回归分析的理论构建、模型检验与预测应用-《中学生数理化》高二数学2026年6月刊

中学生表理化解题皱学“编季被有法 回归分析的理论构建、 ■云南省富源县第九中 在现实世界中，两个变量之间的关系往 往并非如函数关系那般确定，而是伴随着随 机性的“共变”关系，即相关关系。例如，人的 身高与体重、施肥量与农作物产量、广告投入 与销售额之间，都存在这种趋势：一个变量变 化，另一个变量也倾向于发生某种程度的变 化，但这种变化并非唯一和确定的。回归分 析正是为了从这种不确定的相关关系中，提 炼出确定的、可量化的规律而发展起来的一 种重要的统计分析方法。尤其是随着科学技 术的发展，回归分析已成为数据分析、机器学 习建模和预测科学不可或缺的工具。 一、回归分析的核心思想与理论 回归分析的核心思想可以概括为“拟合 与最小化”。它并不追求一条穿过所有样本 点的曲线，而是在找到一条能够最佳地概括 数据整体趋势的曲线或直线，使得所有数据 点与该曲线或直线的“距离”总体最小。这个 “距离”通常用残差（观测值与预测值之差）的 平方和来衡量，而寻求使该平方和最小的参 数估计值的方法，即为最小二乘法。这一思 想确保了所建立的回归模型是对数据整体结 构的“最优”平均描述。 二、回归模型的构建 建立有效的回归模型是一个系统过程， 主要包含以下步骤。 (1)明确问题与识别变量。首先确定研 究目标，明确哪个变量是需要被预测或解释 的因变量y,以及哪些是可能对其产生影响 自变量x。例如，在研究用户满意度时，满意 度为因变量，产品质量、价格等为自变量。 (2)数据探索与关系初判。通过绘制散 点图，观察变量间相关性的强弱，这是判断是 否适合进行线性回归的关键一步。若散点分 布大致呈直线趋势，则考虑线性模型；若呈曲 线，则需考虑非线性模型或进行变量替换。 (3)模型拟合与参数估计。对于线性关 系，采用最小二乘法拟合线性回归方程y= bx十a。其中，斜率b表示自变量x每变动 34 模型检验与预测应用 学 薛家兵顾丽春 一个单位，因变量y的平均变化量；截距a为 x=0时y的估计均值。该直线必然经过样 本中心点(x,y)。对于非线性关系（如指数、 对数、幂函数型)，核心策略是通过变量替换 将其转化为线性问题。例如，对模型y=ce 两边取对数得lny=lnc+dx,令Y=lny, 即转化为Y关于x的线性模型，待求出线性 参数后再变换回原变量。 (4)模型检验与评估。常用决定系数R 来衡量模型拟合效果，R2越接近1，表明模型 对数据变异的解释能力越强。 (5)预测与应用。将自变量的值代入回 归方程，即可得到因变量的预测值。需要注 意的是，预测通常只适用于自变量取值在建 模数据范围之内的情况，扩大范围推导可能 导致较大误差。 三、回归分析的应用 题型一相关关系的判断 例1（多选题）统计学里一般用线性 相关系数衡量两个变量y与x之间线性相关 性的强弱，下列关于相关系数r的叙述中，正 确的是()。 A.-1≤r≤1 B.当y与x正相关时，r>0 C.|r|越小，得出的y与x之间的回归 直线方程越没有价值 D.r越大，具有相关关系的两个变量y 与x的线性相关程度越强 解：对于A,相关系数r的取值范围为 [一1,1]，故A正确。对于B,当y与x正相 关时，r>0,故B正确。对于C,|x|越小，说 明两个变量之间的线性相关性越弱。因为回 归直线方程是基于变量之间的线性关系建立 的，当线性相关性较弱时，用回归直线来描述 变量之间的关系就不准确，意味着回归直线 方程越没有价值，故C正确。对于D,r越 接近1，具有相关关系的两个变量y与x的 线性相关程度越强，故D错误。 故选ABC。 题型二线性回归方程的既念 例2（多选题）关于线性回归方程的 分析，下列选项正确的是()。 A,相关系数r与回归系数6的符号相同 B.回归直线一定经过样本中心点(x,y) C.线性回归方程中的越大，说明两组 变量的相关性越强 D.若相关系数|r|=0.95,则说明x与y 的线性关系较强，适合用该回归方程进行预测 2(x,-x)(y,-y) = 解：选项A,r= (x,-x)(y,-y) N=1 =1 (x:-x)(y:一y -。 在这两个公式中， 分于均为之(x,一x)(y:一y),分母均为正 数，所以r与i的符号由(x:一x)(y:一y) 决定，二者符号相同。选项A正确。 选项B,线性回归方程y=bx十a,回归直线 一定经过样本中心点(x小y)。选项B正确。 选项C,线性回归方程中的表示回归直 线的斜率，它反映的是自变量x每变化一个单 位时，因变量y的平均变化量；而变量的相关 性强弱是由相关系数，来衡量的，|x|越接近 1,两组变量的相关性越强。因此，6的大小与 两组变量的相关性强弱无关。选项C错误。 选项D,相关系数x的绝对值越接近1， 表明两个变量的线性相关性越强。当|r|一 0.95时，|r|非常接近1，说明x与y的线性 关系足够强，此时适合用该回归方程进行预 测。选项D正确。 故选ABD。 题型三散点图与回归诊断 例3（多选题）如图 D6.刀 1,在样本数据(x,y:)(i= E9,6司 "C4.5) 1,2,·,5)中，根据最小二 以 B2,40 A1,3 乘法求得线性回归方程为 y=bx十a,去掉点E(9,6) -92346789 后，下列说法正确的是 图1 ()。 A.相关系数r变大 解题篇经典题突破方法 高二数学2026年6月 中学生数理化 B.残差平方和变大 C.回归系数b变大 D.回归截距a变大 解：对于A,从图中可以看出，点E相对 偏离其他点所呈现的线性趋势。去掉点E 后，剩下点的线性相关性会增强，即更接 近1。又因为整体数据呈现正相关，所以相 关系数”变大，选项A正确。 对于B,残差平方和是衡量回归模型拟 合效果的指标，残差是指观测值y:与预测值 y:的差。点E相对偏离回归直线，去掉它 后，数据整体更贴近回归直线，即观测值与预 测值的差异变小，所以残差平方和变小，选项 B错误。 对于C,回归系数6= 2(x:-x)(y,一y） (x,-x) :=1 原来五个点A(1,3),B(2,4),C(4,5),D(6, 7),E(9,6),计算可得x=4.4,y=5。去掉 点E(9,6)后，x新=3.25，y新=4.75。由原始 数据得2(x,-x)(y:-y)=17,之(x:-x) =41.2。去掉点E后，∑(x:一x)·(y:一 y)=11.25,之(x:-x)2=14.75。原来方 -品20,41，去摔点E后6：-：需 17 0,76,所以回归系数b变大，选项C正确。 对于D,由a=y-b.x,得a≈5-1.8= 3.2。去掉点E后，a新=2.28，所以回归截距 a变小，选项D错误。 故选AC。 题型四线性回归方程的建立与预测 例4图2 为某地区2019年10 克160…少A 至2025年生活垃 1.40 120 圾无害化处理景是0 1234567→ y(单位：万吨)的 年份代码！ 折线图。 图2 注：年份代码1一7分别对应2019年 2025年。 (1)求y关于t的回归直线方程（精确到 0.01)； 35 中学生教理化解题皱学“鼻季被方法 (2)请预测2027年该地区生活垃圾无害 化处理量。 参考数据：y,=9.32,t,y:=40.17, 2(t:-t)2=28。 ；= 解：(1)易得t=4,∑(t:一t)=28,∑(t -)(y:-y)=2ty,-7=40.17-4× 9.32=2.89。 故6= 2(t:-t)(y:-y) 2.89 (t:-t)2 28 ≈0.10。 由y= 9.32 ≈1.33，得a=y-bt≈0.93，所 有y关于t的回归方程为y=0.10t+0.93。 (2)将2027对应的t=9代入回归方程， 得y=0.10×9+0.93=1.83(万吨)。 题型五非线性回归分析 例5截至2020年，中国高铁运营里 程已突破3.9万千米。表1统计了2014 年一2020年中国高铁的年度运营数据，展现 了其快速发展态势。 表1 年份 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 运昔里程 1.3 1.6 2.2 2.5 2.9 3.5 3.9 y/万千米 年份代码用x表示，2014年一2020年依 次对应的年份代码为1一7。根据上述数据， 回答下列问题。 (1)甲同学采用一次函数模型y=bx+a 来拟合，计算得相关系数r1=0.97:乙同学采 用指数函数模型y=ce“来拟合，通过对数 变换后计算得线性回归相关系数r2=0,99。 请选择更合适的模型类型并说明依据。 (2)基于(1)的结论，利用最小二乘法求 解回归方程的具体形式（系数精确到0.1）。 (3)请你使用确定的回归模型预测2030 年中国高铁运营里程。 参考公式：用最小二乘法求线性回归方 2(x-x)(y:-y） 程y=bx+a,其中b = (x:-x) =1 36 a=y-bx。 参考数据：x=4,y=2.56,(x:一x)· (y-y)=12.30,(x,-x)2=28.00。令 =1 w=lny,w≈0.87，(x,-x)(w,-w)= i= 5.14,(w:-w)2=0.96,e≈1.16，e25≈ 21.33。 解：(1)因为0<r1<r<1,所以乙同学的 模型更适合作为y关于x的回归方程类型。 (2)由y=ce,得lny=lnc+dx,即 w=lnc+dx。 则a=1 (x:-x)(w:一w）5.14 一= (x:-x) 28.00 =1 0.18,lnc=w-dx≈0.87-0.18×4=0.15， c=e0.1i≈1.16。 所以y=1.16e.18 (3)2030年对应的年份代码x=17,代入 y关于x的回归方程，得： y=1.16e.1wx17=1.16e.oi≈1.16× 21.33≈24.74。故预测2030年中国高铁运 营里程将达到24.74万千米。 回归分析是一种强大而灵活的数据建模 工具，其核心在于通过数学建模量化变量之 间的非确定性关系。从简单的线性拟合到复 杂的非线性变换与多元模型，该方法为各领 域的预测与解释问题提供了标准化框架。然 而，成功的回归分析不仅依赖于精确的计算， 更取决于对数据背景的深入理解、对模型假 设的严格检验，以及对结果解释的审慎态度。 尽管回归分析功能强大，但在应用时也需注 意其局限：首先，它只能揭示变量间的伴随变 化关系，而非直接证明因果关系；其次，回归 分析对异常值较为敏感，异常值可能显著扭 曲回归直线，导致模型失真。因此需在建模 前和残差分析中识别并妥善处理。 注：本文系2026年云南省教育厅科学研 究基金项目立项课题“A】赋能高中数学大概 念教学的实践研究”（课题编号：2026J0615) 的研究成果。 (责任编辑徐利杰)