精品解析：天津市滨海新区2024-2025学年高二下学期期末检测数学学科试卷

天津市滨海新区2024-2025学年高二下学期期末检测数学学科试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ两部分，满分150分，考试时间100分钟． 答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场、准考证号填写在答题卡上.答卷时，考生务必将Ⅰ卷答案涂在答题卡上；Ⅱ卷答案写在答题卡上，答在试卷上的无效.祝各位考生考试领利！ 第Ⅰ卷 选择题（60分） 注意事项： 1.每周选出答案后，用铅等将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 2.本卷共12小题，每小题5分，共60分. 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据并集直接运算. 【详解】由题可知：. 故选：D 2. 下列函数中，在区间上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数性质逐一判断即可. 【详解】对A，在上单调递增，故错误； 对B，在上单调递增，故错误； 对C，在上单调递减，故正确； 对D，在上单调递增，故错误. 故选：C. 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】 由不等式，解得或，结合充分、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由不等式，可得或， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 4. 已知随机变量，若，则（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.5 【答案】C 【解析】 【分析】根据正态分布的性质简单判断即可. 【详解】由题可知：. 故选：C 5. 若，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由指数和对数的单调性可得. 【详解】，，， 所以. 故选：C. 6. 如图是下列四个函数中的某个函数在区间的大致图象，则该函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由可排除CD，可排除B. 【详解】可排除CD，可排除B， 当时，由图象可得，而CD中，故排除； 当时，由图象可得，而B中，故错误； 故选：A. 7. 从某学校获取了容量为100的有放回简单随机样本，将所得数学和语文期末考试成绩的样本观测数据整理如下： 数学成绩 语文成绩 合计 不优秀 优秀 不优秀 46 9 55 优秀 31 14 45 合计 77 23 100 经计算： 附： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10828 参考附表，得到的正确结论是（ ） A. 根据小概率值的独立性检验，认为“该校学生数学成绩是否优秀与语文成绩是否优秀有关”； B. 根据小概率值的独立性检验，认为“该校学生数学成绩是否优秀与语文成绩是否优秀有关”； C. 根据小概率值的独立性检验，认为“该校学生数学成绩是否优秀与语文成绩是否优秀有关”； D. 根据小概率值的独立性检验，认为“该校学生数学成绩是否优秀与语文成绩是否优秀无关”. 【答案】B 【解析】 【分析】由独立性检验比较可得. 【详解】因为，所以根据小概率值的独立性检验，认为“该校学生数学成绩是否优秀与语文成绩是否优秀有关”. 故选：B. 8. 有3名男生和2名女生站成一排拍照，其中男生甲必须站在两端，2名女生必须站在一起，则不同的站法有（ ） A. 8种 B. 12种 C. 20种 D. 24种 【答案】D 【解析】 【分析】由分步乘法原理，特殊的先排可得. 【详解】先选男生甲的位置，有2种； 再将两名女生绑定排列有2种，然后与剩余同学全排列有种； 由分步乘法原理可得共有种. 故选：D. 9. 下列说法正确的个数是（ ） ①如果记录了x，y的几组数据分别为，那么关于的经验回归直线必过点； ②残差均匀分布的水平带状区域的宽度越窄，说明经验回归方程刻画两个变量之间关系的效果就越差； ③样本相关系数的绝对值越接近1，成对样本数据的线性相关程度越强，越接近0，成对样本数据的线性相关程度越弱，当时，表明成对样本数据间没有关系； ④对于一元线性回归模型中的斜率参数，则当时，表示解释变量和响应变量之间存在正相关. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由回归直线，残差，样本的相关系数，一元线性回归概念逐项判断即可. 【详解】对于①，由题意可得，所以关于的经验回归直线必过点，故①正确； 对于②，残差均匀分布的水平带状区域的宽度越窄，说明经验回归方程刻画两个变量之间关系的效果就越好，故②错误； 对于③，样本相关系数的绝对值越接近1，成对样本数据的线性相关程度越强，越接近0，成对样本数据的线性相关程度越弱，当时，表明成对样本数据间没有线性关系，但可能存在其它关系，故③错误； 对于④，对于一元线性回归模型中的斜率参数，则当时，表示解释变量和响应变量之间存在正相关，故④正确. 故选：B. 10. 下列命题正确的是（ ） ①在的展开式中，只有第四项的二项式系数最大，则展开式中各项系数的和为； ②已知函数，且的图象恒过定点； ③若函数，且在上单调递增，则； ④已知函数，若成立，则实数的取值范围为. A. ②③ B. ①④ C. ①②④ D. ①③④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据二项式定理性质可判断①；根据指数函数性质可判断②；根据复合函数单调性可判断③；判断函数奇偶性、单调性，然后计算即可. 【详解】对①可知，令，所以展开式中各项系数的和为，故正确； 对②，函数图象过定点，故错误； 对③，根据复合函数的单调性可知：，故错误； 对④，由，且， 所以函数为的奇函数， ，所以函数在单调递增. ， 所以，故正确. 故选：B 11. 同时抛掷一颗红骰子和一颗蓝骰子，观察向上的点数，记“红骰子向上的点数小于3”为事件A，“两颗骰子点数之和不大于4”为事件，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件概率公式计算即可. 【详解】用表示两个骰子向上的点数，表示红骰子向上的点数，表示蓝骰子向上的点数， 事件的所有基本事件个数为个； 事件的所有基本事件有：共5个， . 故选：D. 12. 已知函数，若对于任意的，总存在，使得成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题可得，即，通过研究函数可得，然后通过研究， 可得，据此可得答案. 【详解】由题可得，其中，. ，则在上单调递减，从而. 则，其中. 令，则，. 令，， ， 则在上单调递增，在上单调递减， 从而. 令，， 令，， 则在上单调递减，在上递增， 从而. 则. 故选：B 第Ⅱ卷 非选择题（90分） 注意事项：用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上. 二、填空题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 13. 已知命题，则为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据全称命题的否定概念理解. 【详解】命题，则为. 故答案为： 14. 一元二次不等式的解集为______. 【答案】 【解析】 【分析】由一元二次不等式的解法可得. 【详解】，解得. 故答案为：. 15. 函数的定义域是______. 【答案】 【解析】 【分析】计算即可. 【详解】由题可知：，且. 所以定义域为. 故答案为： 16. 的展开式中含项的系数为______.（用数字作答） 【答案】6 【解析】 【分析】根据给定条件，求出二项式展开式的通项公式即可得解. 【详解】展开式的通项公式， 由，得，所以所求系数为. 故答案为：6 17. 已知函数，且，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】利用指数幂运算性质，对数的运算性质计算. 【详解】由题可知：， 所以. 故答案为： 18. 已知某学校音乐社、舞蹈社和美术社三个社团的学生人数之比为2:3:4，其中这三个社团中会乐器的人数占各社团人数的比例分别为.（ⅰ）现从这三个社团中各随机抽取一人，则这三人均会乐器的概率为______；（ⅱ）若将这三个社团成员组成一个联合团体，从中随机抽取一人，则此人不会乐器的概率为______. 【答案】 ①. ##0.015 ②. 【解析】 【分析】第一空由独立事件的乘法公式可得；第二空结合题意由全概率公式可得. 【详解】由题意可得，从这三个乐团中随机抽取一个人会乐器的概率分别为0.3,0.2,0.25， 所以由独立事件的乘法公式可得三人均会乐器的概率为； 由全概率公式可得. 故答案为：；. 19. 已知随机变量的分布列为： 1 2 3 当取最小值时，______，______. 【答案】 ① 6 ②. 2 【解析】 【分析】先由分布列的性质结合基本不等式的乘1法求出，再由期望和方差公式可得. 【详解】由题意可得，即， ， 当且仅当即时取等号， 所以，. 故答案为：6；2. 20. 已知函数（i）方程的解集为______；（ii）若函数有四个不同的零点，从小到大依次为，则的取值范围为______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（i）分讨论，求解即可；（ii）使用等价转化，参变分离，得到，，然后结合图形，得到的范围，根据韦达定理求解可得. 【详解】（i）①或；②. 所以方程的解集为. （ii）函数有四个不同的零点等价于方程有四个不同的根， 当时，满足上式；当时，；当时，. 作出图像： 由，所以，所以， 当时，有最大值，在处取得，且为， 令，所以； 对函数，令，所以， 则，两函数图像有3个交点， 令，所以 综上所述：. 故答案为： 三、解答题：本大题共4小题，共50分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 21. 甲同学参加数学、物理2门课程的考试，假设甲同学在这2门课程考试中取得优秀成绩的概率分别是，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立. （1）求甲同学2门课程均未取得优秀成绩的概率； （2）求甲同学取得优秀成绩的课程数的分布列及均值. 【答案】（1） （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）由独立事件的乘法公式可得； （2）由题意得的可能取值，利用独立事件的乘法公式依次求出相应的概率，列出分布列，再由公式得到期望. 【小问1详解】 设甲同学2门课程均未取得优秀成绩为事件， 则事件的概率. 【小问2详解】 由题意得的可能取值为0，1，2 故的分布列如下所示： 0 1 2 则随机变量的均值为. 22. 继2025年4月天津滨海新区中新生态城半程马拉松之后，为推动全民健身活动，组委会随机选取8个马拉松训练营调研“长跑耐力训练”的参与情况，统计各训练营参与学员人数，得到数据如下表： 训练营 A B C D E F G H 参与人数（人） 45 53 23 37 33 18 24 48 （1）若参与人数超过30人的训练营为“特色训练营”，现从这8个训练营中随机选出3个，记选出“特色训练营”的数量为随机变量，求的分布列和均值； （2）在长跑训练中，学员需掌握“匀速跑”“间歇跑”“冲刺跑”三项基础技能．在一轮测试中，这三项至少有两项成绩达到“90分及以上”，该轮测试才被记为“优秀”.已知甲学员每项成绩达到“90分及以上”的概率均为，每项测试及每轮测试相互独立． （i）求甲学员单轮测试“优秀”的概率； （ii）若甲学员进行多轮独立测试，希望“优秀”次数的平均值不低于2次，那么理论上至少要进行多少轮测试？ 【答案】（1）分布列见解析， （2）（i）；（ii）6轮 【解析】 【分析】（1）由题意得到随机变量的可能取值，利用古典概率和组合数求出相应的概率，列出分布列，由公式可得期望； （2）（i）由二项分布的概率公式可得； （ii）由二项分布的期望公式计算可得. 【小问1详解】 由题意得，参与人数超过30人的共有5个，未超过30人的共有3个，则随机变量的可能取值为 ， . 故的分布列如下所示： 0 1 2 3 则随机变量的均值为 【小问2详解】 （i）设甲学员单轮测试“优秀”的事件为， 则 （ii）设理论上至少需测试轮， 记甲学员在测试中获得“优秀”的次数为，则 则 又因为，所以的最小值是6. 所以理论上至少需要测试6轮 23 已知函数. （1）设是函数的极值点，求的值； （2）当时，证明：， （3）设，讨论函数的单调性. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）由极值点处导数为零可得； （2）利用分析法，设求导后分析单调性和最值可得； （3）先求出的表达式，再求导，分和且两种情况，得到函数单调性. 【小问1详解】 ， 因为，得，经检验满足题意. 【小问2详解】 当时，， 要证：，即证， 设， 所以在区间上单调递增 所以，即 【小问3详解】 因为， 则， 当时，，令得，令得， 函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 当且时，，令令得，令得， 函数在区间上单调递减，在区间上单调递增 综上，当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 当且时，在区间上单调递减，在区间上单调递增. 24 已知函数. （1）求函数在处的切线方程： （2）对于函数，若存在m，n，使得，则称与为“互补函数”，且m，n为“互补数”.若函数与为“互补函数”，m，n为“互补数”． （i）是否存在m，n，满足，若存在，求出m，n，若不存在，请说明理由； （ii）若，求的最小值. 【答案】（1） （2）（i）存在，；（ii） 【解析】 【分析】（1）由导数的意义结合点斜式可得； （2）（i）由互补函数结合对数的运算性质可得； （ii）由函数新定义设，结合对数的运算性质再令，得到函数，最后利用导数分析单调性和最值可得. 【小问1详解】 因为， 则，所以切线方程为. 【小问2详解】 （i）因为函数与为“互补函数”， 则 化简得，（＊）， 因为，对两边取对数得， 将代入（＊）式得 （ii）因为， 设， 则，① ，② ①+②得，， ①－②得， 令， ， 对上面两个式子消元得， 设，则 令，则， 所以在区间上单调递减， 所以在区间上单调递增， 所以， 即的最小值 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 天津市滨海新区2024-2025学年高二下学期期末检测数学学科试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ两部分，满分150分，考试时间100分钟． 答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场、准考证号填写在答题卡上.答卷时，考生务必将Ⅰ卷答案涂在答题卡上；Ⅱ卷答案写在答题卡上，答在试卷上的无效.祝各位考生考试领利！ 第Ⅰ卷 选择题（60分） 注意事项： 1.每周选出答案后，用铅等将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 2.本卷共12小题，每小题5分，共60分. 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A B. C. D. 2. 下列函数中，在区间上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知随机变量，若，则（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.5 5. 若，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 如图是下列四个函数中的某个函数在区间的大致图象，则该函数是（ ） A. B. C. D. 7. 从某学校获取了容量为100的有放回简单随机样本，将所得数学和语文期末考试成绩的样本观测数据整理如下： 数学成绩 语文成绩 合计 不优秀 优秀 不优秀 46 9 55 优秀 31 14 45 合计 77 23 100 经计算： 附： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 参考附表，得到的正确结论是（ ） A. 根据小概率值的独立性检验，认为“该校学生数学成绩是否优秀与语文成绩是否优秀有关”； B. 根据小概率值的独立性检验，认为“该校学生数学成绩是否优秀与语文成绩是否优秀有关”； C. 根据小概率值的独立性检验，认为“该校学生数学成绩是否优秀与语文成绩是否优秀有关”； D. 根据小概率值的独立性检验，认为“该校学生数学成绩是否优秀与语文成绩是否优秀无关”. 8. 有3名男生和2名女生站成一排拍照，其中男生甲必须站在两端，2名女生必须站在一起，则不同的站法有（ ） A. 8种 B. 12种 C. 20种 D. 24种 9. 下列说法正确的个数是（ ） ①如果记录了x，y的几组数据分别为，那么关于的经验回归直线必过点； ②残差均匀分布的水平带状区域的宽度越窄，说明经验回归方程刻画两个变量之间关系的效果就越差； ③样本相关系数绝对值越接近1，成对样本数据的线性相关程度越强，越接近0，成对样本数据的线性相关程度越弱，当时，表明成对样本数据间没有关系； ④对于一元线性回归模型中的斜率参数，则当时，表示解释变量和响应变量之间存在正相关. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 下列命题正确的是（ ） ①在的展开式中，只有第四项的二项式系数最大，则展开式中各项系数的和为； ②已知函数，且的图象恒过定点； ③若函数，且在上单调递增，则； ④已知函数，若成立，则实数的取值范围为. A. ②③ B. ①④ C. ①②④ D. ①③④ 11. 同时抛掷一颗红骰子和一颗蓝骰子，观察向上的点数，记“红骰子向上的点数小于3”为事件A，“两颗骰子点数之和不大于4”为事件，则（ ） A. B. C. D. 12. 已知函数，若对于任意，总存在，使得成立，则实数的取值范围是（ ） A B. C. D. 第Ⅱ卷 非选择题（90分） 注意事项：用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上. 二、填空题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 13. 已知命题，则为______. 14. 一元二次不等式的解集为______. 15. 函数的定义域是______. 16. 的展开式中含项的系数为______.（用数字作答） 17. 已知函数，且，则______. 18. 已知某学校音乐社、舞蹈社和美术社三个社团的学生人数之比为2:3:4，其中这三个社团中会乐器的人数占各社团人数的比例分别为.（ⅰ）现从这三个社团中各随机抽取一人，则这三人均会乐器的概率为______；（ⅱ）若将这三个社团成员组成一个联合团体，从中随机抽取一人，则此人不会乐器的概率为______. 19. 已知随机变量的分布列为： 1 2 3 当取最小值时，______，______. 20. 已知函数（i）方程的解集为______；（ii）若函数有四个不同的零点，从小到大依次为，则的取值范围为______. 三、解答题：本大题共4小题，共50分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 21. 甲同学参加数学、物理2门课程的考试，假设甲同学在这2门课程考试中取得优秀成绩的概率分别是，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立. （1）求甲同学2门课程均未取得优秀成绩的概率； （2）求甲同学取得优秀成绩课程数的分布列及均值. 22. 继2025年4月天津滨海新区中新生态城半程马拉松之后，为推动全民健身活动，组委会随机选取8个马拉松训练营调研“长跑耐力训练”的参与情况，统计各训练营参与学员人数，得到数据如下表： 训练营 A B C D E F G H 参与人数（人） 45 53 23 37 33 18 24 48 （1）若参与人数超过30人的训练营为“特色训练营”，现从这8个训练营中随机选出3个，记选出“特色训练营”的数量为随机变量，求的分布列和均值； （2）在长跑训练中，学员需掌握“匀速跑”“间歇跑”“冲刺跑”三项基础技能．在一轮测试中，这三项至少有两项成绩达到“90分及以上”，该轮测试才被记为“优秀”.已知甲学员每项成绩达到“90分及以上”的概率均为，每项测试及每轮测试相互独立． （i）求甲学员单轮测试“优秀”的概率； （ii）若甲学员进行多轮独立测试，希望“优秀”次数的平均值不低于2次，那么理论上至少要进行多少轮测试？ 23. 已知函数. （1）设是函数的极值点，求的值； （2）当时，证明：， （3）设，讨论函数的单调性. 24. 已知函数. （1）求函数在处的切线方程： （2）对于函数，若存在m，n，使得，则称与为“互补函数”，且m，n为“互补数”.若函数与为“互补函数”，m，n为“互补数”． （i）是否存在m，n，满足，若存在，求出m，n，若不存在，请说明理由； （ii）若，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$