成对数据的统计分析：从高考真题看实际应用-《中学生数理化》高二数学2026年6月刊

解数學典来方清中学生表理化 成对数据的统计分析：从高考真题看实际应用 ■河南省南召县第一高级中学 崔丽力 ■河南省南阳市教育科学研究中心 崔乐 成对数据的统计分析是现代统计学的重 材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每 要分支，也是高考数学考查的核心内容之一。 棵树的根部横截面积（单位：m)和材积量 下面以高中数学知识为基础，结合高考真题 (单位：m3),得到的数据如表1所示。 实例，重点介绍相关系数、回归分析等核心概 表1 念，并通过具体案例展示如何运用这些方法 样本号 1 2 34 5 67 8910总和 解决实际问题，旨在帮助同学们深入理解该 根部横哉 0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6 知识点，提高解决高考统计问题的能力。 面积x 课标要求 材积量y:0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9 成对数据的统计相关性 经计算得3x=0.038,艺y=1.6158, 1.结合实例，了解样本相关系数的统计 :=1 含义，了解样本相关系数与标准化数据向量 xy:=0.2474。 夹角的关系。 (1)估计该林区这种树木平均一棵的根 2.结合实例，会通过样本相关系数比较 部横截面积与平均一棵的材积量。 多组成对数据的相关性。 (2)求该林区这种树木的根部横截面积 深入理解 与材积量的样本相关系数（精确到0.01）。 1.样本相关系数（通常记为r)是衡量两 (3)现测量了该林区所有这种树木的根 个变量（成对数据）之间线性相关程度（强弱） 部横截面积，并得到所有这种树木的根部横 和方向（正负）的统计量。其中，r∈[一1,1]， 截面积总和为186m'。已知树木的材积量 r>0表示正相关，r<0表示负相关；r|越接 与其根部横截面积近似成正比，利用以上数 近1，线性相关性越强，|r|越接近0，线性相 据给出该林区这种树木的总材积量的估计 关性越弱：仅衡量线性关系，非线性关系无 值。 法被r有效衡量。 附： 相关系数 2.与标准化数据向量夹角的关系：这是 从几何角度理解相关系数的一个高阶视角， 2(x:-x)(y:一y) =,√1.896≈1.377。 将两组数据标准化后视为n维空间中的两个 √-)y- 向量，样本相关系数恰好等于这两个标准 命题分析：本题以环境治理、改造荒山为 化向量夹角的余弦值。当两个向量方向完全 背景，考查用样本估计总体、随机抽样和线性 相同时（夹角为0），表示完全正相关；当方向 相关等统计知识，属于生活实践情境，体现基 完全相反时（夹角为π），表示完全负相关：当 础性“四翼”要求。通过用样本估计总体、对 向量垂直时（夹角为），表示不线性相关。 样本相关系数公式的变形及数值计算，考查 同学们的数学语言表达能力和批判思维能 真题剖析 力，体现深刻性和灵活性的思维品质。 例1(2022年高考全国乙卷第19 解：(1)样本中10棵这种树木的根部横 题)某地经过多年的环境治理，已将荒山改造 成了绿水青山。为估计一林区某种树木的总 截面积的平均值2=0：6=0.06，样本中10 10 27 解题篇经典题突破方法 中学生数理化高二数学2026年6月 棵这种树木的材积量的平均值y=39 4×100米混合泳接力项目冠军成绩记录（单 10 位：秒)，数据按照升序排列，如表2所示。 0.39。据此可估计该林区这种树木平均一棵 表2 的根部横截面积为0.06m,平均一棵的材 206.78207.46207.95 209.34 209.35 积量为0.39m3。 210.68213.73214.84216.93216.93 (x,-x)(y:一y) =1 (2)r= (1)求这组数据的极差与中位数： (x-x)2(y.-y) (2)从这10个数据中任选3个，求恰有2 =1 个数据在211以上的概率： iy:-10xy =1 (3)若比赛成绩y关于年份x的回归方 2x一 10x2） 2,-10 程为y=一0.311x+6,年份x的平均数为 2006,预测2028年冠军队的成绩（精确到 0.2474-10×0.06×0.39 (0.038-10×0.06)×(1.6158-10×0.392) 0.01秒)。 0.0134 命题分析：本题以“奥运成绩”为背景，立 /0.0001896 足基础统计量的考查，兼顾情境真实性、知识 0.0134 基础性与素养导向性，其设计既落实了课程 0.01377 标准的知识要求，又通过生活化情境培养同 ≈0.97。 学们的应用意识。命题以“数据·结论→决 故该林区这种树木的根部横截面积与材 策”为核心逻辑，聚焦统计核心素养，通过“真 积量的样本相关系数是0.97。 实情境十梯度问题”考查同学们的综合应用 (3)设该林区这种树木的总材积量的估 与反思能力，是区分“死记硬背”与“真正理解 计值为Ym。已知树木的材积量与其根部 统计”的关键载体。 横栽面积近似成正比，可得公06-1.解得 解：(1)由题意知，数据的最大值为 0.39 216.93,最小值为206.78，则极差为216.93 Y=1209。 -206.78=10.15。 则该林区这种树木的总材积量估计为 数据中间两数为209.35与210.68，则中 1209m3。 溯源小结：解决成对数据的统计相关性 位数为209.35十210.68=210.015. 2 问题的关键，是通过散点图或样本相关系数 故极差为10.15，中位数为210.015。 的计算推断两个变量之间相关关系的类型 (2)由题意知，数据共10个，211以上数 (线性相关或非线性相关)，以及能够利用所 据共有4个。设事件A=“从这10个数据中 提供的参考公式和数据进行回归方程的求 任选3个，恰有2个数据在211以上”，则P(A) 解，并能利用回归方程进行预测。本题在解 C·C 3 答过程中，需要调用平均值、样本相关系数等 C 101 概念对条件和设问进行理解和分析，应用数 学阅读技能和数学运算技能进行公式变形和 敏恰有2个数招在21以上的概率为品。 数据计算。答题时要防止公式变形错误，代 (3)由题意知，成绩的平均数为： 入数据错误或计算错误，又或忽略精确度要 205.78+207.46+207.95+200.34+209.3+210.i8+213.73+214.84+216.93+21f.93 10 求等导致的失分。本题源于人教B版《选择 =211.399。 性必修第二册》第111页例2。 回归直线y=一0.311.x+6过(2006， 例2(2025年高考上海卷第17题) 211.399),则6=211.399+0.311×2006= 2024年巴黎奥运会，中国获得了男于4×100 835.265,故回归直线方程为y=一0.311x十 米混合泳接力金牌。以下是历届奥运会男于 835.265。 (下转第31页) 28 解题篇经典题突破方法 高二数学2026年6月 中学生数埋化 (上接第28页) 当x=2028时，y=-0.311×2028+ 综合建模能力。例如，将回归预测与数列递推、 835.265=204.557≈204.56。 增长率模型结合。④强调信息提取与批判性思 故预测2028年冠军队的成绩为204.56秒。 维，提供冗余信息或非结构化数据（如文宇描述 溯源小结：已排序的数据降低了审题准 简单图表)，要求同学们筛选有效信息，并批判性 度，聚焦了统计量本质，而计算中位数，直接源 评估统计结论的局限性（如相关不等于因果、样 于教材对“统计量意义”的强调一教材不仅 本代表性等)。⑤体现“五育并举”，背景可能涉 要求计算，更要求“用统计量描述数据特征”。 及体育锻炼数据、艺术偏好调查、劳动时间与学 第(3)问的本质是用最小二乘法求线性回归直 业成绩关系等。 线的斜率，命题将其转化为真实情境的预测 总结反思 问题，完全贴合教材对“回归模型”的要求。本 成对数据的统计分析是培养同学们数据 题源于人教A版《必修第二册》第205页例4。 驱动决策思维的关键载体。高考对其考查已 命题展望 从“算对”转向“用对”和“读懂”。成功的学习 结合《中国高考评价体系》“一核四层四翼” 及备考需以理解统计思想为“魂”，以掌握分析 的要求与教育改革方向，对未来命题做出如下 流程为“骨”，以准确计算应用为“肉”。同学们 展望：①背景更加丰富多元，可能融入数字经济、 不仅要剖析真题把握规律，还要在学习过程 生物医学、环境科学等前沿领域的简单案例。 中，注重理解概念本质，掌握计算技巧。希望 ②加大开放探究力度，出现“结论开放题”，如给 同学们结合实际问题，加深对知识的理解，从 出数据，让同学们自主选择分析模型（回归或检 容应对高考，并为未来在更广阔领域运用数据 验)并阐述理由。③加强与其他板块融合，与概 分析方法解决实际问题奠定坚实基础。 率分布（特别是正态分布）、数列、导数结合，考查 (责任编辑徐利杰) 31