周测评(二十四) 成对数据的相关关系、一元线性回归模型及其应用、列联表与独立性检验-【衡水真题密卷】2025-2026全学年高二数学学科素养周测评

梦想不会发光，发光的是追梦的你。 2025一2026学年度高二学科素养周测评（二十四） 数学·成对数据的相关关系、一元线 性回归模型及其应用、列联表与独立性检验 本试卷总分100分，考试时间40分钟。 一、选择题：本题共4小题，每小题6分，共 A.y=2In x+5 24分。在每小题给出的四个选项中，只 B.y=ex-0.5 有一项是符合题目要求的。 C.y=-3x2+4x+0.5 题号 1 2 3 D.y=x3-x+0.5 答案 3.已知变量x与y呈线性相关，其一组样本 1.已知y与x呈线性相关关系，变量x与 数据(z:y:)(6=1,2,…,9)满足2x,=33, y的取值如表所示： 用最小二乘法得到的经验回归方程为y 2 4 5 2x一1.若增加一个数据（一3,3）后，得到修 8 9+m 11 正后的回归直线的斜率为2.1，则数据 则y与x的经验回归方程y=x十a必 经过的点为 (4,8)的残差的绝对值为 ( ) A.(1,5) B.(2,7-m) A.0.1 B.0.2 C.(3,8) D.(5,11) C.0.3 D.0.4 2.已知变量x,y有相关关系，由观测数据得 4.为了调查各参赛人员对主办方的满意程 到的样本数据散点图如图所示，则该组观 度，研究人员随机抽取了500名参赛运 测数据中y关于x的回归方程可能是 动员进行调查，所得数据如表所示.现有 如下说法：①在参与调查的500名运动 员中任取1人，抽到对主办方表示满意 的男性运动员的概率为2②在犯错误的 0 概率不超过1%的前提下，可以认为“是 高二学科素养周测评（二十四）数学第1页（共4页） 否对主办方表示满意与运动员的性别有 与x有比较强的线性相关关系.若y关 关”；③没有99%的把握认为“是否对主 于x的经验回归方程为y=x十0.2，则 办方表示满意与运动员的性别有关”，则 () 正确的命题为 A.y与x呈正相关关系 单位：人 B.6=0.325 男性运动员 女性运动员 C.当x=10时，y的预测值为3.3 对主办方 200 220 表示满意 D.去掉样本点(4,1.5)后，样本相关系数 对主办方 50 30 r不变 表示不满意 附： 6.某校为了解学生对2022年卡塔尔世界 Q 0.1 0.05 0.01 0.001 杯的关注度（关注或不关注），对本校学 2.706 3.841 6.635 10.828 生随机做了一次调查，结果显示被调查 A.② B.③ C.①② D.①③ 5 的男、女生人数相同，其中有。的男生“关 二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共 12分。在每小题给出的选项中，有多项 注”，有3的女生“关注”若依据小概率值 符合题目要求。全部选对的得6分，部 分选对的得部分分，有选错的得0分。 α=0.001的独立性检验，认为学生对世 题号 界杯的关注度与性别有关联，则调查的 答案 总人数可能为 () 5.某学习小组收集了7组样本数据（如表 n(ad-bc)2 所示)： 参考公式：X=a+bc+d)a+c)6+d)' x 1 2 3 4 6 n=a十b十c十d. 5 y 0.51.20.81.51.72.3 2.5 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 他们绘制了散点图并计算样本相关系数 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 2(x:-x)(y:一y) A.296 B.300 ,发现y 2(z-x)2·2(y:-y)2 入N =1 C.324 D.360 高二学科素养周测评（二十四）数学第2页（共4页） 三、填空题：本题共2小题，每小题6分，共 4400,|a|=9,b|=100,由选择性必修三 12分。 教材中的知识，我们知道n对数据的相关 7.某校为研究该校学生性别与经常跑步之间 系数r=cos(a,b),则上述数据 的联系，随机抽取了男、女生各100名，并绘 (x:y:)(i=1,2,…,20)的相关系数r= 制得到如图所示的等高堆积条形图，则这 200名学生中经常锻炼的人数为 四、解答题：本题共2小题，共52分。解答应 写出文字说明、证明过程或演算步骤。 0.9 0.8 9.(22分)游泳，不仅能使全身肌肉力量得 0.7 0.6 到增强，血液循环速度明显加快，还可调 0.5 0.4 节血压、控制血脂水平、增强体质、预防 0.3 0.2 多数疾病的发生，因此深受人们的喜欢 0.1 0 男生 女生 某游泳馆承包人为了解喜欢游泳是否与 ■经常口不经常 性别有关，某日随机抽取了100名来游 8.现调查某地区某种野生动物的数量，将 泳的顾客进行调查，将每周参加游泳运 该地区分成面积相近的200个地块，从 动超过4小时的顾客称为“游泳爱好 这些地块中用简单随机抽样的方法抽取 者”，否则称为“非游泳爱好者”，部分数 据如表所示： 20个地块作为样本，调查得到样本数据 喜欢游泳 不喜欢游泳 合计 (x:y:)(i=1,2,…,20),其中x:,y:分 男顾客 45 15 别表示第讠个样本的植物覆盖面积（单 女顾客 15 合计 100 位：公顷)和这种野生动物的数量，构造 (1)根据所给数据完成上表，并依据小概 向量a=(x1-x,x2一x,…,x20-x),b 率值a=0.001的独立性检验，判断 =（y1一yy2一y,…,y20-y),其中x= 能否认为喜欢游泳与性别有关？ x1十x2十…十x20- y1+y2+…+y20 (2)此游泳馆承包人为了解顾客对游泳 汤 ,y= 20 馆内的各项要求，现从抽取的顾客中 并计算得2x,=60,公y,=1200,x,y= =1 =1 i=1 按性别采用分层抽样的方法抽取5 高二学科素养周测评（二十四）数学第3页（共4页） 人，再从中随机抽取2人，求恰好抽 (1)求第1轮试验成功的概率. (2)某团队对这个试验进行了一定的研 到男女顾客各一人的概率 究，请若干志愿者进行了5轮试验， n(ad-bc)2 并记录了第i(i=1,2,3,4,5)轮试 附：X2=a+b)c+d)(a+c)6+d 验成功志愿者的比例y,记，-}， a 0.1 0.01 0.001 发现x:与y:呈线性相关，求y关于 2.706 6.635 10.828 x的经验回归方程，并预测试验轮数 足够大时，试验成功志愿者的比例. (3)记试验结束时，试验成功的概率为 P,证明：R.< 参考数据：x=0.46,y=0.69, x:-x)2=0.42, i-1 ry:=1.503. i-1 附：在经验回归方程y=x十a中， 斜率和截距的最小二乘估计公式分 别为6= 2(x:-x)y:-y) ,a=y 2(x:-x)2 = -bx. 10.(30分)在一个足够大的不透明袋中进行 一个n轮摸球试验，规则如下：每一轮试 验时，袋中均有红、黑、白三种颜色的球， 从中随机摸出一个球（摸出的球不再放 回)，若摸出红球，则试验成功；若摸出白 球，则试验失败；若摸出黑球，则进入判 定环节：判定时，放回两个黑球并取出一 个白球，再从中随机摸出一个球，若为白 球则试验失败，否则试验成功.若试验成 功，则结束试验，若试验失败，则进行下 一轮试验，直至成功或n轮试验进行完. 已知第i(i=1,2,…,n)轮试验开始时， 袋中有1个红球，i个黑球，i十2 个白球. 高二学科素养周测评（二十四）数学第4页（共4页）·数学· 参考答案及解析 =P(μ-o≤X≤μ)+P(u≤X≤H+2a) 点，4点，4点”六类情况，共有A十CC+A 2(0.6827+0.9545)≈0.8186， +A+C号C+1=6+3+6+6+3+1=25种； ③若“3枚骰子的点数之和为18”，则有“6点，6 若某天该商场有20000位顾客， 点，6点”一类情况，共有1种； 估计该天消费额X在[105,180]内的人数为 0.8186×20000=16372. (6分) 所有P(A2)=10+25+1_361 63 =63=6· (18分) (2)设事件A1=“顾客中龙腾奖”，事件A2= “顾客中旺旺奖”，事件B=“顾客获得乙奖 (ⅰ)由全概率公式可得P(B)=P(A)P(BA) 品”，由题意知P4)=31 6=8,P(BA1)=1 -()'-PBa)= (12分) 客铁得乙奖品能概率为 (24分) 事件A2包括的事件是：“3枚骰子的点数之和 (ⅱ)若顾客已获得乙奖品，则是中“龙腾奖”而 为6”，“3枚骰子的点数之和为12”，“3枚骰子 P(AB) 获得的概率是P(A1B)= 的点数之和为18”，则 P(B) ①若“3枚骰子的点数之和为6”，则有“1点，1 1 点，4点”，“1点，2点，3点”，“2点，2点，2点” =P(A)P(BA)=816_21 三类情况， P(B) 37 37: 384 共有C号C+A+1=3+6+1=10种； ②若“3枚骰子的点数之和为12”，则有“1点，5 所以顾客已获得乙奖品，其是中“龙腾奖”而获 点，6点”，“2点，5点，5点”，“2点，4点，6 将的概率是织 (30分) 点”，“3点，4点，5点”，“3点，3点，6点”，“4 2025一2026学年度高二学科素养周测评（二十四） 数学·成对数据的相关关系、一元线性回归模型及其应用、列联表与独立性检验 一、选择题 直线为y=2.1x十b,所以6=2.1×3十b,解得 1.C【解标】由于工=-1+2+3+4+5-3.y b=-0.3,则y=2.1x一0.3，所以当x=4时， 5 y=2.1×4一0.3=8.1，故残差的绝对值为 5十(？-m)+8+(9+m)十1卫=8，则经验回归 18-8.1=0.1. 4.B【解析】因为对主办方表示满意的男性运动 方程必过定，点(3,8). 员的人数为200，所以在参与调查的500名运动 2.D【解析】由散点图可知，所求回归方程先减 员中任取1人，抽到对主办方表示满意的男性 后增，对于A,B,函数均为定义域上的增函数， 不符合题意； 造动员的概率为P一0-号故D锋民，又因 对于C,函数图象为开口向下的抛物线，不符合 为X-50X200X30-50X20》-125≈ 题意； 420×80×250×250 21 对于D,函数图象的增减性与散，点图相符，故D 5.952<6.635,故②错误，③正确， 正确. 二、选择题 3311 1+2+3+4+5+6+7 3.A【解析】由题得x=g=3,则y=2x-1= 5.ABD【解析】由数据可知，x= 7 2×号-1=号，增加数器（一33）后石- -4,y-05+12+08+1,5+1.7+23+25-1.5,由 7 19 于点(x,y)必在回归直线上，所以1.5=46十0.2， 33-3 9X3+3 得i=0.325>0,故A,B正确；当x=10时，y 10 =3,y1= =6,且修正后的回归 10 =0.325×10+0.2=3.45,故C错误；因为（4， ·43· 真题密卷 学科素养周测评 1.5)是样本点中心，所以去掉这一项，样本相关 系数不变，故D正确、 X2、 100×(45×25-15×15)2 225 60×40×40×60 16 ≈14.063 6.BCD【解析】设男、女生人数均为n,可得如下 >10.828, 2X2列联表： 所以依据小概率值α=0.001的独立性检验，推 断H。不成立，即认为顾客喜欢游泳与性别有关。 关注程度 (11分) 性别 对卡塔尔世 对卡塔尔世 合计 60 界杯关注 界杯不关注 (2)由(1)得抽取的5人中有5×40十60=3人 男生 5n n 40 女生 2品 为男顾客，5×40十60=2人为女顾客， n 合计 2n 则男、女顾客各一人的概率P=C3C_6=3 2 C%-105 2nn2 (22分) 2n.5n n 由题意可得x2 6·3-3·6 10.(1)解：由题意得第1轮试验时袋中有1个红 3n n 球，1个黑球，2个白球， n2。 2·2 摸出红球，即试验成功的概率为1十1十2一4' 11 7,所以37≥10.828，所以n≥146.178，则2 (2分) ≥292.356，因为n为6的倍数，则2n为12的 摸出黑球且试验成功的概率为 倍数，则B,C,D满足题意 1+2 3 三、填空题 4-1-1+2-16' (4分) 7.130【解析】由等高堆积条形图可得，这200名 学生中经常锻炼的人数为100×0.8十100×0.5 所以第1轮试验成功的概率为4+6一16： 1,37 =130 (6分) 8号【解标】向题千复搭公，-60，公， (2)解：6= 2(x:-x)0:-y） i=1 =1 1200,可得x=3,y=60, (x:-x) i-1 根据夹角公式的定义，r=c0s(a,b)= a·b ab' 而a·b=2(x:-x)(y:-y), (x:-x)” i=] =1 =2(xy:-xy:-yx,+x· 1.503-5×0.46×0.69=-0.2, (9分) 0.42 =1 所以a=0.69+0.2×0.46=0.782, -1 ·y 则所求经验回归方程y=-0.2x十0.782， =3xy:-20x·y-20x·y+20z·y (12分) =1 3xy,-20x·y=4400-20×3×60=800, = 当试验轮数足够大，即：足够大时，x:=接 a·b8008 近于0，则y:接近于0.782，故预测成功志愿 则r=c0s(a,b〉= ab=900=9 者的比例为0.782. (15分) 四、解答题 (3)证明：由题得，n轮试验失败的概率为1一 9,解：(1)依题意，2×2列联表如下： Pn, (17分) 设第i轮试验失败的概率为p:, 是否喜欢游泳 性别 合计 则1一Pm=1p2…pm, 喜欢游泳 不喜欢游泳 p:发生有两种可能， 男顾客 45 6 0 i+2 i 女顾客 15 25 40 ①直接摸出白球，概率为1十i十i+1+ (20分) 合计 60 0 100 零假设H。:顾客喜欢游泳与性别无关， ②摸出黑球后再摸出白球，概率为1十十十 ·44· ·数学· 参考答案及解析 ×+2-1=+2-1D (22分) 则1一Pm=p1p2…pm 1+i+i+2= (i+1)4 12×32、22×42、 所以p,=i(+1)++-1) 24X 34 X…Xn2(n+2) (n+1)4 (i+1)4 (n+2)2 =[(+1)+(+2-1)]_2(+4i+4) 4(n十1)2n≥1， (28分) (i+1)4 (i+1)4 2(i+2)2 故P。=1- 0+<1号-是 (n+2)2 (30分) (i+1), (25分) 2025一2026学年度高二学科素养周测评（二十五） 数学·阶段测试（三） 一、选择题 二、选择题 1.D【解析】因为X~N(μ，o2),o>0且P(X< 5.ABD【解析】对于A,根据3次独立重复试验 μ十σ)=p,所以P(X≥μ十o)=1一p,根据正 可知，三次都击中目标的概率为0.93，故A 态分布曲线的对称性，可得P(X≤一。)= 正确； P(X≥u十o)=1-p,所以P(μ-o<X<μ十 对于B,根据独立重复试验中各次试验中事件发 o)=1-P(X≤-。)-P(X≥4+σ)=1一 生的概率相同可知，他第三次击中目标的概率 2(1-p)=2p-1. 是0.9，故B正确； 2.A【解析】依题意，从6个数字中任取3个的 对于C,由3次独立重复试验可知P=C好X0.92X 排列数为A:个，其中数字0在百位的有A个， (1-0.9)=3×0.92X0.1,故C错误； 所以组成的没有重复数字的三位数的个数为 对于D,恰好2次未击中目标等价于恰好1次击 A8-A号=100个. 中目标，则概率为P=C0.91(1一0.9)2=3× 3.B【解析】依题意，对三个部分种三种不同颜 0.9×0.12,故D正确 色的鲜花，由分步乘法计数原理共有3X3×3= 6,BD【解析】由题意可知X~B(6,),所以 27种不同的方法， 设事件A=“任意有公共边的两块种的鲜花颜 243 色不同”，则A共有3×2×2=12种不同方法， 南古类板型约机本合或将P)号台 D(GX)=5x×(1-》=9故A,C错送：因 为A,B两个指示灯工作相互独立，所以在一次实 4.B【解析】抛掷一枚质地均匀的硬币2500次，设 验中A,B两处都遇不到一次红灯，即P(Y=O)= 硬币正面向上的次数为X,则X~B(250,》, (1-子)1-p).根据对立事件的概率公式可 1 E(X)-2500×2=1250,D(X)=2500×2 得，一次实验中，A,B两处至少遇到一次红灯， ×1-2）=625. 脚Py≥1)=1-1-3）1-p)=3+号， 由题意X~N(4,o2),且4=E(X)=1250, 故B正确；根据题意可知，Y的所有可能取值为0,1， g2=D(X)=625=252, 2当p-号时，P0Y-0=-》×(-）- 因为P(μ-2a≤X≤+2o)≈0.9545，即P(1250 一2X25≤X1250+2×25)≈0.9545，所以利用 Px==号×1-）+-》×号 2 正态分布估算硬币正面向上次数不少于1200 次的概率为P(X≥1200)=P(X≥1250-2× P-×号-所以E0m=-0x号+1 25)≈09545， 7 0.5=0.97725. 2_11 2 十2X55,故D正确。 ·45·