例析排列组合中分组分配问题的解题策略-《中学生数理化》高二数学2026年6月刊

解数攀典赛壁方清中学生表理化 例析排列组合中分组分配问题的解题策略 ■安徽省阜阳市第七高级中学 杜海岸 分组分配问题是排列组合中最常见的一 =105(种)不同的分组方法。 类问题，也是高考的热点问题。这类问题不 所以共有35十105=140（种）不同的分 仅能考查同学们对分类加法计数原理和分步 组方法。 乘法计数原理的理解与应用，还能考查同学 评注：对于部分均匀分组问题，应注意重 们的逻辑思维、分析问题和准确计算的能力， 复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组 具有一定难度。为了帮助同学们解决这个较 元素个数相等，则分组时应除以！，一个分 为棘手的难题，下面结合具体问题分析解题 组过程中有几个这样的均匀分组就要除以几 策略，希望对同学们有所帮助。 个这样的全排列数。 一、分组问题 3.完全非均匀分组 分组问题主要有三种：完全均匀分组、部 例3将10个不同的球分成四组，每 分均匀分组和完全非均匀分组。三种问题有 组球的数量各不相同，有种不同的分组 差异，不可混淆。 方法。 1.完全均匀分组 分析：将10个不同的球分成1个，2个，3 例1已知有6本不同的书，分成三 个，4个四组，然后按完全非均匀分组计算。 堆，每堆2本，有种不同的分堆方法。 解：由题意得，10个不同的球分成四组， 分析：先对6本书进行分组，因为每堆2 每组球的个数分别为1,2,3,4，则不同的分 本，是平均分组，所以不管顺序如何，都是一 组方法有C1CCC=12600(种)。 种情况，故分组后要除以A,进而求解。 评注：对于完全非均匀分组问题，分组时 解：因为6本书平均分成3堆，所以不同 每组中元素的个数都不相等，不需要除以全 的分推方法的种数为CCC 排列数。 A =15。 评注：对于完全均匀分组问题，应注意分 例4现将6本不同的书籍分发给甲、 组后不管它们的顺序如何，都是一种情况，所 乙、丙3人，每人至少分得1本，已知书籍A 以分组后一定要除以A”(n为均分的组数)， 分发给了甲，则不同的分发方法种数是 分析：按甲、乙、丙3人各分得书籍本数 避免重复计数。 2.部分均匀分组 分类，注意平均分与不平均分的情况。 解：6本书分给甲、乙、丙3人，每人至少 例22025年1月7日9时5分，西 1本，则3人书籍本数分为1,1,4：1,2,3：2， 藏自治区日喀则市定日县发生6.8级地鹿。 2,2三类情况。 现从各省共抽派7支抢险工作队，分成5个 第一类情况，按1,1,4分： 组，有种不同的分组方法。 若甲分1本，且分得书籍A,则另两人一 分析：将7拆分成3,1,1,1,1与2,2,1， 人1本，一人4本，共有CA种分法； 1,1两种，然后按部分均匀分组计算。 若甲分4本，即再取3本，则剩余2本书 解：7支抢险队分成5组，有3,1,1,1,1 分给另两人，一人1本，共有CC种分法。 与2,2,1,1,1两种方式。 若分组是3,1,11，l,则有cicicci 故共有CA+CC=30(种)分法。 A 第二类情况，按1,2,3分： =35(种)不同的分组方法。 若甲分1本，且分得书籍A,则另两人一 若分组是2,2.1,1l,则有ciccci 人2本，一人3本，共有CA种分法： AA 若甲分2本，则另两人一人1本，一人3 21 中学生数理化 解题篇经典题突破方法 高二数学2026年6月 本，共有CCA种分法； 构造挡板模型，分两步放球。第一步，放 若甲分3本，则另两人一人1本，一人2 红球，有C种放法；第二步，放白球，有C种 本，共有CCA:种分法。 放法。因此共有C×C=75(种)放法。 故共有CA+CCA+CCA=120 评注：解决相同元素的分配问题，当要求 (种)分法。 每个对象至少有一个元素时，可用“挡板法”。 第三类情况，按2,2,2分： 将元素看作小球，对象数量减1为挡板数，元 若每人都分2本，则甲再分1本，乙、丙 素间空当数比元素数少1，从空当中选位置 平均分剩下4本，共有CC=30(种)分法。 放挡板，用组合数计算方案数，就能快速得出 综上可知，不同的分发方法种数是30十 分配方案种数。 120+30=180。 2.不同元素的分配 评注：求解这类分组分配问题，一要注意 求解不同元素的分配问题，一般可先完 分类讨论，做到计数不重复不遗漏；二要注意 成分组，再进行分配，最后依据分步乘法计数 分组情况，运用两个计数原理和排列组合知 原理进行计算。 识计算。 例6(1)某市选派9名医生到3个乡 二、分配问题 镇义诊，其中有5名主治医师，4名实习医 1.相同元素的分配 生，要求每个乡镇分配3名医生，且每个乡镇 对于相同元素的分配问题，一般用“挡板 至少有1名主治医师，则不同的分配方法种 法”，即把n个相同的元素分成m份(n,m为 数为( ) 正整数)，每份至少含有一个元素，可将m一1 A.720 B.1480 块挡板，插入n个元素排成一排形成的n一1 C.1080 D.1440 个空当中，共有Cm种方法。 (2)某环保局派遣包括张三，李四，王五 例5(1)某校要组建一个16人的足 在内的12名工作人员到A,B,C三个镇开 球队，这16人由高一年级10个班的学生组 展环境保护的宣传工作，每个镇至少派遣3 成，每个班至少1人，则名额分配方案共有多 人，因工作需要，张三，李四，王五3人要派遣 少种？ 到同一个镇，则不同的派遣方案共有种。 (2)将7个红球、6个白球（球只有颜色 分析：(1)先考虑主治医师的两种分组方 的区别)放入5个不同的盒于，要求每个盒于 案，再在每种方案中（注意平均分组）考虑对 里至少有红球、白球各1个，则有多少种不同 应的实习医生的分配人数，最后将三个组合 的放法？ 分配到3个乡镇即可。(2)先讨论人员的分 分析：(1)采用挡板法即可求解；(2)采用 组情况，再依次求出对应的方法数，然后将各 分步乘法即可求解。 组安排到三个镇，结合排列组合数及分类、分 解：(1)可用构造模型法来解题。将16 步计数原理求不同的派遣方案数。 个小球排成一排，从每两个相邻的小球形成 解：(1)要求每个乡镇分配3名医生，且 的15个间隙中选取9个插入挡板，将16个 每个乡镇至少有1名主治医师，则主治医师 小球分成10份。 的分组方案有两类，即2,2,1；3,1,1。 因此名额分配方案的种数和挡板插入的 第一类情况：当主治医师按照2,2,1分 方法数相等，共有C1:=5005(种)名额分配 组时，主治医师的分法种数为CCC=15,再 方案。 A (2)由题意可知，题目所要求的放法为“7 将4名实习医生按照1,1,2对应分组，分法 个红球分别放入5个盒于且每个盒于非空， 种数为C}C=12;然后将分好的三组分配到 以及6个白球分别放入5个盒于且每个盒于 3个乡镇，分配方法种数为A。 非空”。 (下转第26页) 22 中学生款理化解薇学餐鼻案破方法 (上接第22页) 根据分步乘法计数原理，不同的分配方 先从其他9人中选2人到这组，再将余下7 法种数为15×12×A=1080。 人分成2组，有CC=1260(种)方法： 第二类情况：当主治医师按照3,1,1分 当张三，李四，王五所在组恰有6人时， 组时，主治医师的分法种数为CSCC 先从其他9人中选3人到这组，再将余下6 A =10:再 C 人分成2组，有C·A =840(种)方法。 将4名实习医生按照0,2,2对应分组，分法 种数为C=6;然后将分好的三组分配到3个 最后将三组人员分配到三个镇，有A= 乡镇，分配方法种数为A。 6(种)方法。 根据分步乘法计数原理，不同的分配方 所以派遣方案总数为(210十819+1260 法种数为10×6×A=360。 +840)×6=18774。 综上，根据分类加法计数原理，不同的分 评注：求解这类问题一般分三个步骤。 配方法种数为1080十360=1440。故选D。 第一步：将n个不同的元素分成无顺序的若 (2)当张三，李四，王五所在组恰有3人 千推；第二步：将无顺序的元素堆转换为有顺 时，余下9人分成2组，有C+C=210(种) 序的元素堆；第三步：根据乘法计数原理，计 方法； 算出不同的分法种数。 当张三，李四，王五所在组恰有4人时， 由以上例题分析可以看出，求解分组分 先从其他9人中选1人到这组，再将余下8 配问题，首先要解决分组问题，判断问题中的 分组是完全均匀分组，还是部分均匀分组，抑 人分成2组，有C(C+)】 A =819(种)方法； 或是完全非均匀分组，然后进行分配，需结合 当张三，李四，王五所在组恰有5人时， 两个计数原理进行计算。 (责任编辑赵倩) 26