概率分布列的五种综合问题及解题策略-《中学生数理化》高二数学2026年4月刊

锅管数餐典来方清中学生款理化 概率分布列的五种综合问题及解题策略 ■广东省深圳市南头中学 田彦武 概率分布列是高中数学的重要内容之 则P(=o)=(1-3)×(1-1)=2 一，也是高考考查的热点之一。该类题型常 与现实情境结合，形成综合性较强的应用题， p(=1)=3×(1-3)×(1-)+ 不仅考查同学们对概率基本概念的理解，还 注重考查逻辑分析、模型构建和运算推理能 (1-3)××(1-2)=员p(=2)= 力。下面对五类典型问题进行分析，帮助同 学们掌握概率分布列综合问题的解题方法。 P(A)+号×1=1+17 3×2=8+6=24 一、比赛赛制与胜负概率模型 所以专的分布列如表1所示。 该类问题以多局竞技比赛为背景，重点 表1 考查在赛制约束与状态影响下的概率计算。 0 2 解题时需注意局次之间的概率变化规律，合 5 7 理划分比赛进程，并常用分类讨论与事件独 2 24 24 立性进行分析。 E(专)=0× 2+1 24+2× 719 2424 例1某高校一学生和智能机器人进 ,点评：本题巧妙地将条件概率与分布列结 行一场网球比赛，比赛采用三局两胜制，即率 合，考查同学们对比赛进程的全面分析能力。 先获得两局比赛胜利者获得最终的胜利且比 在计算分布列时，需注意“以2：0获胜”与“以 赛结束。已知该同学第一局获胜的概率为 2:1获胜”均属于=2的情形，不可遗漏。 3,从第二局开始，若上一局获胜，则本局获 二、团队策略与多人协作模型 多人比赛问题常涉及队伍派出策略、得 胜的概率为2若上一局失败，则本局获胜的 分分布与最优决策。解题时需综合考虑概率 概率为子，每局比赛均没有平局。 计算、期望比较与策略优化，体现数学建模的 实际应用价值。 (1)该同学在以2：1获得比赛胜利的条 例2某地举行中学生科技知识挑战 件下，求他连胜两局的概率； 赛，挑战赛分预赛和决赛两个阶段。预赛为 (2)记整场比赛该同学的获胜局数为， 闯关比赛，规定：三人组队参赛，每次只派一 求专的分布列和期望。 个人，且每人只派一次，如果一个人闯关失 解析：(1)设事件A=“该同学以2：1获 败，再派下一个人重新闯关，三人中只要有一 得比赛胜利”，B=“该同学连胜两局”。若该 人闯关成功即视作预赛阶段比赛胜利，无须 同学以2：1获得比赛胜利，则三局比赛的结 继续闯关即可进入决赛。决赛设置了3个问 果为：赢输赢，输赢赢，共2种情况。 题，每完整答对1个问题，该队决赛成绩记3 所以P(A)=是×(1-)×1 分，否则记0分。已知华夏队的甲，乙，丙三 名选手在预赛闯关阶段及决赛阶段每次完整 (1-吉)××名-gPAB)=(1-吉)× 答对1个问题的概率均为p,q,r(0<r<p< ?=2,则P(B1A)=PAB)=2 q<1),每次回答是独立的。 P(A)=3 1)若=号9==依次派甲. 故所水概率为号 乙，丙进行闯关，求该小组进入决赛的概率； (2)由题意知，的所有取值为0,1,2。 (2)在预赛阶段，若乙只能安排在第二个 37 解题篇经典题突破方法 中学生数理化高数学2026年月 派出，要使派出人员数目的期望较小，试确定 为吸引消费者，特别推出“玩游戏，送礼券”的 甲、丙谁先派出； 活动，游戏规则如下：每轮游戏都抛掷一枚质 (3)在决赛阶段，若只能选出一人参加比 地均匀的骰于（形状为正方体，六个面的点数 赛，则决赛阶段应由哪个选手参加最有可能赢？ 分别为1,2,3,4,5,6)，若向上点数不超过2 解析：(1)当依次派甲，乙，丙进行闯关 点，获得1分，否则获得2分，进行若干轮游 时，设事件A表示“该小组进入决赛”。 戏，若累计得分为19分，则游戏结束，可得礼 31、1、 1 券A,若累计得分为20分，则游戏结束，可得 到礼券B,最多进行19轮游戏。 器故该小组注人决囊的概率为号。 (1)当进行完3轮游戏时，总分为X,求 X的期望。 (2)若依次派甲，乙，丙进行闯关，设派出 (2)若累计得分为i的概率为p:(初始得 人员的数目为X,期望为E(X),则X的分 分为0分，p。=1)。 布列如表2所示。 表2 ①证明数列{p:一p-1}(i=1,2,…,19) 是等比数列； 2 3 ②求活动参与者得到礼券B的概率。 Pp(1-p)g(1-p)(1-q) 解析：(1)由题意可知，每轮游戏获得1 所以E1(X)=g一2p一q+3。 若依次派丙，乙，甲进行闯关，设派出人 分的概率为}获得2分的挺率为后。 员的数目为X,期望为E:(X)。同理可得 设进行完3轮游戏时，得1分的次数为 E2(X)=rq-2r-9+3。 Y,则Y~B(3,号），所以P(Y=)=C× 则E1(X)一E,(X)=g-2p-g+3- (rq-2r-q+3)=(p-r)(q-2)。 (付）》广×（号）6=0123 因为0<r<p<g<1,所以E1(X) 而X=Y+2(3一Y)=6一Y,所以X的 E(X)<0,即E1(X)<E:(X)。因此要使 派出人员数目的期望较小，先派出甲。 可能取值为3,4,5,6，则P(X=3)=(3)= (3)设甲，乙，丙三人决赛阶段答对的问 27P(x=40=CG×(日》×（号）'=号 题个数分别为71，，7：，得分分别为Y,Y: Yg。则71~B(3,p),72~B(3,g),7一B(3, P(x=5)=C×(G)广×()=年，P(x=6) r),所以E(71)=3p,E(Y1)=E(371)=9p。 同理E(Y2)=9q,E(Y)=9r。 (层)- 。 所以X的分布列如表3所示。 又0<r<p<q<1,故E(Y)>E(Y1) 表3 >E(Y),即决赛阶段应由乙选手参加。 X 3 4 5 6 ,点评：本题将概率、期望与决策优化组 2 4 合，考查同学们在实际情境中运用数学工具 27 9 27 的能力。(2)问和(3)问需通过期望比较作出 策略选择，体现数学的实用价值。 所以E(X)=3× 1 2 27 +4× 9 +5X1 三、递推数列与概率模型 8 6× 递推数列问题将概率与数列结合，通过 275。 建立递推关系求解概率通项，是高考压轴题 (2)①i=1,即累计得分为1分，则第一 的常见形式。解题的关键在于发现概率之间 次辄脱子，向上点数不超过2点，即A:= 的递推规律，并转化为数列问题求解。 2 例3某商场拟在年末进行促销活动， 则1一p。= 3 38 解登餐来有青中学生表理化 累计得分为i分的情况有两种：i=(i一 2)+2,即累计得(i一2)分，又掷骰于点数超 率为会，沿首正方形的对角线传给队友的概 过2点，英概率为号p=任-1)十1，即累 率为 1 计得(i一1)分，又掷骰于点数不超过2点，其 (1)求第3次传球者为乙的概率： (2)记前3次传球中丙的传球次数为X, 概率为3」 求X的概率分布列及方差： 所以p,=子十3D,即：一p 2 1 (3)求第n次传球者为丁的概率。 解析：(1)由题意知，甲·丙·乙的概率 3（p,-1一p:-2),所以{p:一p:-1}(i=1,2,…, 为时×号-甲丁·乙的概率为号×局 19)是首项为一号公比为一号的等比数列。 25。记事件A=“第3次传球者为乙”，则 2 ②由①得p:-p1=（-子)G=1 P(A)=2+2=4 252525 (2)由题意知，X的可能取值为0,1。 (-)广p-=(） 5 .112 以上各式相加得力：一力。=一 2 2 5×5=25 P(X=1)= 2 .2 1 × 5 5 5 ×1+ 5 [1-()门所以=音+后×(-)G 号×号-号。X的藏率分布列如表4所示。 表4 =1,2,…,19) 故活动参与者得到礼券B的概率2= X 0 1 12 P 13 导×p=导×[昌+后x(←)门=号+ 25 2 ×()严 放D0X)-若×-0) 156 6259 ,点评：本题是概率与数列结合的典型范 (3)设第n次传球者为甲的概率为am,第 例。通过建立概率递推关系，将问题转化为 n次传球者为丁的概率为b。,则b,=0。 等比数列求解，体现数学知识之间的内在 因为乙和丁相对于甲地位是相等的，所 联系。 以第n次传球者为乙的概率也为b,,则第n 四、传球模型与动态概率分析 次传球者为丙的概率为(1一am一2bm)。 1 传球问题是一类经典的概率递推问题， 因为b+1=a,X2 +b,×5+(1-a. 常涉及多人传球的概率变化，需建立齐次或 非齐次递推关系求解。此类问题训练的是对 56。+2 26,)×号+6，×0=- ,所以b+1 动态系统的建模与分析能力。 例4如图1，在一次传 球训练中，甲、乙、丙、丁四人 又6，--子故6，-}是以- 按照逆时针依次站在一个正 方形的四个顶点处。每次传 为首项，一号为公比的等比数列：6，一立 球时，传球者将球传给其他 图1 三人中的一人。已知第1次由甲将球传出， 子×（号）”即6=日×() 且每次传球者沿着正方形的边传给队友的概 点评：本题在经典传球模型的基础上加 39 中学生数理化 解题篇经典题突破方法 高二数学2026年4月 入方向概率，使问题更具有挑战性。通过建 立多状态递推关系，构造等比数列求解。 px=3)=C×2×g×()+(日)xC× 五、概率最值与优化分析 2 1 3 人3 P(x=0=(2)×()-g =3 该类问题将概率最值与函数导数相结 所以X的分布列如表5所示。 合，通过构建概率函数，利用导数确定最值， 表5 是概率与函数的综合应用。解题关键是正确 构建目标函数，并利用函数性质分析最值。 0 2 13 例5甲、乙两个不透明的口袋内装有 36 6 36 除颜色外大小质地完全相同的若干个球，已 1 13 知甲口袋有m(n≥1，m∈N')个红球和4个 所以E(X)=0×36+1×6+2× 36+ 白球，乙口袋有n(n≥1，n∈N")个红球和2 个白球。现在小明从甲口袋有放回地连续摸 9=3 球2次，每次摸出1个球，再从乙口袋有放回 (2)小明4次摸球中，恰有3次摸出红球的概 地连续摸球2次，每次摸出1个球。 (1)当m=n=4时： ××(+(》 率p=C×m ①求小明4次摸球中，至少摸出1个红 ×CX” 、2 8mn2+Am'n 球的概率； n+2n+2(m+4)(n+2)29 ②设小明4次摸球中，摸出红球的个数 因为m=2n,所以P= 8mn2+4m°n (m+4)(n+2) 为X,求X的分布列和数学期望E(X)。 16n3+16n3 8n3 (2)当m=2n时，设小明4次摸球中，恰 =2m十40(m+2)=(n+2) 有3次摸出红球的概率为P,则当n为何值 令f(x)= 8.x8 时，P最大？ (x+2),x>0,则f'(x)= 解析：(1)①设事件A为“小明4次摸球 -8.x3+48x2 -8x2(x-6) 。 所以当0< 中，至少摸出1个红球”。因为n=n=4,所 (x+2)i (x+2)i 以从甲日袋中棋出白球的概率为专分，从 x<6时，f'(x)>0,f(x)单调递增；当x>6 时，f'(x)<0,f(x)单调递减。 乙日袋中袋出白球的概率为台=弓，则 故当n=6,即m=12时，P最大，最大 P(A)=1-(合)×（信）-器 值为f(6)-8X6=27 (6+2)64° ,点评：本题综合考查概率计算、分布列与最 ②由题意可知，X的可能取值为0,1,2， 值问题。(2)问通过建立概率函数并求导，确定 3,4。甲口袋每次摸到红球的概率为2，每次 最优参数值，体现导数在优化问题中的应用。 摸到白球的概率为？：乙口袋每次摸到红球 概率分布列题型多样，解决这类问题需 要具备系统的分析能力、建模技巧与扎实的 的概率为号，每次模到白球的概率为号 计算功底。通过以上五类典型问题的分析与 归纳，可以看出，无论是比赛赛制、多人策略、 P(X=0)=(2)广×（号）-6P(x=D 递推关系、传球模型，还是最值问题，核心都 在于将实际问题转化为概率模型，运用适当 -C×2×2×(3)广+(2)×c×号 的数学工具进行求解。在学习过程中，同学 P(x=2)=()×()+()× 们应注重理解各类问题的本质特征，掌握建 立概率模型的基本方法，并通过典型例题的 训练提升解题能力。（责任编辑赵待） 40