正态分布的四种常考题型-《中学生数理化》高二数学2026年6月刊

高二数学典突方清中学生教理化 解题篇经典题突破方法 正态分布的四种常考题型 ■安徽省安庆市第一中学 洪汪宝 若随机变量X的概率密度函数为(x) _c-a)9 1 = =e,x∈R,其中4∈R,o>0为 o-1 g√2 参数，则称随机变量X服从正态分布，记为 X一N(4,o2)。若X一N(4,a2),则E(X)= 图2 4,D(X)=o。正态分布是一种连续型随机 A.5 B.8 C.9 D.14 变量，其在各级各类考试中备受命题者的青 睐。下面对正态分布的四种常考题型作梳 解：由专的正态密度曲线知=1。= 理，帮助同学们更好地掌握这部分内容。 一、正态曲线 所以D()=g=子 例1设X一 VA 根据展开式的通项公式可得，a,=C”2”, X的度曲线 N(1,o),Y r=0,1,2,…,n。 的密度曲线 n(n-1) N(u2,o),这两个 2C1 正态分布密度曲线 则= 2 as 2C =2· n(n-1)(n-2) 如图1所示，若Z~ 6 图1 N(1,o),则下列 ,解得n=8。故选B。 1 结论正确的是()。 ,点评：解决正态曲线的有关问题要掌握 A.H1<2,01>og 正态曲线的特点，正态曲线具有如下特点。 B.P(41Z≤：)≥P(1≤X≤) ①正态曲线位于x轴上方，与x轴不相交。 C.P(Z≥)≥P(Z≥h1) ②正态曲线是单峰的，它关于直线x=“对 D.P(Z≤μ，)>P(Y≤H1) 解：由题意知，两条曲线分别关于x= 称，且在x=红时达到峰值1 。③当x 6√/2π 41,x=:对称，X的分布曲线“高瘦”，Y的 4时，曲线上升；当x>μ时，曲线下降；当曲 分布曲线“矮胖”，且41<μ，o1<o2,A错误。 线向左、右两边无限延伸时，以x抽为渐近 Z~N(1,o),故Z的分布曲线关于x 线，向它无限靠近。④曲线与x轴之间的面 =1对称，且与Y的分布曲线一样“矮胖”， 积为1。⑤4决定曲线的位置和对称性，当。 故P(1≤Z≤h:)<P(1≤X≤h),B错 一定时，曲线的对称轴位置由以确定，曲线随 误。 着μ的变化而沿x轴平移。⑥。确定曲线的 因为1<42，所以P(Z≥4)<P(Z≥ 形状，当4一定时，曲线的形状由。确定。。 1),C错误。 越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集 P(Z≤：)>P(Z≤u1)= F2>P(Y≤ 中；。越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布 越分散。 41),D正确。故选D。 二、求概率 例2已知(1十2.x)"=a。+a1x+ 例3已知随机变量X服从正态分布 a2x十a3x3十…十amx”,随机变量服从正 N1a:若P(X<0)+P(X<3)=则 态分布，其正态密度曲线如图2所示，若 P(2<X<3)=()。 D(),则n=()。 A.0.1B.0.2C.0.3 D.0.4 23 中学生表理化解题学鼻破方法 解：因为随机变量X服从正态分布 C正确，D错误。 N(1,o),所以随机变量X的均值：=1，随 因为XN(1.8,0.12),所以P(X>2) 机变量X的密度曲线关于x=1对称，则 =P(X>1.8+2×0.1)。因为P(X<1.8+ P(X0)=P(X>2)。 0.1)≈0.8413，所以P(X≥1.8+0.1)≈1- 0,所以 又P(X<0)+P(X<3)= 0.8413=0.1587<0.2。故P(X>2)= P(X>1.8+2×0.1)P(X≥1.8+0.1) P(X>2)+P(X≤2)+P(2<X<3)= 11 0.2。B正确，A错误。故选BC。 10 因为P(X>2)+P(X≤2)=1，所以 例6某电商平台2026年初引进了新 P(2<X<3)=0.1。故选A。 型“直播带货”技术后，每日交易额X一 例4已知随机变量专服从正态分布 N(4500,1600)(单位：万元)，估计第二季度 N(3,o),P(<6)=0.84,则P(≤0)= (按90天计算)内交易额在4460万元到 4540万元的天数大约为()。（参考数 ( )。 A.0.16 B.0.34 据：P(4一。≤X≤μ十o)=0.6827) C.0.66 D.0.84 A.50B.61C.86D.88 解：因为随机变量服从正态分布N(3, 解：由X~N(4500,1600),得4= 。),所以=3，则P(5≤0)=P(≥6)。 4500,o=40。因为P(4-。≤X≤4十。)= 又P(<6)=0.84,则P(≥6)=1 0.6827,所以P(4500一40X≤4500+ P(<6)=1-0.84=0.16,所以P(5≤0)= 40)=0.6827,即P(4460≤X≤4540)= P(≥6)=0.16。故选A。 0.6827。 点评：解决满足正态分布的概率问题，关 所以第二季度（按90天计算）内交易额 键要抓住对称轴，利用对称性来处理。为了 在4460万元到4540万元的天数大约为 方便解决问题，建议在求解时画出简图，有利 0.6827×90=61.443≈61。故选B。 于问题的求解。 点评：若X一V(,σ)，则可以证明对给 三、3。原则 定的k∈N',P(u一ko≤X≤u十ko)是一个 例5(2024年高考新课标I卷)（多选 只与k有关的定值。特别地，P(μ一。≤X≤ n+o)≈0.6827，P(h-2o≤X≤H+2o)≈ 题)随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶 0.9545,P(-3a≤X≤h+3a)≈0.9973。 种植区多措并举推动茶叶出口。为了解推动 尽管随机变量X的取值范围是（一∞， 出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植 十©○)，但在一次试验中，X的值几乎总是落 区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均 值x=2.1,样本方差s=0.01,已知该种植区 在区间[μ一3。，4十3。]内，而在此区间以外 取值的概率大约只有0.0027，通常认为这种 以往的亩收入X服从正态分布N1.8,0.1), 假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布 情况几乎不可能发生。在实际应用中，通常 N(x,s),则()。（若随机变量Z服从正 认为服从正态分布N(,σ)的随机变量X 态分布N(u,a),则P(Z<4十o)≈0.8413) 只取[4一3o,h十3o]中的值，这在统计学中 称为3。原则。 A.P(X>2)>0.2 B.P(X>2)0.5 四、综合问题 C.P(Y>2)>0.5 例7（多选题）小明上学有时乘公交 D.P(Y>2)<0.8 车，有时骑自行车。他各记录了100次乘公 解：由题可知，x=2.1,s2=0.01,所以 交车和骑自行车上学所用的时间，经数据分 Y~N(2.1,0.1),故P(Y>2)=P(Y>2.1 析得到：乘公交车平均用时20min,样本标准 -0.1)=P(Y2.1+0.1)≈0.84130.5。 差为6；骑自行车平均用时24min,样本标准 24 潮樱数攀典驱赛整方清中学生款理化 差为2。已知若随机变量专一N(,σ)，则 (1)计算该市化工企业的平均得分x(同 一严一N(0,1)。假设小明乘公交车用时X 一组中的数据以这组数据的中间值为代表)。 (2)已知化工企业的得分情况X近似服 和骑自行车用时Y都服从正态分布，则 从正态分布N(,σ2)，其中4=x,。2=162, ()。 则得分在[67,83]内的企业大约有多少家？ A.XN(20,6) (3)按照(2)中概率分布随机抽取100家 B.Y24N(0,1) 化工企业，分数不低于19分的企业有多少家 2 时概率最大？ C.若某天有28min可用，则小明要想尽 参考数据：若随机变量X服从正态分布 可能不迟到应选择骑自行车 D.若某天有25min可用，则小明要想尽 N(H,o),则P(4一≤X≤4十。)≈ 可能不迟到应选择乘公交车 0.6827,P(4-2o≤X≤4+2o)≈0.9545， P(4一3o≤X≤μ十3o)≈0,9973。 解：根据题意知X一N(20,6),Y一24 2 解：(1)该市化工企业的平均得分x= N(0,1),故A错误，B正确。 (10×0.0050+30×0.0125+50×0.0150+ 若有28min可用，分别设随机变量X,Y 70×0.0100+90×0.0075)×20=51。 的平均数和标准差为x,ox,y,oy,则P(Y一 (2)由(1)知化工企业的得分情况X~ 24≤4)=P(Y一y≤2oy)=P(X一x N(51,16)。因为67=51+16,83=51+ 2gx)=P(X-20≤12)>P(X-20≤8)，故 16×2,所以P(67≤X≤83)=P(十。≤X P(X28)P(Y≤28)，即小明要想尽可能 2。)=，P(4-26≤X≤4+2a)-P 不迟到应选择骑自行车，故C正确。 若有25min可用，则P(X≤25)= o≤X≤4+g)]≈0.95450.6827 P(X。20≤520)-p(。20≤ 6 6 0.1359。 故得分在[67,83]内的企业大约有 P(Y25) pY4<2524) 0.1359×1000≈136（家）。 p224<).因为X。0 (3)由(2)得P(X≥19)=P(X≥4-2。) 6 N(0,1), ≈0.5+09545=0.97725。 Y-24N(0,1),所以P(X≤25)>P(Y≤ 2 2 则得分不低于19分的企业数专~ 25),即小明要想尽可能不迟到应选择乘公交 B(100,0.97725)。故恰有k家企业得分不 车，故D正确。故选BCD。 低于19分的概率为P(=k)=Cp(1一 例8为加大自然生态系统和环境保护 p)1-,其中p=0.97725。 力度，加强企业尊重自然、顺应自然、保护自然 令-2 (1一p)k >1 的生态文明理念，某市对化工企业的排污情况 进行调查，并出台相 ◆频常阻型 P(传=k)=k十1)1，D)>1,可得101p 应的整治措施。相关 0.0150 P(ξ=k+1)(100-k)p 0.012 -1<k<101p。又101p=98.70225,故k 部门对1000家化工0.010 =98。 企业所排污水的质量，00？ 0.005 故在抽取的100家化工企业中，分数不 及周围空气质量进行 了综合检测，得分情 20406080100得分 低于19分的企业有98家时概率最大。 况绘制成频率分布直 图3 例9某校机器人社团为了解市民对 方图（图3）。 历年“数博会”科技成果的关注情况，在市内 随机抽取了1000名市民进行问卷调查，问 25 中学生数理化 解题篇经典题突破方法 高二数学2026年6月 卷调查的成绩近似服从正态分布N(77, P(X=0)=C×( 。2),且P(77≤≤80)=0.3。 )》×()》= (1)估计抽取市民中问卷成绩在80分以 p(x=1)=Cx()）x(传)=器 上的市民人数。 (2)若本次问卷调查得分超过80分，则 PX=2)=Cx(传)x(传)-品 认为该市民对“数博会”的关注度较高。现从 市内随机抽取3名市民，记对“数博会”关注 P(x=8)=c×()》'×(传)”-5 度较高的市民人数为随机变量X,求X的分 所以X的分布列如表1所示。 布列和数学期望。 表1 解：(1)问卷调查的成绩专近似服从正态 X 0 1 2 3 分布N(77,6),且P(77≤≤80)=0.3，则 64 48 12 P(>80)=P(≥77)-P(77≤≤80)= 125 125 125125 0.5-0.3=0.2,于是1000×0.2=200。 则X 的数学期望E(X)=3× 3 所以抽取市民中问卷成绩在80分以上 5= 的市民人数约为200。 点评：将正态分布与频率分布直方图、二 (2)由(1)知，市民对“数博会”的关注度 项分布进行综合，是近年来高考命题的热，点 1 之一。正确理解题意，并将所求问题转化为 较高的概率p=5。则X的可能取值为0， 二项分布是解决问题的关键所在。 1,23X56,3） (责任编辑赵 侍) (上接第22页) 根据分步乘法计数原理，不同的分配方 先从其他9人中选2人到这组，再将余下7 法种数为15×12×A=1080。 人分成2组，有CC=1260(种)方法： 第二类情况：当主治医师按照3,1,1分 当张三，李四，王五所在组恰有6人时， 组时，主治医师的分法种数为CCC =10:再 先从其他9人中选3人到这组，再将余下6 A号 C =840(种)方法。 将4名实习医生按照0,2,2对应分组，分法 人分成2组，有C· 种数为C=6:然后将分好的三组分配到3个 最后将三组人员分配到三个镇，有A:= 乡镇，分配方法种数为A。 6(种)方法。 根据分步乘法计数原理，不同的分配方 所以派遣方案总数为(210+819+1260 法种数为10×6×A=360。 +840)×6=18774。 综上，根据分类加法计数原理，不同的分 评注：求解这类问题一般分三个步骤。 配方法种数为1080+360=1440。故选D。 第一步：将n个不同的元素分成无顺序的若 (2)当张三，李四，王五所在组恰有3人 千堆推；第二步：将无顺序的元素堆转换为有顺 时，余下9人分成2组，有C+C=210(种) 序的元素堆；第三步：根据乘法计数原理，计 方法； 算出不同的分法种数。 当张三，李四，王五所在组恰有4人时， 由以上例题分析可以看出，求解分组分 先从其他9人中选1人到这组，再将余下8 配问题，首先要解决分组问题，判断问题中的 分组是完全均匀分组，还是部分均匀分组，抑 人分成2组，有C(C+S》 A =819(种)方法； 或是完全非均匀分组，然后进行分配，需结合 当张三，李四，王五所在组恰有5人时， 两个计数原理进行计算。 (责任编辑赵倩) 26