基于参数先定界的函数构建法及范围求解应用——以分段函数多零点题型为例-《中学生数理化》高二数学2026年6月刊

解题筒数经典题突方清中学生教理化 高二数学2026年6月 基子参数先定界的函数构建法昃范围求解应用 以分段函数多零点题型为例 ■贵阳市华师一学校 何勇 在高中数学中，分段函数衍生函数g(x) 三个不同的交点x1,x2,x3,如图1所示。 =f(x)一a的多零点相关量的范围求解，融合 函数性质、数形结合等高频压轴考点，却受传 统方法局限：直接求根法计算冗余，分离参数 法逻辑断层且适配性不足，尤其难以应对含绝 对值二次项、复合指数项的3~5个零点复杂 场景。为此，提出“参数定界·函数构建→导 数求解”三阶闭环法，通过精准定界参数α、定 图1 制化构建单变量目标函数、借导数求范围，突 因此0a<1。 破传统浦点。下面举例说明。 因为x1,x2为方程一x2一2x=a,即 1.试题呈现 x2+2x十a=0的两个不相等实根，所以 例1(2025年陕西省西安市模拟卷) x1·xg=a。 -x2-2x,x≤0， 因为xg为方程lnx=a的根，所以x3=e。 已知函数f(x)= 函数 In ,>0, 因此x1·xg·xg=a·e。 g(x)=f(x)一a有三个零点x1,x2,x3,则 令h(x)=xe,x∈[0,1)，则h'(x) x1·x:·xg的取值范围是( ）。 e+xe'=(1+x)e>0,h(x)在[0,1)上单 调递增。 A.[0,1) 所以h(0)≤h(x)<h(1),即0≤h(x) c日o D.[0,e) <e,故x1·x·xg=a·e∈[0，e)。选D。 点评：本题未直接求解复杂的跨区间方 分析：g(x)=f(x)一a有三个零点，可 程，而是将g(x)=f(x)一a有三个零点精 转化为y=f(x)与y=a的图像有三个不同 准转化为y=f(x)与y=a有三个交点，这 的交点x1,x2,x3。作出图像，可得a的取值 一转化并非简单的形式转换，而是结合分段 范围。根据韦达定理可得，x1·x2=a,根据 函数的图像特性实现精准定界。针对左段 对数的性质可得x=e,即可得x1·x:·x3 x≤0的抛物线f(x)=一(x十1)+1，明确 的表达式，构造函数，利用导数求得单调性， 其顶点（一1,1）、过原点(0,0)的特征，判断与 可求出最值，即可得答案。 y=a有2个交，点需满足0≤a<1;针对右段 解：当x≤0时，f(x)=一x2一2x= x>0的对数函数f(x)=lnx,依托其过(1， 一(x+1)十1，是开口向下，对称轴为x= 0)、单调递增的特性，判断与y=a有1个交 一1的抛物线。 ,点需a∈R,最终取交集得a∈[0,1)。这种 已知g(x)=f(x)一a有三个零点x1, 以形定数的思路，不仅避免了盲目求解二次 x2,x3,不妨令x1<x2<x3。 方程、对数方程的计算冗余，更通过图像直观 所以g(x)=f(x)一a=0有三个不相等 锁定参数的取值范围，为后续目标函数构建 的根x1,x2,x,即y=f(x)与y=a的图像有 提供了严谨的定义域依据，是解决分段函数 29 中学生数理化离数学年6月 解题篇经典题突破方法 多零点问题的核心起点。 2.方法应用 例2（原创题）已知函数f(x) 因此。 +1-me∈（←2n2,] 1e+1,x≤0， 2 -x:x: 9 函数g(x)=f(x)一a -4x+2x>0, 综上可知，选D。 有三个零点x1,x:,x3,且x1<x2<x3,则 例3（原创题）（多选题）已知函数 fe-,x≤1， x1+1 的取值范围是( f(x)= 函数g(x) 9 )。 |3.x-18x+24|,x>1, 2一x2x =f(x)一a有五个零点x1,x,x,x4,x,且 A(o,) o,] x1<x2<x<x,<x,则()。 A.a的取值范围是(1,3] c-2n） D(-22, B.x2十x=6 C.x3十x4=6 9 解：当x>0时，f(x)=x2-4x十 -x1+1 D.若方程x,x,->=m有两个不 1 (x一2)+2，为开口向上，对称轴为x=2的 同的实数根，则m的取值范图是(，) 抛物线。 因为g(x)=f(x)一a有三个零点x1,x2, 解：当1<x≤2或x≥4时，有一部分图 xg,且x1<x<xa,所以y=f(x)与y=a的图 像在函数y=3.x2一18.x+24=3(x-3)2一3 像有三个不同的交点x1,x2,x3,如图2所示。 的图像上，对称轴为x=3。 当2<x<4时，有一部分图像在函数 y=-3x2+18x-24=-3(x-3)2+3的图 像上，对称轴为x=3。 因为g(x)=f(x)一a有五个零点x1, x,x3,x4,x,且x1<xe<xg<x,<x,所以 y=f(x)与y=a有五个不同的交点x1,x, x3,x4,x,如图3所示。 图2 所以 2 ae。 因为x1为方程e+1=a的根，所以x1= lna-1。 为方程-4十号=a,即x 1=d …1 9 4x+2-a=0的两个不相等实根，则x:· 2-a。所以。十1=na 图3 9 x3= 9 所以1≤a<3。 2一xx 因为x1为方程er=a的根，所以x1= 令h(x)x∈（]则'(x) 1-lna。 因为x2,x为方程3x一18x十24=a, 1一2>0，k(x)在（合上单满递墙。 即3x2一18x十24一a=0的两个不相等实 故h(2)<h(x)≤h(e),即-21n2< 根，所以：十=6，=8一号 30 高数学典突辈方清中学生教理化 解题篇经典题突破方法 因为x3,x4为方程一3x+18x一24= 综上可知，选BCD。 a,即3.x2一18x+24+a=0的两个不相等实 点评：上述两个例题聚焦分段函数多零 根，所以x十x1=6,x4x=8+g ,点问题的进阶场景，均以“参数定界>函数构 建→导数求解”为核心逻辑。例2是指数函 -x1+1 9In a 因此(-) 数与二次函数构成的分段函数，左段为x≤0 4a 的∫(x)=e+,右段为x>0的二次函数，衍 令h(r)=9nx 4x,x∈[1,3)，则h'(x) 生函数有三个零，点，求解分式相关量的范围。 9(1-2lnx) 4x3 通达分析杆生画数植城定参数a∈（分心]， 结合指数性质与韦达定理转化零，点关系，构 当x∈[1，√E)时，h'(x)>0,h(x)单调 建目标函数后用导数判断单调性，得出范围 递增；当x∈（√e,3)时，h'(x)<0,h(x)单调 递减。 为(-22，】。肉3是合地对位二次城的 因此(x)<h)品并且(1)=0： 分段函数，衍生函数有五个零，点，以多选题考 查，先定a∈[1,3)，再借韦达定理得x2十x h(3)=n3 =6、x3十x:=6,然后构建函数分析方程根并 4。 求m的取值范围。两题分别覆盖三零点分 因为 一r1+1 (xx:一xx)=m有两个根，即 式、五零点综合问题，验证了参数先定界的 数构建法对复杂场景的适配性。 n2<m<品 na=m有两个根，所以n3 4a (责任编辑徐利杰) (上接第28页) 当x=2028时，y=-0.311×2028+ 综合建模能力。例如，将回归预测侧与数列递推、 835.265=204.557≈204.56。 增长率模型结合。④强调信息提取与批判性思 故预测2028年冠军队的成绩为204.56秒。 维，提供冗余信息或非结构化数据（如文宇描述 溯源小结：已排序的数据降低了审题准 简单图表)，要求同学们筛选有效信息，并批判性 度，聚焦了统计量本质，而计算中位数，直接源 评估统计结论的局限性（如相关不等于因果、样 于教材对“统计量意义”的强调一教材不仅 本代表性等)。⑤体现“五育并举”，背景可能涉 要求计算，更要求“用统计量描述数据特征”。 及体育锻炼数据、艺术偏好调查、劳动时间与学 第(3)问的本质是用最小二乘法求线性回归直 业成绩关系等。 线的斜率，命题将其转化为真实情境的预测 总结反思 问题，完全贴合教材对“回归模型”的要求。本 成对数据的统计分析是培养同学们数据 题源于人教A版《必修第二册》第205页例4。 驱动决策思维的关键载体。高考对其考查已 命题展望 从“算对”转向“用对”和“读懂”。成功的学习 结合《中国高考评价体系》“一核四层四翼” 及备考需以理解统计思想为“魂”，以掌握分析 的要求与教育改革方向，对未来命题做出如下 流程为“骨”，以准确计算应用为“肉”。同学们 展望：①背景更加丰富多元，可能融入数宇经济、 不仅要剖析真题把握规律，还要在学习过程 生物医学、环境科学等前沿领域的简单案例。 中，注重理解概念本质，掌握计算技巧。希望 ②加大开放探究力度，出现“结论开放题”，如给 同学们结合实际问题，加深对知识的理解，从 出数据，让同学们自主选择分析模型（回归或检 容应对高考，并为未来在更广阔领域运用数据 验)并阐述理由。③加强与其他板块融合，与概 分析方法解决实际问题莫定坚实基础。 率分布（特别是正态分布）、数列、导数结合，考查 (责任编辑徐利杰) 31