精品解析：天津滨海新区2025-2026学年高二下学期期末检测数学试卷

滨海新区2025—2026学年度第二学期期末检测卷 高二年级数学学科 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间100分钟． 答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场、准考证号填写在答题卡上．答卷时，考生务必将Ⅰ卷答案涂在答题卡上；Ⅱ卷答案写在答题纸上，答在试卷上的无效． 祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷 选择题（60分） 注意事项： 1．每题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 2．本卷共12小题，每小题5分，共60分． 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，，则=（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数中，在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 3. 设是实数，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 若随机变量，，则（ ） A. 0.21 B. 0.79 C. 0.29 D. 0.5 5. 已知，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数的部分图象如图，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 7. 箱子中有2个红球，1个黄球，1个白球，采用有放回的方式连续抽取3次，在三次都没取到白球的条件下，至少取到一次黄球的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 2026年5月24日23时08分，搭载神舟二十三号载人飞船的长征二号F遥二十三运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，发射直播引发全民收看热潮．某调研机构随机抽取80名受访者，统计其观看本次发射直播时长，将观看时长2小时以上记为类别A，不足2小时记为类别B，得到如下列联表（单位：人），则以下说法正确的是（ ） 类别A 类别B 合计 女 12 28 40 男 24 16 40 合计 36 44 80 附：，其中， 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 A. 在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为观看时长类别与性别无关 B. 在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为观看时长类别与性别有关 C. 在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为观看时长类别与性别无关 D. 在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为观看时长类别与性别有关 9. 已知是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 10. 下列结论中，正确的选项个数是（ ） ①统计某大型超市连续高温天数与当日瓶装矿泉水闭店剩余库存，得到相关系数，说明连续高温天数与矿泉水剩余库存呈负相关； ②某电商平台分析广告投入（万元）与销售额（万元）的关系，根据历史数据由最小二乘法求得回归方程为，则当广告投入为5万元时，该平台当月的销售额一定是26万元； ③对具有线性相关关系的变量，，且回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是； ④设具有相关关系的两个变量、的相关系数为，越接近于1，说明两个变量之间的线性相关性越强． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 11. 下列命题正确的是（ ） ①若的二项展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式中各项系数的和为； ②已知函数（，且）的图象恒过定点； ③已知，则的最小值为； ④已知，若，则或． A. ①④ B. ②③ C. ②③④ D. ①③④ 12. 已知函数．若在上恒成立，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 非选择题（90分） 注意事项：用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上． 二、填空题：本大题共8小题，每小题5分，共40分． 13. 已知命题“，”，则为____________________________________． 14. 已知关于的一元二次不等式的解集为，则实数的值为_________． 15. 在的展开式中，的系数为_____________.（用数字作答） 16. 函数的定义域是_____________． 17. 已知实数，满足：，且，则_______． 18. 某篮球运动员进行定点投篮训练．已知他第一次投篮命中的概率为0.5．若前一次命中，则下一次命中的概率为0.8；若前一次未命中，则下一次命中的概率为0.4．该运动员第二次投篮命中的概率为______；若这名篮球运动员做4组投篮训练，每组连续投篮2次，2次都命中记为成功，每组投篮训练成功与否相互独立，设这4组投篮训练中成功的次数为X，则期望______． 19. 已知函数，则不等式的解集为_____________． 20. 定义函数，，若至少有个不同的实数解，则实数的取值范围是_____． 三、解答题：本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 21. 袋中装有标有数字1到6的6个大小、形状相同的小球，从袋中任取3个小球，每个小球被取出的可能性都相等，用表示取出的3个小球标号的最大数字． （1）求取出的3个小球的标号和为偶数且的概率； （2）求随机变量的分布列及数学期望． 22. 食品安全问题越来越受到人们的重视，某超市在某种蔬菜进货前，要求食品安检部门对每箱蔬菜进行三轮各项指标的综合检测，只有三轮检测都合格，蔬菜才能在该超市销售．已知每箱这种蔬菜第一轮检测合格的概率为，第二轮检测合格的概率为，第三轮检测合格的概率为，每轮检测只有合格与不合格两种情况，且各轮检测是否合格相互之间没有影响，且各箱蔬菜的检测结果也相互之间没有影响． （1）求每箱这种蔬菜不能在该超市销售的概率； （2）如果这种蔬菜能在该超市销售，则每箱可获利400元，如果不能在该超市销售，则每箱亏损200元，现有4箱这种蔬菜，求这4箱蔬菜总收益的分布列与期望； （3）已知对于二项分布~，其概率随着的增大先增后减（即存在某个，使得在时单调递增，在时单调递减）．现超市采购箱该蔬菜（），记能够顺利销售的箱数为随机变量，已知是所有可能取值中概率的唯一最大值，求正整数的值． 23. 已知函数． （1）当时，求的极值； （2）若在区间的最小值为7，求实数的值． 24. 已知函数 （1）若 ， 求函数在点处的切线方程； （2）若，且对于任意 恒成立，试确定实数k的取值范围； （3）设函数 求证： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 滨海新区2025—2026学年度第二学期期末检测卷 高二年级数学学科 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间100分钟． 答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场、准考证号填写在答题卡上．答卷时，考生务必将Ⅰ卷答案涂在答题卡上；Ⅱ卷答案写在答题纸上，答在试卷上的无效． 祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷 选择题（60分） 注意事项： 1．每题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 2．本卷共12小题，每小题5分，共60分． 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由于，故． 2. 下列函数中，在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】逐一判断各选项对应基本初等函数在区间上的单调性，即可解答. 【详解】对于选项A：因为函数是反比例函数，且， 所以在上单调递减，故选项A不符合要求； 对于选项B：因为函数是开口向上的二次函数，且对称轴为直线， 所以在上单调递增，故选项B符合要求； 对于选项C：因为函数是指数函数，且底数满足， 所以在上单调递减，在上也单调递减，故选项C不符合要求； 对于选项D：因为函数是对数函数，且底数满足， 所以函数在上单调递增， 则函数在上单调递减，故选项D不符合要求. 3. 设是实数，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的性质，以及充分不必要条件的性质，证明结果即可. 【详解】根据不等式的性质可知，当时，， 当时，满足，不满足， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 4. 若随机变量，，则（ ） A. 0.21 B. 0.79 C. 0.29 D. 0.5 【答案】C 【解析】 【详解】因为，且， 故， 故． 5. 已知，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】， 故. 6. 已知函数的部分图象如图，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由图象可知，函数定义域为，为奇函数，且，则. 对于A，对于函数， 当时，，不满足题意； 对于B，函数的定义域为，不符合题意； 对于C，对于函数， 当时，，不符合题意； 对于D，函数的定义域为， 且，则函数为奇函数， 而时，，时，，满足题意. 7. 箱子中有2个红球，1个黄球，1个白球，采用有放回的方式连续抽取3次，在三次都没取到白球的条件下，至少取到一次黄球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先得到“在三次都没取到白球的条件下，至少取到一次黄球”的对立事件，然后根据对立事件概率性质计算. 【详解】“在三次都没取到白球的条件下，至少取到一次黄球”的对立事件为“在三次都没取到白球的条件下，一次黄球都没取到”，即在2个红球，1个黄球中有放回的连续抽取3次，3次都是红球， 设“在三次都没取到白球的条件下，至少取到一次黄球”为事件A， 则. 8. 2026年5月24日23时08分，搭载神舟二十三号载人飞船的长征二号F遥二十三运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，发射直播引发全民收看热潮．某调研机构随机抽取80名受访者，统计其观看本次发射直播时长，将观看时长2小时以上记为类别A，不足2小时记为类别B，得到如下列联表（单位：人），则以下说法正确的是（ ） 类别A 类别B 合计 女 12 28 40 男 24 16 40 合计 36 44 80 附：，其中， 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 A. 在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为观看时长类别与性别无关 B. 在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为观看时长类别与性别有关 C. 在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为观看时长类别与性别无关 D. 在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为观看时长类别与性别有关 【答案】D 【解析】 【分析】根据公式求出，由此可得出结论． 【详解】根据题意可知， 故在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为观看时长类别与性别有关. 9. 已知是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】使用奇偶性的定义与周期性的定义求解. 【详解】. 10. 下列结论中，正确的选项个数是（ ） ①统计某大型超市连续高温天数与当日瓶装矿泉水闭店剩余库存，得到相关系数，说明连续高温天数与矿泉水剩余库存呈负相关； ②某电商平台分析广告投入（万元）与销售额（万元）的关系，根据历史数据由最小二乘法求得回归方程为，则当广告投入为5万元时，该平台当月的销售额一定是26万元； ③对具有线性相关关系的变量，，且回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是； ④设具有相关关系的两个变量、的相关系数为，越接近于1，说明两个变量之间的线性相关性越强． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【详解】对于①，因为，故连续高温天数与矿泉水剩余库存呈负相关，①正确； 对于②，线性回归方程的计算结果为预测值，并非确定的实际值， 当广告投入为5万元时，销售额的预测值为万元，不能判定实际销售额一定为26万元，②错误； 对于③，线性回归直线必过样本点的中心， 将样本中心代入回归方程，可得， 化简得，解得，③正确； 对于④，相关系数满足，越接近于1，两个变量的线性相关性越强，越接近于0，线性相关性越弱，故④正确. 综上，正确的结论共3个，答案选C. 11. 下列命题正确的是（ ） ①若的二项展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式中各项系数的和为； ②已知函数（，且）的图象恒过定点； ③已知，则的最小值为； ④已知，若，则或． A. ①④ B. ②③ C. ②③④ D. ①③④ 【答案】B 【解析】 【详解】对于命题①：二项展开式中仅第6项二项式系数最大，说明展开式共11项，故， 令得各项系数和为，①错误。 对于命题②：对指数函数（），令，得，此时， 故图象恒过定点，②正确。 对于命题③：由对数运算性质，，得，且， 由基本不等式，，当且仅当时等号成立，故最小值为，③正确。 分析命题④：当时，，解得，符合定义域；当时，，解得，④错误. 12. 已知函数．若在上恒成立，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】指对同构后将不等式变形为，再设，利用导数分析单调性求出最小值，然后令，利用导数分析最大值可得. 【详解】因为，即，即在上恒成立， 设，则，易知时，， 在上单调递增，， 所以恒成立，即， 令，则， 易知在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以实数a的取值范围是. 故选：B. 第Ⅱ卷 非选择题（90分） 注意事项：用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上． 二、填空题：本大题共8小题，每小题5分，共40分． 13. 已知命题“，”，则为____________________________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题的规则，更换量词并否定原命题结论即可求解. 【详解】 根据全称量词命题的否定规则：全称量词命题的否定是存在量词命题，需将全称量词替换为存在量词， 同时否定原命题的结论， 结论的否定为， 因此为。 14. 已知关于的一元二次不等式的解集为，则实数的值为_________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据一元二次不等式和一元二次方程的关系以及韦达定理可求解. 【详解】因为关于的一元二次不等式的解集为， 所以和是方程的两个实数根， 则由韦达定理可得，解得：. 15. 在的展开式中，的系数为_____________.（用数字作答） 【答案】. 【解析】 【分析】结合二项式展开式的通项公式，令即可求出结果. 【详解】由题意知，令，则， 故答案为：. 16. 函数的定义域是_____________． 【答案】 （或） 【解析】 【分析】 【详解】要使函数有意义，需同时满足且， 联立约束条件可得，解得，因此该函数的定义域为. 17. 已知实数，满足：，且，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】化成对数式后根据对数的运算法则计算即可. 【详解】由题， 所以. 18. 某篮球运动员进行定点投篮训练．已知他第一次投篮命中的概率为0.5．若前一次命中，则下一次命中的概率为0.8；若前一次未命中，则下一次命中的概率为0.4．该运动员第二次投篮命中的概率为______；若这名篮球运动员做4组投篮训练，每组连续投篮2次，2次都命中记为成功，每组投篮训练成功与否相互独立，设这4组投篮训练中成功的次数为X，则期望______． 【答案】 ①. 0.6## ②. 1.6## 【解析】 【分析】第一空，设事件表示“第次投篮命中”，然后根据全概率公式求解即可. 第二空，先求出每组投篮训练成功的概率，再根据二项分布的期望公式计算. 【详解】设事件表示“第次投篮命中”，则表示“第次投篮未命中”. 由题意，. 根据全概率公式可得. 每组连续投篮命中2次为成功，第一次命中概率为，若第一次命中，则第二次命中的概率为，根据分步乘法计数原理，每组投篮训练成功的概率为. 又每组投篮训练成功与否相互独立，且每组投篮训练成功的概率均为，共进行组投篮训练，所以，所以. 19. 已知函数，则不等式的解集为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用函数奇偶性的定义得到函数为奇函数，再利用导数分析函数的单调性得到函数在上单调递增，进而根据奇函数的性质转化不等式为，再根据单调性求解即可. 【详解】函数的定义域为， 且， 所以函数为奇函数. 又，当且仅当时等号成立， 则函数在上单调递增， 由，得， 则，即，解得或， 所以不等式的解集为. 20. 定义函数，，若至少有个不同的实数解，则实数的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】分析可知，函数至少有一个零点，可得出，求出的取值范围，然后对实数的取值进行分类讨论，数形结合，结合函数的零点个数，可得出关于实数的等式或不等式，综合可得出实数的取值范围. 【详解】由，可得， 设，则函数至少有一个零点， 则，解得或， 当时，设函数两个零点分别为、且， 由韦达定理可得，则必有，则必为函数的一个零点， 若使得函数至少有三个零点，则必有，即，解得，所以，， 且当时，， 作出函数的图象如下图中的实线所示： 由图可知，此时函数只有两个零点，不合乎题意； 若，设函数两个零点分别为、且， 由韦达定理可得，则必有， 从而可知，必为函数的一个零点，作出函数的图象如下图中的实线所示， 若使得函数至少有三个零点，则，所以，，解得，此时，. 综上所述，的取值范围是. 故答案为：. 三、解答题：本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 21. 袋中装有标有数字1到6的6个大小、形状相同的小球，从袋中任取3个小球，每个小球被取出的可能性都相等，用表示取出的3个小球标号的最大数字． （1）求取出的3个小球的标号和为偶数且的概率； （2）求随机变量的分布列及数学期望． 【答案】（1） （2）分布列如下： 3 4 5 6 数学期望 【解析】 【分析】（1）明确时必取标号为6的球，根据三个数和为偶数的要求计算剩余两个球的符合条件取法，结合古典概型求解概率； （2）先确定ξ的所有可能取值，分别计算各取值对应的概率得到分布列，再代入期望公式计算数学期望. 【小问1详解】 说明取出的3个球中必有标号6，剩余2个小球从标有1到5的小球中选取， 要求标号和为偶数： 已知6是偶数，因此剩余2个小球的标号和需为偶数，即剩余2个同奇偶。 即满足条件的取法为取两个奇数或取两个偶数，取法数为， 从6个球中任取3个的总取法为种， 因此所求概率为：； 【小问2详解】 随机变量ξ的所有可能取值为， 当时，取出的3个球最大标号为3，即只能取1,2,3，故； 当时，取出的3个球最大标号为4，； 当时，取出的3个球最大标号为5，； 当时，取出的3个球最大标号为6，； 故ξ的分布列如下： 3 4 5 6 数学期望. 22. 食品安全问题越来越受到人们的重视，某超市在某种蔬菜进货前，要求食品安检部门对每箱蔬菜进行三轮各项指标的综合检测，只有三轮检测都合格，蔬菜才能在该超市销售．已知每箱这种蔬菜第一轮检测合格的概率为，第二轮检测合格的概率为，第三轮检测合格的概率为，每轮检测只有合格与不合格两种情况，且各轮检测是否合格相互之间没有影响，且各箱蔬菜的检测结果也相互之间没有影响． （1）求每箱这种蔬菜不能在该超市销售的概率； （2）如果这种蔬菜能在该超市销售，则每箱可获利400元，如果不能在该超市销售，则每箱亏损200元，现有4箱这种蔬菜，求这4箱蔬菜总收益的分布列与期望； （3）已知对于二项分布~，其概率随着的增大先增后减（即存在某个，使得在时单调递增，在时单调递减）．现超市采购箱该蔬菜（），记能够顺利销售的箱数为随机变量，已知是所有可能取值中概率的唯一最大值，求正整数的值． 【答案】（1） （2）总收益的分布列为 数学期望为. （3） 【解析】 【分析】（1）首先根据概率乘法公式求出每箱这种蔬菜能在该超市销售的概率，根据对立事件可得结果； （2）根据（1）中结果及二项分布可得分布列，进而得数学期望； （3）根据题意列不等式组即可求解. 【小问1详解】 每箱这种蔬菜能在该超市销售，即事件“第一、二、三轮检测合格”， 其概率为， 所以每箱这种蔬菜不能在该超市销售的概率为. 【小问2详解】 这4箱蔬菜在该超市销售的箱数可能为， 设这4箱蔬菜的总收益为随机变量，则的所有可能取值为， 根据（1）中结果可知 ，， ，， ， 所以的分布列为 故数学期望为. 【小问3详解】 由题意知~，且是所有可能取值中概率的唯一最大值， 所以，即， 解得， 又，且为正整数，所以. 23. 已知函数． （1）当时，求的极值； （2）若在区间的最小值为7，求实数的值． 【答案】（1） 极小值为，无极大值. （2） . 【解析】 【分析】（1）代入的值后求导，判断单调性确定极小值点； （2）求导后分类讨论导函数零点与区间端点的位置关系，第一种情况下直接解出参数，第二种情况下构造新函数证明无解. 【小问1详解】 当时，，定义域.  ，令得. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 因此仅在处取得极小值，极小值为，无极大值. 【小问2详解】 求导得. 因，导数符号由决定，分类讨论： ① 若，即，此时在恒成立，单调递增， 最小值为，令，解得，符合条件； ② 若，即，令，得 . 当  时，，单调递减； 当时，，单调递增. 所以在处取得最小值，即， 令 ，则， 故在上单调递增，又，故，无解. 综上，实数的值为. 24. 已知函数 （1）若 ， 求函数在点处的切线方程； （2）若，且对于任意 恒成立，试确定实数k的取值范围； （3）设函数 求证： 【答案】（1） （2） （3） ， 则 ， 因此， 分别取， 则， ， ……, ， 因此 即 【解析】 【分析】（1）求导，即可根据点斜式求解切线方程， （2）根据函数的单调性，求解最值，即可解不等式求解， （3）根据基本不等式以及放缩法可证明，即可取，累乘得证. 【小问1详解】 当时，则， 故， 故在点处的切线方程为，即， 【小问2详解】 ，， 当时，在单调递增， 当时，在单调递减， 因此即可， 解得， 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $