间的交汇，很好落实“在知识交汇点处 命题”的命题指导思想，因此成为高考命题的 一个基本考点，备受各方关注。 一、三角形中的高线 三角形的一个顶点到其对边的垂线所在 的直线，就是三角形中的高线。 例1(2025年福州模拟)已知△ABC 的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满 足bsin A十B=csin B。 2 (1)求角C: (2)若AB边上的高线长为2√3，求 △ABC面积的最小值。 解析：(1)由题意知A十B十C=π，所以 bsin A+B -bsin2C-bcos号 C 2 2 C 所以bcos之=csin B,结合正弦定理可 得sin B cos2 =sin Csin B。 因为B,C∈(0，π)，所以sinB>0,0< <受号>0 C C C 所以cos2=sinC=2sin2cos2。 所以sin 26 ,所以C=交 3 (2)由Sac=2c·25=子abinC,得 1 ab=4c。 极管数华新愿费型器膏中学生教理化 0o0 00 I巧妙应用特殊线 金沙中学 洪云云 由余弦定理得c2=a2十b2-2 abcos C= a2十b2-ab≥2ab-ab=ab,所以c2≥4c。 因为c>0,所以c≥4，当且仅当a=b=c =4时取等号。 所以△ABC面积的最小值为4√3。 点评：涉及三角形中的高线问题，其比较 常用的处理策略为：①等面 积法：在△ABC中，AD是 边BC上的高线，如图1所 示，则AD·BC=AB·AC· sin∠BAC。②AD=AB· 图1 sin∠ABD=AC·sin∠ACD。③BC=AB· cosB+AC·cosC。 二、三角形中的中线 三角形的一个顶点与其对边的中点的连 线，就是三角形中的中线。 例2(2025年福建九地市质量检测) 在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a, b,c,且asin C-=csin B,C 2π 3 (1)求B的大小； 2)若△ABC的面积为3，求BC边士 中线的长。 解析：(1)已知asin C=csin B,由正弦 定理得sin Asin C=sin Csin B。 因为0<C<π，所以sinC>0,则有 sinA=sinB。 因为A十B十C=元，且C=答，所以0< A<I ，0<B<号，所以A=B,放B=若。 (2)由(1)知A=B,所以a=b。 因为Sam=合absin C=2asim 1 2元 3 9g 4,所以a=5。 25 中学生表理化学创新辞餐膏 设边BC的中点为D,则CD= 29 在△ACD中，由余弦定理得AD= AC:+CD:-2AC CDeos C=3+ 一2× ×号Xo-解得AD- 2 所以BC边上中线的长为受 点评：处理三角形中的 中线问题的一般策略为： ①中线长定理：在△ABC 中，AD是BC边上的中线， 图2 如图2所示，则AB2十AC =2(BD+AD).②向量法：A市=子(AC +AB2+2AC·AB). 三、三角形中的角平分线 三角形的一个内角的平分线所在的直 线，就是三角形中的角平分线。 例3(2025年湖南长沙长郡中学二 模)已知△ABC中，角A,B,C所对的边分 别为a,b,c,其中a=4,且4√3cosC=√3b- csin A. (1)求A; (2)已知AM为∠BAC的平分线，且与 BC交于点M,若AM=22,求△ABC的周 长。 解析：(1)由题意得√3 acos C+csin A= √3b。 由正弦定理得√3 sin Acos C+sinA· sinC=√3sinB。 又因为√3sinB=√5sin[π-(A十C)]= √3sin(A+C)=√5 sin Acos C+√3cosA· sinC,所以sinA·sinC=√3 cos Asin C。 因为sinC≠0，所以sinA=√3cosA,则 tanA=√5。 因为A∈(0，x,所以A=否 (2)因为S AALC=S△AM十S△AM,所以 26 lesin∠BAC=2AM·csin∠BAM+ 2AM·bsin∠CaM. 又因为AM平分∠BAC,所以∠BAM =∠CAM=∠BAC=-否 所以×=×2。×+× 1 1 2×号，化简得5c=22(6+c,所以 2 3 c=2E6+c). 33 在△ABC中，由余弦定理a2=b2十c2 2 bc cos∠BAC,得16=b2+c2-bc。 所以16=(b+c)2-3bc=(b+c)2- 2√2 (b十c),解得b十c=2√6（负值舍去）。 5 所以△ABC的周长为2√6+4。 点评：涉及三角形中的角平分线问题，其 比较常用的处理策略为：①内角平分线定理： 在△ABC中，AD平分∠BAC,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,如 AB BD 图3所示，则AC=DC· (2)等面积法：AD= 图3 2bccos ∠BAC 2 b+c 一（角平分线长 公式)。 其实，在解决一些涉及解三角形的综合 问题时，充分把握题设条件，借助平面几何直 观图形加以数形结合，同时巧妙融合平面向 量与三角函数等相关知识。在此基础上，合 理利用三角形中的一些特殊线（如高线、中 线、角平分线等)，并结合这些特殊线的几何 本质与代数内涵，通过化归与转化来构建对 应的关系式，为解三角形问题的切人与应用 创造条件，成为问题解决的一个突破口与切 入点。在平时的复习备考过程中，同学们要 系统理解并掌握三角形中的这些特殊线段的 概念、特征、本质与内涵，并会加以基本应用 与拓展。 (责任编辑王福华)