随机与秩序共生，能力与素养齐增——概率与统计的复习备考-《中学生数理化》高考数学2026年1月刊

随机与秩序共生 概率与统 ■四川省绵阳中学 概率统计是高中数学六大板块之一，在 高考数学中，概率统计试题的情境设计与考 查深度均体现了基础性、综合性和创新性，且 承担着“阅读理解、信息整理、问题建构”能力 的考查任务。高考命题覆盖了概率统计的核 心知识体系，考查的重要模型主要有古典概 率模型、二项分布模型、超几何分布模型、正 态分布模型、线性回归模型等。特别值得注 意的是，所有试题的思想方法都紧扣概率统 计问题的本质一事件分析（情境分析），避 免偏题怪题的出现。复习中需要回归概率统 计的学科本质，深刻理解重要概率统计模型， 夯实概念基础的理解和熟悉常用思维方法。 概率与统计板块在高考中基本是以一道选择 题或填空题和一道解答题的题型组合进行考 查，难度也是一易一难，既考查基础知识的理 解和应用，也能考查同学们的核心素养和能 力。本文通过典型的例题突破重点、难点。 考向一、成对数据的统计分析 例1(2025年湖北高三阶段练习)为 了研究每天喝咖啡与失眠的关系，现从某社 区人群中随机调查了1000人，得到如表1 所示的列联表（单位：人）： 表1 喝咖啡对睡眠的影响结果失眠不失眠合计 每天喝咖啡 120 380 500 不每天喝咖啡 80 420 500 合计 200 800 100C (1)记每天喝咖啡的人中患失眠的概率 为P,求P的估计值； (2)根据小概率值α=0.05的独立性检 验，分析每天喝咖啡是否与失眠有关。 n(ad-bc)2 附：X2= (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 知识篇科学备考新指向中学生数理化 高三数学2026年1月 能力与素养齐增 计的复习备考 实验学校 李长江 表2 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.7063.8416.6357.879 10.828 解析：(1)根据表1可知，每天喝咖啡的 有500人，其中患失眠的有120人，故P的估 计值为 =0.24。 (2)零假设为H。:每天喝咖啡与失眠独 立（即无关）。 根据公式及表1中的数据，可得X” 1000×(120×420-380×80)2 =10>3.841 800×200>×500×500 =x0.050 根据小概率值α=0.05的X独立性检验， 我们推断H。不成立，即认为每天喝咖啡与失眠 有关联，该推断犯错误的概率不超过0.05。 点睛：第(1)问根据列联表求解P的估 计值；第(2)问根据表中数据计算X,与参考 值比较即可求解。该类试题较为简单，一般 放在第一道解答题，同学们需注意解答规范， 计算准确，防止失分。 考向二、随机变量及其分布列 例2(2025年山东济南高三开学考 试)现有四个相同的小球，分别标有数字1， 2,3,4,将这些小球随机排成一列。 (1)求标有数字2和4的小球不相邻的 概率。 (2)一个排列中，若两个相邻小球上的数 字之和为5，则称这两个小球为一组“友好 球”。设X表示排列中“友好球”的组数，求 X的分布列和数学期望。 解析：(1)记“标有数字2和4的小球不 相邻”为事件A,则P(A)=AA-1 A ，所以 标有数字2和4的小球不相邻的概率为分 3 中学生表理化架学多幸新的 (2)由题意知，X的所有可能取值为0， 1,2,且P(X=2)= A 3,P(X=1) A:AA =2AA: 1 A =3,P(X=0)=1-P(X=1) P(X=2)= 3,所以X的分布列如表3： 表3 X 0 2 1 P 93 3 1 数学期望E(X)=0× +1× 3 十2× 点睛：第(1)问是经典的“不相邻”问题， 若先全排，再捆绑2,4算相邻，考虑反面，注 意捆绑2,4两个元素有顺序，则A一AA。 第(2)问中X的可能取值最大为2，计算概率 较为简单，但是要注意多个排序，1与4捆绑 内部有序，2与3捆绑内部也有序，两个捆绑 也有序号，因此分子为AAA;当X=1时， 运用的方法是捆绑法和插空法，因为有两对 数字之和为5，所以再乘以2。概率计算需要 准确无误。 考向三、二项分布及超几何分布 例3“英才计划”最早开始于2013 年，由中国科协、教育部共同组织实施，到 2023年已经培养了6000多名具有创新潜质 的优秀学生，为选拔培养对象，某高校在暑假 期间从中学里挑选优秀学生参加数学和物理 学科夏令营活动。 (1)若参加数学学科夏令营的7名学生 中恰有3名来自A中学，从这7名学生中选 取3名，求选取的学生中来自A中学的人数 X的分布列和数学期望。 (2)在夏令营活动中，物理学科举行了一 次学科知识竞答活动，规则如下：两人一组， 每一轮竞答中，每人分别答两题，若小组答对 题数不小于3，则取得本轮胜利。已知甲、乙 两位同学组成一组，甲、乙答对每道题的概率 分别为p1、p2。假设甲、乙两位同学每次答 题相互独立，且互不影响。 ①求甲、乙两位同学所在组每轮答题中 取胜的概率P； ②当D十：=号时，求P的最大值。 解析：(1)由题意知，X的所有可能取值 为0,1,2,3，且P(X=0)= C=35,P(X= 1)=CC18 C=35,P(X=2)=9 -器r(X C 5,所以X的分布列为表4： =3)= 表4 0 1 3 P 18 12 1 35 35 35 35 数学期望E(X)=0× 35+1 35+2× 1 12 (2)①因为甲、乙两位同学每次答题相互 独立，所以可设甲答对题数为X,则X一B(2, p1);设乙答对题数为7，则7~B(2,p2)。 设“甲、乙两位同学在每轮答题中取胜” 为事件A,则P(A)=P(X=1)P(7=2)十 P(X=2)P(7=1)+P(X=2)P(7=2)= C2p1(1-p1)Cp:+CpiC2p2(1-p2)+ CipiCipi=2p1(1-P)p+2p:(1-P:)pi +pip号=-3pip号+2p1p号+2p1p,。 ②因为p:十P:-专，所以P(A) -3pipi+ 由0≤p1≤1,0≤p:≤1，p1十P:=号，得 3≤b:≤1，则pA:=A(台-p)=专A: e[哈，] 设=P1P,所以P(A)=-3+受： -3-)》+9 由二次函数的性质可知，当1=时， P(A)取最大值9，放甲、乙两位同学在每轮 答题中取胜的概率的最大值为号。 点睛：第(1)问，由题意知，X的所有可能 取值为0,1,2,3，根据超几何分布求出分布 列，从而计算数学期望。第(2)的第①小问， 由题意知，甲、乙两位同学每次答题相互独 立，设甲答对题数为X,则X~一B(2,p1),乙答 对题数为7，则7一B(2,p2),然后计算取胜 的概率P;第②小问是双变量问题，其处理策 略是消去一个变量，由力1十p,=3,令t= 4 P1P:得P(A)=一3r+号，然后转化为求 二次函数的最值问题。 考向四、条件概率和全概率公式 例4某工厂生产一种零件，该零件的 质量分为三个等级：一等品、二等品和次品。 根据历史数据，该工厂生产一等品、二等品和 次品的概率分别为0.7、0.2和0.1。现对一 批刚生产出来的零件进行质量检测，检测方 式分为两种：自动检测和人工抽检，自动检测 能将一等品全部正确识别，但有5%的概率 将二等品误判为次品，有15%的概率将二等 品误判为一等品，也有10%的概率将次品误 判为二等品。 (1)求自动检侧判断零件为次品的概率。 (2)求在自动检测下，一个被判断为次品 的零件实际上就是次品的概率。 (3)假设零件先经过自动检测，若判断为 一等品，则进行人工抽检；若判断为二等品或 次品，则直接淘汰。求人工抽检一个零件，该 零件恰好是一等品的概率。 解析：(1)设事件A表示零件是次品，事 件B表示自动检测判断零件为次品，事件 A1、A,分别表示零件是一等品、二等品，则 P(B)=P(A)P(B A)+P(A,)P(BA,) +P(A1)P(BA1)=0.1×0.9+0.2×0.05 +0.7×0=0.1。 (2)由(1)知P(B)=0.1,则P(AB)= P(AB)P(A)P(B|A)0.1×0.9 =0.9。 P(B) P(B) 0.1 阳数学将相舟中学生款理化 所以在自动检测下，一个被判断为次品 的零件实际上就是次品的概率为0.9。 (3)设事件C表示零件需要进行人工抽 检，事件D表示人工抽检的零件为一等品， 则P(C)=0.7十0.2×0.15=0.73，P(CD) =0.7。 所以人工抽检一个零件，该零件恰好是 一等品的概率为P(DC)=P(CD)_0.7 P(C)0.73 0 Γ73 点睛：第(1)问需理解全概率公式的使用 条件，利用互斥事件和的概率与条件概率进 行计算。第(2)问需在条件概率的基础上准 确理解全概率公式，全概率公式里的每一项 P(AB,)本身就是条件概率；没有条件概率 就没有全概率。二者都依赖“样本空间可分 割”的思想：先拆后合。条件概率回答“已知 事件B发生的条件下A发生的可能性”；全 概率回答“原因未知时事件A的总体可能 性”。条件概率只需一个条件B;全概率需要 一组完备的事件划分{B,}及对应的P(B,)。 概率统计是高考解答题必考板块，尤其 是概率综合性问题的考查是高考压轴题的新 方向，突出考查同学们的创造性思维能力，试 题难度也就相应增大，要求同学们在陌生情 境中主动构建认知框架，概率问题需要分析 诸多事件的关系，进而得到相应的关系式，通 过建立新问题与已有知识体系的内在联系， 形成科学的解题路径。近几年高考试题对马 尔可夫链（出现在普通高中教科书数学选择 性必修第三册A版第91页复习参考题7拓 广探索第10题)的应用增强，要注重理解这 个重要的概率模型。概率统计因其与实际生 活联系非常紧密，成为搭建其他知识与实际 生活联系的重要桥梁，因此近几年逐渐开始 与数列、导数等深度交汇，未来也有可能与立 体几何、向量等进行跨模块融合。在复习过 程中，同学们要夯实基础知识的理解，对概念 界定做到准确清晰，解题过程中树立解决问 题的意识，善于总结基本方法、基本技能，还 要不断地提升运算能力，总结运算技巧，做到 既要会又要对。 (责任编辑王福华) 5