立足三角函数本质，创设综合性解答题-《中学生数理化》高考数学2026年2月刊

中学生表理化餐皱学创新鼻视指源 立足三角函数本质 ■江苏省丹阳市吕叔 三角函数模块知识是每年高考数学试卷 中的必考内容之一。在近几年的高考试卷 中，三角函数解答题以考查三角函数的基本 知识、基本方法为主，联系平面几何、平面向 量与解三角形等知识，对同学们的综合素养 要求较高，一般处在解答题的前两个题目位 置，对逻辑推理、数学运算、数学建模等多个 数学核心素养都有较深入的考查。 一、三角形中相关元素的计算问题 例1(2025届江苏省苏锡常镇高三 教学情况调研（一）数学试卷)在△ABC中， 内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且 2 bcos C=2a+√2c。 (1)求B; (2)若b=√13，c=2√2，D为AC的中 点，求BD。 解析：(1)已知2 bcos C=2a十√2c,由余 弦定理得2b· a2+b2-c2 =2a十√2c,化简 2ab 整理得a”十c2一b2=一√2ac,所以cosB= a2+c2-b2 -√2ac √2 2ac 2ac 29 又因为B∈(0，π)，所以B=3 9 (2)由(1)知B=3π 4 在△ABC中，由余弦定理b2=a+c2 2 accos B,结合b=√13，c=2√2，可得13= a2+8-42a·（-2),即a2+4a-5=0 解得a=1或a=-5(舍去)。 利用余弦定理得cosC=a十b一c 2ab 1+13-83√13 2×1×√13 13 在△BCD中，利用余弦定理得BD2= BC:+CD:-2BC CDcos C=1+13 -2× 4 12 创设综合性解答题 湘中学束琴 1×3×33-5」 2 13=,所以BD=5 24 点评：解答此类问题，首先，明确正弦定 理、余弦定理分别适用于哪些解三角形问题； 其次，要注意“边”与“角”的互化；最后，要关 注诱导公式、三角恒等变换及三角函数的基 本性质等。 二、三角形形状的判断与几何证明问题 例2已知△ABC的内角A,B,C的 对边分别为a6c,且anin B=nB时C. (1)求A; (2)若D为边BC上一点，且BD= 专BC,AD-2c,证明：△ABC为直角三 角形。 解析：(1)因为asin B=bsin BC,所 以sin Asin B=sin Bsin(受-合)=sinB· A cos 因为B∈(0，π)，所以sinB>0,所以 sinA=cos会，即2sin2cosg-cos2 A A 因为os合≠0，所以sin2=2 又因为0<含←受所以-吾，即A 3 (2)证法一：因为AD=AB+BD=AB +号BC=A店+号(AC-A)=号A店+ 号4C,所以1A市1：=（号A店+号Ad) +号c-子c,整理得6+2xc-8c=0,所以 (b+4c)(b-2c)=0,所以b=2c。 所以a2=b2+c2-2 bccos∠BAC=b2+ c2-bc=3c2。 又因为b=2c,所以b2=a2十c2,所以 B=90°，故△ABC为直角三角形。 证法二：因为∠ADB=π一∠ADC,所以 cos∠ADB+cos∠ADC=0。 利用余弦定理得AD+BD2一AB 2AD·BD AD2+CD2-AC? =0。 2AD·CD 又因为BD=吉5C=专a 3a,AD=23 3c, Fgai-c2 所以3+1 ,3c2+。a2-b2 =0, 4W3 8w3 化简得6c2-3b2十2a2=0. 因为a2=b2+c2-2 bccos∠BAC=b2+ c2-bc,所以6c2-3b2+2(b2+c2一bc)=0, 即8c2-2bc-b2=0,所以(4c+b)(2c-b)= 0,所以b=2c,所以a2=3c2。 所以b2=a十c2,故B=90°，即△ABC 为直角三角形。 点评：判断三角形形状的两种基本思路： (1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相 应关系，从而判断三角形的形状；(2)化角：通 过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断 三角形的形状，此时要注意应用A十B十C= π这个结论。而对于证明问题，一方面，要利 用已知条件和正弦定理、余弦定理推出边或 角的关系式；另一方面，要注意对这些等量关 系进行适当的整合变形。 三、三角形中代数式的最值或取值范围 问题 例3(2025届四川省泸州市高三 (上)第一次诊断数学试卷)设△ABC的内角 A,B,C的对边分别为a,b,c,且cosA cos B+cos C b+c (1)求A; (2)若2b2+c2的最大值为6+2，求a 锅数到新题探潮膏中学生表理化 的值。 解析：(1)已知cosA_cosB士cosC,由 b+c 正孩定理得oA=o合十cosC sinB+sinC,即 sin Bcos A+sin Ccos A =sin Acos B+ sin Acos C,亦即sin Bcos A一sin Acos B= sin Acos C一sin Ccos A,整理得sin(B一A) =sin(A-C)。 显然(B一A)+(A一C)=B一C=π不 合题设条件，舍去。 所以B一A=A-C,即A=2',结合 A十B十C=π，可得A=x 30 (2)由1)知A-号 由正弦定理， b 里in A-sin B-sin C-E a 2 B.c-2asin C 得b=2 asin B √3 √3 所以2b2十c'=4a2(2sinB+sinC)_ 3 2a(3-2cos 2B-cos 2C) 3 由A=子，可得B+C-否，即B= 3 C,故262+c2=2a(3-2c0s2B-c0s2C) 3 2g3-2c(-2c）-cos2c]-2g(3+ √3sin2C)。 因为0<C<5,所以0<2C<暂，放当 2C=,即C=牙sin2C=1时，26+c2取 得最大值号(3+3)=6+25，即4=3.解 得a=3(负值舍去)。 综上可得，a=√5。 ,点评：求解三角形中的最值或取值范围 问题，常借助正弦定理、余弦定理与三角形面 积公式，先建立边参之间的等量关系或不等 关系，再利用函数或基本不等式求解。而解 13 中学生表理化然程皱学新鼻根源 决三角形中某个量的最值或取值范围问题， 除了利用基本不等式，另一个思路就是借助 正弦定理、余弦定理，先把该量转化为关于某 个角的三角函数，再利用函数思想求解，此时 要特别注意题目隐含条件的应用，如锐角三 角形、钝角三角形、三角形内角和等。 四、解三角形与三角函数的综合问题 例4已知函数y=Asin(wz十9) (A>0,>0,0<g<受)的部分图像如图1 所示，将该函数图像向右 平移是个单位长度后，再 将所得曲线上所有点的横 坐标变为原来的2倍（纵 坐标不变)，得到函数 图1 f(x)的图像。设g(x)= f(x)sinx。 (1)求函数g(x)的最小正周期T。 (2)在△ABC中，AB=6,D是BC的中 点，AD=√19。设∠BAC=0,且cos0<0, g(0)-3 ,求△ABC的面积。 解析：(1)由图1知A=1,周期为2r 2×(径-)，解得w=2 由函数图像过点（受1），得2×十9 2kx十2(k∈Z).即9=2k元十零(k∈Z)。 3 又因为0<9<受，所以9=牙，故y sin(2x+5）. 由题意得f(x)=sin(c十)。 所以g(x)=sin sin(z+）-=sinx· 3 .3(1-cos 2x) 2 sin x+2cos 1 4 sin 2x= 2sin(2x）+. 1 故函数g(x)的最小正周期T=π 2 14 (2)由g0)得sn(20-）-0,故 29-君-，∈z,即0经+吾k∈z 2 由cos0<0,得受<0<，所以0=2红 3 设BC=2m,AC=x。 由∠ADB+∠ADC=π，得cos∠ADB +cos∠ADC=0。 结合AB=6,AD=√19，在△ADB和 △ADC中，由余弦定理得cos∠ADB+ cos∠ADC=19+m2-36+19+m2-x2 2W19m2√19m 0,化简整理得2m2-x2+2=0。① 在△ABC中，由余弦定理得BC=AB +AC2-2AB·ACcos0,即(2m)2=36+x2 -12xcos0=36+x2+6x。② 联立①与②，解得x=一4（舍去）或x= 10,即AC=10。 所以Sm=2AB·ACsin0=2×6X 1 10×5-155。 2 点评：对于解三角形与三角函数的综合 问题，其一般的解题步骤为：(1)合理转化，正 确分析题意，提炼相关等式，利用等式的边角 关系合理地将问题转化为三角函数问题； (2)利用正弦定理、余弦定理、三角函数恒等 变换公式等进行三角形中边角关系的互化； (3)得出结论，利用三角函数诱导公式、三角 形内角和定理等基础知识求解函数的解析 式、角的值、三角函数值，以及讨论三角函数 的基本性质。 求解三角函数的综合性解答题的关键在 于合理审题，挖掘相应问题的内涵与实质，合 理构建不同知识点之间的交汇与融合，进而 联系条件之间的内在关系，进行合理的逻辑 推理、数学运算与分析应用。特别是涉及初 高中知识的联系、不同知识点之间的交汇、三 角函数公式的应用等，都是全面考查“四基” 与“四能”的重要场所，成为高考命题的一个 重要题型与考查方向。 (责任编辑王福华)