涂色问题的几种常见题型-《中学生数理化》高二数学2026年3月刊

解题篇经典题突破方法 高二数学2026年3月 中学生数理化 涂色问题的几种常见题型 ■河北省张家口市第一中学施志昱 涂色问题是通过对给定的图形（如区域、 A,C区域或A,D区域或B,D区域必同色。 点、线段或面)进行颜色填充，并满足特定条 由分类加法计数原理知，恰好用3种不 件（如相邻区域颜色不同、颜色使用数量限制 同颜色涂4个区域，共有3×2×1十3×2× 等)的问题。这类问题通常要求同学们应用 1+3×2×1=18(种)不同的涂色方案。 分类计数原理和分步计数原理来解决，并可 (3)若恰好用2种不同颜色涂4个区域， 能涉及等价转换思想。具体来说，涂色问题 则A,C区域必同色，且B,D区域必同色。 可以包括以下几种类型：直线型涂色，区域 先从3种不同颜色中任取2种颜色，共 型涂色，立体型涂色，探索型涂色。常涉及颜 有3种不同的取法，再用所取的2种颜色涂4 色使用的数量限制：在某些情况下，涂色问题 个区域，共有2种不同的涂法。 可能要求使用特定数量的颜色，或者在所有 由分步乘法计数原理得，恰好用2种不 可用颜色中选择一定数量的颜色进行涂色。 同颜色涂完4个区域，共有3×2=6（种）不同 下面惜助于例题阐述涂色问题的常见题型， 的涂色方案。 以期对同学们的学习有所帮助。 ,点评：直线型涂色问题往往从第一个位 一、直线型涂色问题 置入手，逐一分析，在前一个已涂色的条件下 例1如图1所示的A,B,C,D,按照 涂下一个位置，注意对不同位置进行合理分 下列要求涂色。 类讨论与分步处理，进而确定直线型涂色问 题的种数。 A B D 二、区域型涂色问题 图1 (1)用3种不同颜色涂图中A,B,C,D4 例2图2为我国数学家赵爽（约公元 3世纪初)在为《周牌算经》作注时验证勾股 个区域，要求相邻区域不同色，若按从左到右 依次涂色，有多少种不同的涂色方案？ 定理的示意图，现在提供4种颜色给其中5 个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相 (2)若恰好用3种不同颜色给A,B,C, D4个区域涂色，且相邻区域不同色，共有多 邻区域颜色不同，则不同的涂色方法种数为 少种不同的涂色方案？ (3)若有3种不同颜色，恰好用2种不同 颜色涂完4个区域，且相邻区域不同色，共有 多少种不同的涂色方案？ 解析：(1)涂A区域有3种涂法，B,C,D B 区域各有2种不同的涂法。 E 由分步乘法计数原理知，给A,B,C,D4 个区域涂色，共有3×2×2×2=24（种）不同 图2 的涂色方案。 解析：分四步进行分析。 (2)恰好用3种不同颜色涂4个区域，则 ①对于区域A,有4种颜色可选。 15 中学生表理化解塑贺半叠鼻题案破有法 ②对于区域B,与区域A相邻，有3种 点评：立体型涂色问题，往往既要考虑平 颜色可选。 面几何的结构特征，又要考虑立体几何的结 ③对于区域C,与区域A、B相邻，有2 构特征，综合“二维”与“三维”中的涂色要求 种颜色可选。 与限制条件，全面考查同学们的空间想象能 ④对于区域D、E,若D与B颜色相同， 力与逻辑推理能力。本题分两步，先将四棱 则区域E有2种颜色可选；若D与B颜色不 锥一侧面的三个顶点染色，再分类考虑另外 相同，则区域D有1种颜色可选，区域E有1 两个顶点的染色数，最后用乘法原理可求解。 种颜色可选。故区域D、E有2十1×1=3 四、探索型涂色问题 (种)颜色可选。 例4用n种不同的颜色为两块广告 因此不同的涂色方案有4×3×2×3= 牌着色，如图4，图5，要求在①，②，③，④4个 72(种)。 区域中相邻（有公共边界）的区域不用同一种 点评：区域型涂色问题，应该给区域依次 颜色 标上相应的序号，以便分析问题。在给各区 ① 域涂色时，要注意相对区域是否同色，合理分 83 3 类讨论，确定涂色顺序。 ② ④ ④ ② 三、立体型涂色问题 例3埃及胡夫金字塔是古代世界建 图4 图5 筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥。 (1)若n=6,为图4着色时共有多少种 如图3所示，将一个四棱锥的每一个顶点染 不同的方法？ 上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，若 (2)若为图5着色时共有120种不同的 只有5种颜色可供使用，则不同的染色方法 方法，求n的值。 总数为( 解析：完成着色这件事，共分为四个步骤。 可以依次考虑为①，②，③，④这4个区 域着色时各自的方法数，再利用分步乘法计 数原理确定总的方法数。 (1)为①区域着色时有6种方法，为②区 D 域着色时有5种方法，为③区域着色时有4 种方法，为④区域着色时有4种方法，依据分 B 步乘法计数原理，不同的着色方法有6×5× 图3 4×4=480(种)。 A.180 B.240 C.420 D.480 (2)由题意知，为①区域着色时有n种方 解析：由题意知，四棱锥S-ABCD的顶 法，为②区域着色时有(n一1)种方法，为③区 点S,A,B所染的颜色互不相同，它们共有 域着色时有(n一2)种方法，为④区域着色时 5×4×3=60(种)染色方法。 有(n一3)种方法。 当S,A,B染好时，不妨设所染颜色依 由分步乘法计数原理可得，不同的着色 次为1,2,3，还有两种颜色用4,5表示，若C 方法数为n(n-1)(n-2)(n一3)。 染2，则D可染3或4或5，有3种染法：若C 因此n(n一1)(n-2)(n-3)=120,即 染4，则D可染3或5，有2种染法；若C染 (n2-3n)(n2-3n+2)-120=0,也即(n2 5,则D可染3或4，有2种染法。即当S, 3n)2+2(n2-3n)-120=0。 A,B染好时，C,D还有7种染法。 故n2-3n-10=0或n2-3n+12=0 不同的染色方法有60×7=420（种）。 (舍去)，解得n=5或一2（舍去）。 故选C。 点评：求解涂色问题，往往从最简单的图 16 器数餐聚方清中学生表理化 形入手，依次分析两个图形涂色之间的联系 若安徽省与陕西省涂同色，则先涂陕西 与差别，进而加以合理推理，构建相应的关系 省有5种方法，再涂湖北省有4种方法，涂安 式，从而实现问题的解决。 徽省有1种方法，涂江西省有3种方法，最后 总之，对于涂色问题，抓住问题的本质， 涂湖南省有3种方法，由分步计数乘法原理 结合涂色图形的结构特征，以及涂色的限制 得，不同的涂色方案有5×4×1×3×3=180 条件，从关键点入手，结合选取颜色加以分 (种)。 析，合理分类讨论，借助两个计数原理进行计 算，避免“重”或者“漏”的情形，进而加以合理 陕西 计算。 变式训练 湖 1.从红、黄、蓝3种颜色中选出若干种颜 色，给如图6所示的四个相连的正方形染色， 若每种颜色只能涂一个正方形或两个正方 图7 形，且相邻两个正方形所涂颜色不能相同，则 若安微省与陕西省不同色，则先涂陕西 不同的涂色方案的种数是( )。 省有5种方法，再涂湖北省有4种方法，涂安 徽省有3种方法，涂江西省、湖南省也各有3 种方法，由分步计数乘法原理得，不同的涂色 方案有5×4×3×3×3=540（种）。 图6 A.12 B.18 由分类加法计数原理得，不同的涂色方 案共有180十540=720（种）。选C。 C.24 D.36 3.如图8所示，在四棱锥P-ABCD中， 解析：将正方形从左到右依次标号1,2， 现给5个顶点安装彩色灯泡，要求相邻顶点 3,4。 若使用2种颜色，则颜色的取法有3种， 的位置不得使用同一种颜色，有4种不同颜 且正方形1,3颜色相同，2,4颜色相同，即有 色可供选择，则不同的安装方法共有( )。 2种涂法，故共3×2=6（种）方案。 若使用3种颜色，则颜色的取法有1种， 且有两个不相邻的正方形必须同色，即1,3 颜色相同，或者1,4颜色相同，或者2,4颜色 D 相同，有3种方案。先涂相同色，再涂其余两 个，共有3×2×1=6（种）方案。故共有1×3 ×6=18(种)方案。 综上，符合要求的不同涂色方案有6十 图8 18=24(种)。选C。 A.48种 B.72种 2.如图7所示，湖北省分别与湖南、安 C.80种 D.96种 徽、陕西、江西四省交界，且湖南、安徽、陕西 解析：若A,C使用同一颜色，则由分步 互不交界，在地图上分别给各省地域涂色，要 计数原理可知有4×3×2×2=48（种）方法； 求相邻省涂不同色，现有5种不同颜色可供 若A,C不使用同一颜色，则由分步计数 选用，则不同的涂色方案数为()。 原理可知有4×3×2×1×1=24（种）方法。 A.480 B.600 由分类计数原理可得，共有48+24=72 C.720 D.840 (种)方法。选B。 解析：依题意，按安微省与陕西省涂的颜 (责任编辑徐利杰) 色相同和不同分成两类： 17