知识交汇设置，创新场景设计——基于概率与统计中的应用-《中学生数理化》高考数学2026年1月刊

解题管做创新题碧押潮酒中学生教理化 高三数学2026年1月 知识交汇设置，创新场景设计 基于概率与统计中的应用 ■江苏省张家港市沙洲中学 郭明珠 创新形式的知识交汇与能力融合型试 值为x,i=1,2,…,50,定义函数：f(x,)= 题，在近几年的高考数学试卷中频繁出现。 1,x;>十o, 而涉及概率与统计有关的知识交汇问题，是 0,以一0x,十0， 其中档次较高的综合题之一，基于实际应用 -1,x:<u一o。 场景，题目背景取自现实，知识交汇自然新 (1)简述以下统计量所反映的样本信息， 颖，能够全面考查同学们的创新能力、阅读理 并说明理由。 解能力和数据分析能力等。特别地，以创新 ①A=|f(x1)|+|f(x2)|十…十 形式来设置的概率与统计的综合问题，实现 |f(x和)|： 知识的交汇与能力的融合，构建起合理有效 的组合，吻合“在知识交汇处命题”的高考命 ②B=2f(x)[f(x)+1]+fx:)· 题指导精神，成为考查创新性与应用性的一 [f(x2)+1]+…十f(xo)[f(x0)+1]}。 个典型范例。 (2)为确定新的治疗方案是否优于标准 一、概率、统计与函数知识的交汇 治疗方案，请在(1)中选择一个合适的统计 量，并根据统计量的取值作出统计决策。 基于概率与统计的实际综合应用场景， 解析：(I由题设知，Y服从二项分布 巧妙融人函数应用，在通过构造函数求最值 B(50,0.6). 时，要注意变量的选取，以及变量自身的隐含 所以E(Y)=50×0.6=30,D(Y)=50× 条件对变量范围的限制。 0.6×0.4=12 例1(2025年北京海淀区一模)为考 (Ⅱ)(1)①统计量A反映了未受益于新 查治疗方案的优化，现从一批患者中随机抽 治疗方案的患者数，理由如下： 取100名患者，平均分组，并分别采用新治疗 若第ⅱ位患者受益于新治疗方案，则其 方案与标准治疗方案治疗，记其中采用新治 指标I的值x;满足f(x:)=0,否则|f(x:)| 疗方案与标准治疗方案治疗受益的患者数分 =1,会被统计量A计入，且每位未受益于新 别为X和Y。在治疗过程中，用指标I衡量 治疗方案的患者恰使得统计量A的数值加1。 患者是否受益：若以一。≤I≤u十o,则认为指 ②统计量B反映了未受益于新治疗方 标I正常；若I>以十。，则认为指标I偏高： 案且指标1偏高的患者数量，理由如下： 若I<一。，则认为指标I偏低。若治疗后 若第i位患者接受新治疗方案后指标I 患者的指标I正常，则认为患者受益于治疗 偏低或正常，则其指标I的值x,满足f(x,)· 方案，否则认为患者未受益于治疗方案。根 [f(x:)+1门=0；若指标I偏高，则f(x,)· 据历史数据，受益于标准治疗方案的患者比 例为0.6。 [f(x,)+1]=2,即fx,)[f(x)+1] =1,会 2 (I)求E(Y)和D(Y)。 被统计量B计人，且每位未受益于新治疗方 (Ⅱ)统计量是关于样本的函数，选取合 案且指标I偏高的患者恰使得统计量B的数 适的统计量可以有效地反映样本信息。设采 值加1。 用新治疗方案的第i位患者治疗后指标I的 (2)由题设知，新治疗方案优于标准治疗 25 中学生款理化贺韁学新衡 方案等价于一次试验中X的观测值大于Y 的数学期望。 由(1)知X的观测值x=50一A。 n∈N")。 因此当50-A>30,即A<20时，认为 又p-吕-0，所以(.- 6 }是首 新治疗方案优于标准治疗方案； 5 当50一A=30,即A=20时，认为新治 项为品公比为一六的等比数列。 疗方案与标准治疗方案相当； (2)由(1)知，寒假第n天不下雪的概率 当50一A<30,即A>20时，认为新治 疗方案劣于标准治疗方案。 P,= (品)”+品 点评：基于概率、统计与函数知识的交汇 设小明寒假第n天跑步的概率为q,则 问题，往往是借助变量设置，通过概率、统计 qm=pn×0.6+(1-pn)×0.2=0.2+0.4p 中的样本特征值、数学期望、方差等数据特征 的应用，借助概率的计算公式等方式来合理 器() 构建函数，进而通过函数模型及其函数应用 所以小明寒假第n天通过运动锻炼消耗 来分析，并以函数的基本性质来反馈对应的 能量的期望为330q,十220(1一qn)=220+ 概率与统计问题。 10g.=266+20(-) (n∈N")。 二、概率、统计与数列知识的交汇 点评：基于概率、统计与数列知识的交汇 基于慨率与统计的实际综合应用场景， 问题，借助概率、统计的应用问题所产生的概 巧妙融入数列应用，通过概率与统计知识的 率的递推关系，合理构建对应的数列模型，并 转化，实现数列递推关系的构建，并借助数列 利用数列模型来分析与处理数列中的基本概 的概念，通项或求和等来综合应用。 念、通项公式、求和公式及基本性质等相关知 例2(2025年安徽蚌埠第一次质量 识，由此来反映对应的概率与统计问题，实现 检测)寒假期间小明每天坚持在“跑步3000 实际应用问题的突破与解决。 米”和“跳绳2000个”中选择一项进行锻炼， 三、概率、统计中的新定义问题 在不下雪的时候，他跑步的概率为60%，跳 基于概率与统计的实际综合应用场景， 绳的概率为40%，在下雪天，他跑步的概率 巧妙融入新定义应用，或直接定义，或借助典 为20%，跳绳的概率为80%。若前一天不下 型模型定义，融人相关的知识，特别是高等数 雪，则第二天下雪的概率为50%；若前一天下 学知识以新定义形式融人问题中去。 雪，则第二天仍下雪的概率为40%。已知寒假 例3(2025年江苏泰州模拟数学试 第一天不下雪，跑步3000米大约消耗能量 卷)在概率论中，马尔可夫不等式给出了随 330卡路里，跳绳2000个大约消耗能量220 机变量的函数不小于某正数的概率的上界， 卡路里。记寒假第n天不下雪的概率为p,。 它以俄国数学家安德雷·马尔可夫命名，由 (1)求p1,p2,力的值，并证明 马尔可夫不等式知，若专是只取非负值的随 。一》是等比数列： 机变量，则对任意a>0,都有P(≥a) (2)求小明寒假第n天通过运动锻炼消 E(2。某市去年的人均年收入为10万元， a 耗能量的期望。 记“从该市任意选取3名市民，则恰有1名 解析：(1)依题意，p1=1,p2=0.5,p3= 市民去年的年收入超过100万元”为事件 p,×0.5+(1-p2)×(1-0.4)=0.6-0.1p2 A,其概率为P(A)。则P(A)的最大值为 =0.55。 )。 依题意pn=pm-1×0.5十(1一pm-1)× 27 243 4 (1-0.4)=0.6-0.1pm-1(n≥2，n∈N")。 A.1000 B.1000 c.21 D. 26 解题管微曼错题泰翻析中学生教理化 高三数学2026年1月 频率分布直方图情境中的问题易错点提醒 ■甘肃省西和县第二中学 卢亚琰 频率分布直方图作为高中数学统计模块 过已知条件求解图中部分长方形的高或频 的核心图表，不仅是数据分析的重要工具，更 率，其核心易错点集中在四个方面：第一，对 是高考命题的高频考点。通过对近几年高考 直方图基本特征的理解偏差，特别是纵轴坐 数学试卷的分析，发现频率分布直方图的考 标（频率/组距）与长方形高度的数学关系；第 查形式主要集中于三大维度：基础概念与绘 二，对高度重合情况的识别，需注意不同组可 制流程的规范性、频率与面积关系的数学理 能具有相同高度值；第三，牢记所有长方形面 解，以及直方图的数据特征分析。针对这些 积之和必须等于1；第四，严格区分概念 考点，本文不仅对各考查形式进行了结构化解 长方形的高度代表频率密度（频率/组距），而 析，还深入探讨了相应的答题策略，特别对解 非直接表示频率值。 题过程中易混淆的组距与频率计算、面积与概 例1某省为提高生活质量，推行“建 率转换等关键环节进行易错点归纳，旨在帮助 设美丽城市，文明在我省”的活动，为了扩大 学生规避常见失误，提升解题的准确度。 影响力，举力了“创建文明城市”知识竞赛，从 一、基础概念与绘制流程 所有答卷中随机抽取100份作为样本（满分 频率分布直方图补全类问题主要考查通 100分，成绩均为不低于40分的整数)分成 解析：记该市去年1名市民的收入为X 1) 243 243 万元，则E(X)=10,从该市任意选取3名市 2080,即P(A)m=1000 民，年收人超过100万元的人数为Y。 故选B。 设从该市任选1名市民，年收入超过100 点评：基于概率、统计的新定义问题，往 万元的概率为p,则根据马尔可夫不等式可 往是以创新定义的形式来设置题目条件与应 得p=P(X≥100)≤E(X2=101 用场景，并依托定义，紧扣题目所给的新定 100 100=10,所以 义、新运算法则、新符号等对所求问题进行恰 0≤≤b 当转化，合理构建数学模型，通过新定义寻求 解决问题的方法，并借助数学模型来实现问 因为Y一B(3,p),所以P(A)=P(Y 题的解决。 1)=Cp(1-p)2=3p(1-p)2=3p3-6p2+ 其实，基于概率与统计中的创新综合应 3p。 用问题，借助概率统计与函数、数列等知识的 令f(p)=3p3一6p2十3p,则f'(p)= 交汇融合为常见类型，以概率与统计中的新 9p2-12p+3=3(3p-1)(p-1)。 定义形式来合理设置，通过知识的交汇与融 因为0≤p≤0，所以3p-1<0,p-1< 合，巧妙渗透数据信息的分析与处理，数学模 型的构建及数学建模的解决，对于全面考查 0,即)>0,所以1)在0]上单调 同学们的“四基”与“四能”有着非常重要的体 现，同时还能优化数学思维品质，提升数学关 递增。 键能力，培养数学核心素养等。 所以f(力)mx= (品)=3×× (责任编辑王福华) 27