例析分段数列的八种常见题型-《中学生数理化》高二数学2026年1月刊

解题篇数经典题突方清中学生教理化 高二数学2026年1月 例析分段数列的八种常见题型 ■安徽省安庆市第一中学 洪汪宝 我们知道数列是一种特殊的函数，像分 式的步骤：①当n=1时，由a1=S1求得a1。 段函数一样，分段数列也是一种特殊的数列。 ②当n≥2时，由an=Sn一Sn-1求得am的表 在近年来的各级各类考试中，因为分段数列 达式。③检验a1是否满足②中的表达式，若 对同学们的逻辑推理能力、运算求解能力等 满足则不必分段；若不满足则分段表示a,。 多种思维能力要求比较高，同时考查分类讨 ④写出am的完整表达式。 论、转化与化归等多种数学思想方法，所以分 二、通项（或递推）分段型 段数列成为考试的热点。下面对分段数列的 例2已知各项均为正数的数列{an 八种常见题型进行归纳总结。 满足a7+1一a=8n,且a1=1。 一、公式型an= S1,n=1, (1)写出a2,ag,并求数列{am}的通项公 Sn-Sn-1,n≥2 式 例1(1)已知数列{a,}的前n项和 an,n为奇数， Sn满足Sn=n+2,则{an}的通项公式为 (2)记b。= 求数列 2下，n为偶数， 0 (2)已知数列{an}的前n项和为Sn, {bn-1bn}的前n项和Sn a1=1,a2=3,当n≥2时，总有an+1=2Sn一 解：(1)因为a7+1一a=8n,a1=1,an> 4,则数列{an}的通项公式为。 0,所以当n=1时，aa=8,a=a+8= 解：(1)因为Sm=n十2，所以当n=1 9,解得a2=3;当n=2时，a一a=8×2,a 时，a1=S1=1十2=3；当n≥2时，S,-1= =a:十16=25，解得a3=5。 (n-1)2+2=n2-2n十1十2=n2-2n十3，所 当n≥2时，a?=(a-a-1）+(a-1 以an=Sn-Sn-1=(n2+2)-(n2-2n+3)= a-2)+…+(a号-a)+a=8(n-1)十8(n 2n-1。 -2)+…+8×1+1=8[1+2十…+(n1)] a1=3不满足an=2n一1。 +1= 8m(n-1)+1=(2m-1)2,所以a,一 2 所以a,= 3,n=1, 2n-1,n≥2。 2n-1。 (2)当n≥2时，am+1=2Sn一4，则当n≥3 当n=1时，a1=1也符合上式。 时，an=2Sn-1-4。 综上，an=2n-1(n∈N)。 两式相减可得a+1一a,=2(Sn一Sn-1) (2)由(1)得，am=2n-1(n∈N")。 =2an,即am+1=3am(n≥3)。 am,n为奇数， 又a1=1,a2=3,所以a3=2S2一4=4， 因为b,= 所以b。= 2下，n为偶数， 则当n≥3时，数列{an}是以a3=4为首项，3 为公比的等比数列，an=4×3”-3。 2n一1，n为奇数， 故bm-1bn=(4n-3)· 1,n=1, 2,n为偶数， 所以an=3,n=2, 2。 4×3”-3,n≥3。 则Sn=b1b2十bb1十bb十…十bm-b2n S1,n=1, =1×21+5×22+9×23+…+(4n-7)· 点评：由an= 求通项公 Sn-Sm-1,n≥2 2"-1+(4n-3)·2”。① 27 中学生表理化然氨学品聚酸方法 2S.=1×22+5×23+9×21+.+ (4n-7)·2"+(4n-3)·2a+1。② 贷为等差数列，且清足S-8,-5 由①-②得，-Sm=1×21+4×22+4× (1)求数列{an}的通项公式； 23+…+4×2"-(4n-3)·2+1=2+4×(2 (2)设T,=|a1|+a2|十…+|an|,求 +23+…+2")-(4n一3)·2m+1=2+4× Tm。 4-2+1 -(4n-3)·2+1=(7-4n)·2+1-14。 解：(1)设等差数列 (气}的公差为a。因 1-2 故Sn=(4n-7)·2+1十14。 为-8，子-5，所以3d=5-8=一8，解得 例3已知数列{an}满足a1=2,am+ am十1，n为奇数， 1=-1,所以S=8+(1-1)×(-1)=9- 2a.,n为偶数。 n,于是Sn=-n2十9n。 (1)记bn=a2n十1，求证：{bn}为等比数 则S。-1=一(n-1)2十9(n-1)=-n2十 列； 11n-10,n≥2，所以a,=S。-Sm-1=-2n十 (2)若Sn=a1十a2十a3十…十an(n 10。 N),求S2m。 又a1=8符合an=一2n十10，所以an= {an十1，n为奇数， 解：(1)因为am+1= 且 -2n+10,n∈N。 2an,n为偶数， (2)由(1)得a1>a2>…>a；=0>a6> bn=a2n十1，所以bn+i=a2m+2十1=(a2n+1十1) a7>…。 +1=a2m+1+2=2a2n十2=2(a2n+1)=2bn。 当n≤5时，Tm=|a1|十|a2|十…十 bn+L一 又b,=a,+1=(a:十1)+1=4， a,=a,+ag+…+a,=n(8+10-2m2_ 2 2,所以{bn}是以4为首项，2为公比的等比 -n2+9n。 数列。 当n≥6时，Tn=a1十a2十…十a:一a6一 (2)由(1)知bn=a2n十1=4·2-1=2m+1, a,一…-am=2S；-Sn=2×(-52+5×9)- 所以a2n=2+1一1。 (-n2+9n)=n2-9n+40。 又an=a-1十1=2"+1-1，则a2n-1= |-n2十9n,n≤5， 2+1一2。 因此Tn= n2-9n十40，n≥6。 所以Sn=(a1十a3十a5十…十a2m-1)+ 点评：对于通项含有绝对值的数列求和 (a2十a1十a+…十a2n)= 问题，关键是根据绝对值本身的意义去掉绝 对值符号，注意分类讨论并进行转化，将其转 L1-2 化为熟悉的求和问题。 3n-8。 四、通项含有（一1）”型 点评：例2中数列{b,}的通项公式是分 段形式，在此基础上，合二为一，生成一个差 例5已知{a,}是等比数列，满足a1 比数列，求和可以利用错位相减法。例3中 =2,且a2,a?十2，a1成等差数列，数列{bn} 满足b,+b:十号6，+…+26，=2mn∈ 1 1 数列{an}是以分段递推给出的，(1)题证明数 12 列{b}为等比数列，只需利用等比数列的定 N*)。 义即可；(2)题先利用(1)题的结论分别求出 (1)求{an}和{bn}的通项公式： 奇数项和偶数项的通项公式，再分组求和即 (2)设cn=(-1)”(am-bn),求数列{cn} 得结果。 的前n项和Sn。 三、通项含有绝对值型 解：(1)设等比数列{an}的公比为q,由 例4已知数列{an}的前n项和为S, 题意得2(a3十2)=a2十a1。 28 商数学要擎方清中学生教理化 解题篇经典题突破方法 又a1=2,则2(2g2+2)=2g+2g3,即 实数入的最小值。 4(q2+1)=2g(1十g)。而1+q>0,解得 解：(1)由题意知，当n≥2时，an一am-1 q=2。因此an=2”。 =2”-1,则an=a1十(a2-a1)十(ag一a2)+ 由题意知，当n=1时，b1=2。 十(am-an-1)=1+2+22+十2”-1=2m-1。 当n≥2时，6+26：+号6，+…十 1 a1=1满足上式，故an=2”-1,n∈N”。 1 与0=20m-1,则6.=2m-2n-1D 则6，-名6+号6：++(-1)1 =2,即bn=2n。 =2-1当m≥2时6，一0，+ 3b,十…+ 显然b1=2满足上式，因此bn=2n。 （-1)nb.1=2-1-1 (2)由(1)知，an=2",bn=2n。 当n为偶数时，Sn=c1十c2十…十cn= 两式相减得（一1）二b,=2,则b, -a1十b1十a2-b2一…十an-b,=(-a1十 n·(一2)-1。而b1=a1=1满足上式，故 a2-…+an）+(b1-b2+…一bn)= bn=n·(-2)-1,n∈N"。 二20+g×(-2)=号1-20) (2)由(1)知，S.=1×(一2)°十2× 1-(-2) (-2)1+3×(-2)2+…十n×(-2)”-1。 2 3×21-n 两边同乘-2得一2Sn=1×(-2)1+十 当n为奇数时，Sn=Sn+1一cn+1=Sn+1 2×(-2)2+3×(-2)3+…+(n-1)× 1 一2+1十 (-2)"-1+n×(-2)”。 an+,+b,=三×2"+2一(n十1）一。 两式相减得3Sn=1十（一2）十（一2）2十 2m+1)=号×2+n+号 1 (-2)3十…+(-2)”1-n×(-2)”= 1-(-2)-n×(-2)=-3n+1、 1-(-2)” 所以数列{c,〉的前n项和Sn= ×(-2)" 3 1 1 ×21十n十3n为奇数， 1 2 ×21一n-号m为偶数。 由入（3S,一2b。)≤a,得 点评：(1)题先利用等比数列定义及等差 A「（-2)"+17 3 ≤2”-1。 数列性质可求得数列{an}的公比q=2,再由 当n为奇数时，X≤3(2D=3 数列6，)满足的等式可得6.=2(n≥2)，即 2"+1 6 可得到{an}和{bn}的通项公式。(2)题中的 2年而数列{3一2是递擅数列，故当 通项含有（一1）”，先用分组求和法求n为偶 数时的情况，再借助n为偶数时的结果求n n-1时.6-29）-1，则A1 为奇数时的情况。 当m为偶数时(2)≤2”-1，解 例6已知数列{a,}和(b,}满足a1= 得λ≥一3。 1 1a+=a,+2”,a,=b12b2计子b,十…力 所以实数入的最小值为一3。 ,点评：(1)题先根据给定条件利用累加 (-1)-11b(n∈N). 法，结合等比数列前n项和公式计算得a,再 (1)求a,与bn: 抓塔a,-66十6，++(-10 1 (2)设(b,}的前n项和为S,若不等式 A(3S,-2bn)≤an对一切n∈N*都成立，求 6.(n∈N)求得a=6,-名+6，十… 29 中学生表理化然氨学品聚酸方法 +(-1)-2 b.-1(n∈N,n≥2)，两式作差 为公比的等比数列，偶数项是以1为首项，2 n 为公比的等比数列。 求出bn=n·(一2)”1。(2)题根据错位相减 于是数列{an}的通项公式为a,= 法求出Sm,其式子中含有（一1）”，所以需要 对n分奇偶讨论分别计算作答。 /e ,n为奇数， 五、递推公式为am+1十an=∫(n)型 2- ,n为偶数。 例7设数列{an}的前n项和为Sn, 点评：借助递推式a+1·an=f(n)得到 且S+1十Sn=n。若an+1>a,对Hn∈N a+2·am+1=f(n十1)，两式相除即可得到 恒成立，则a1的取值范围为。 m+2_=f(n+1) ,从而可以得到奇数项与偶数 解：由Sn+1十Sm=n2,得当n≥2时， an f(n) 项分别满足的关系式，即可求出奇数项与偶 Sn+Sn-1=(n-1)2。 数项的通项公式。 两式相诚得a,+1十a,=2n一1(n≥2)，则 an+2十am+1=2n+1。 七、通项含有三角函数型 两式相诚得a.+2-an=2(n≥2)，以数 例9已知数列{an}的前n项和为 列{a2n+1},(a2n}都是以2为公差的递增数 S,满足S,=会(a,-1n∈N。 列。 要使a,+1>a,对Hn∈N“恒成立，只需 (1)求数列{an}的通项公式； a2>a1, (2)i记b,=a,·c0s,求数列b,}的前 a:=a: 100项的和T10。 a1>a。 解：(1)当n≥2时，an=Sn-Sn-1= 易知a2=1-2a1,a4=2+2a1,a1=3 1-2a1>a1, 号a-10-号a1-1)整理得名=-2 an-1 2a1,则2十2a1>1-2a1, 3-2a1>2+2a1。 由a=S=号a,-1),得a,=-2 解得-<a< 则数列{an}是以一2为首项，一2为公比 的等比数列，an=(一2)”，n∈N“。 所以a1的取值范围为(-子，)。 (2)当n=4k,k∈N”时，b=(-2)· 点评：借助递推式an+1十an=∫(n)得到 cos 4kπ=2“；当n=4k-1,k∈N时，b-1= 2 am+2十am+1=f(n十1)，两式相减即可得到 am+2一an=∫(n十1)一f(n),从而可以得到 （-2)1·c0s4k,1Dx=0:当n=4h-2, 2 奇数项与偶数项分别满足的关系式，即可求 出奇数项与偶数项的通项公式。 k∈N时，b-2=(-2)-:·cos4k2)r 2 六、递推公式为a,+i·an=f(n)型 一2-2；当n=4k一3，k∈N”时，bk-3= 例8在数列{an}中，a1=2,aan+1 （-2)4-·c0s4k,3)x=0. 2 2”(n∈N”),求数列{am}的通项公式。 则T10=b1十b2十b,十…十b10 解：由题意知a1a2=2。 =-(22+2+…十2“)+(21+28+…十 因a1=2,故a2=1。 210) 又anan+1=2”,所以an+1am+2=2"+1,两式 22-28×21L21-210×2 相除得2，±2=2。 1-2 1-2 2102-4 所以数列{an}的奇数项是以2为首项，2 5 30 器脑数餐聚方清中学生表理化 点评：(1)题根据Sn与a,之间的关系， (ii)由(i)可知，当n为偶数时，b1=b2= 并结合等比数列的定义进行求解即可得结 3,b,=b 3,…b,-1=b,=2n-1 果。(2)题根据(1)求得b,=a.·cos”π 3” 2 3 +…+2”） (一2》c0,注意到0s的最小正周期 3” .=2(层+景+号++2） 1 是4，故按n=4k,n=4k-1,n=4k-2,n= 3+2 4k一3，k∈N”分类讨论，进而求得答案。对 两式相诚得 S 于含三角函数的分段数列，抓住三角函数的 周期性是解题的关键。 3”3+2/ 八、新定义创新题 例10已知max{a1a2,…,ag…}表 -) 示数列a1,a2,a3,…,a,…中最大的项，按照 1 3+2 30+2 32 以下方法：b1=max{a1,a2,a3,…,as,…},bg 因此s=名专 4n+7 =max{a2,ag,…,a5,…},bg=max{aa,…, ag,…},…,得到数列{bn},则称数列{bn}为 当n为奇数时，n十1为偶数，S,=Sm+1 数列{an}的“max数列”。 am+1= 7 4n+11 (1)若am=一n一2|，写出b1,b2,b3,b4。 8·3+7 2n+1=3一 8 3”+1 (2)若数列{an}满足9an+2十6am+1十an 20n+19 =0,且a=-号aw-. 19 8·3"+T0 720n+19 （i)求b225; 88·3n为奇数， 所以S,= (ii)求{bn}的前n项和Sn。 7 4n+7 解：(1)由题意知，a1=一1，a2=0,a3= 88·3””为偶数。 一1，a1=-2,且当n≥2时，数列{an}单调递 ,点评：(1)题难度不大，直接根据新定义 减，所以b1=0,b2=0,b4=一1，b1=一2。 列举即可。(2)题()问利用给定的递推公式 (2)(i)由9am+2十6am+1十an=0,两边同 变形，借助等差数列求出αm,分奇偶讨论项 乘（一3）"，整理得2（一3）”+1a,+i= 的正负，并探讨数列{am}的单调性，进而求 (-3)”an十（一3）m+2a+2,则数列{（一3）”an} 出b,2s;(2)题(ii)问由(i)问中的信息分奇偶 为等差数列。 求和，并结合分组求和及错位相减法求和即 由-3a1=1,(一3)°a10=19,得数列 可得结果。新定义数列创新题，一般通过给 出一个新的数列的定义，或约定一种新的运 {(一3)”an}的公差为2，故(-3)”an=1十2(n 算，或给出几个新模型来创设新问题的情境， 1)=2n-1,即a,=2n-1 (-3)n 要求同学们在阅读理解的基础上，依据题目 提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信 当n为奇数时，a二”3)<0：当”为 息的迁移，达到灵活解题的目的。遇到新定 烟数时a,一急 >0,a2-a.= 2n+3 义问题，同学们应耐心读題，审清题意，分析 3”+2 新定义的特点，弄清新定义的性质，按照新定 2n-1_12-16n<0。 义的要求“照章办事”，逐条分析、运算、验证， 3” 3a+2 使得问题得以解决。 因此数列{an}单调递减，由“max数列” (责任编辑赵倩) 的定义得b:w=a2m=,051 32026。 31